北師大版八年級(jí)上冊(cè)第一章勾股定理 專題復(fù)習(xí)學(xué)案

1、第一章勾股定理專項(xiàng)練習(xí)專題一：勾股定理考點(diǎn)分析：勾股定理單獨(dú)命題的題目較少，常與方程、函數(shù)，四邊形等知識(shí)綜合在一起考查，在中考試卷中的常見題型為填空題、選擇題和較簡單的解答題1801506060ABC圖1典例剖析例1（1）如圖1是一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中的尺寸（單位：），計(jì)算兩圓孔中心和的距離為_abcl圖2（2）如圖2，直線上有三個(gè)正方形，若的面積分別為5和11，則的面積為（）A4B6C16D55分析：本題結(jié)合圖中的尺寸直接運(yùn)用勾股定理計(jì)算即可解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得：AB2=902+1202=22500，所

2、以AB=150（mm）（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故選C圖3點(diǎn)評(píng)：以上兩例都是勾股定理的直接運(yùn)用，當(dāng)已知直角三角形的兩邊，求第三邊時(shí)，往往要借助于勾股定理來解決例2如圖3，正方形網(wǎng)格的每一個(gè)小正方形的邊長都是1，試求的度數(shù)解：連，（SAS）由勾股定理，得：，（SSS）由圖可知為等腰直角三角形即點(diǎn)評(píng)：由于在正方形網(wǎng)格中，它有兩個(gè)主要特征：（1）任何格點(diǎn)之間的線段都是某正方形或長方形的邊或?qū)蔷€，所以格點(diǎn)間的任何線段長度都能求得（2）利用正方形的性質(zhì)，我們很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然以上兩例就是根據(jù)網(wǎng)格的直觀性，再結(jié)合圖形特點(diǎn)，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行

3、計(jì)算，易求得線段和角的特殊值，重點(diǎn)考查學(xué)生的直覺觀察能力和數(shù)形結(jié)合的能力專練一：1、ABC中，A：B：C=2：1：1，a，b，c分別是A、B、C的對(duì)邊，則下列各等式中成立的是（ ）（A）；（B）； （C）； （D）2、若直角三角形的三邊長分別為2，4，x，則x的可能值有（ ）（A）1個(gè)； （B）2個(gè)； （C）3個(gè)； （D）4個(gè)3、一根旗桿在離底面4.5米的地方折斷，旗桿頂端落在離旗桿底部6米處，則旗桿折斷前高為（ ）（A）10.5米； （B）7.5米； （C）12米； （D）8米4、下列說法中正確的有（ ）（1）如果A+B+C=3：4：5，則ABC是直角三角形；（2）如果A+B=C，那么ABC

4、是直角三角形；（3）如果三角形三邊之比為6：8：10，則ABC是直角三角形；（4）如果三邊長分別是，則ABC是直角三角形。（A）1個(gè)； （B）2個(gè)； （C）3個(gè)； （D）4個(gè)5、如圖4是某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)，則判斷正確的是（ ）圖4A ac Bbc C4a2+b2=c2 Da2+b2=c26、已知直角三角形兩邊長分別為3、4，則第三邊長為 7、已知直角三角形的兩直角邊之比為3：4，斜邊為10，則直角三角形的兩直角邊的長分別為 8、利用圖5（1）或圖5（2）兩個(gè)圖形中的有關(guān)面積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學(xué)中一個(gè)十分著名的定理，這個(gè)定理稱為 ，該定理的結(jié)論其數(shù)學(xué)表達(dá)式是 圖5（2）圖5（1）圖69

5、、一棵樹因雪災(zāi)于A處折斷，如圖所示，測得樹梢觸地點(diǎn)B到樹根C處的距離為4米，ABC約45°，樹干AC垂直于地面，那么此樹在未折斷之前的高度約為 米（答案可保留根號(hào)）ABC 圖710、如圖6，如果以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF，再以對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去，已知正方形ABCD的面積為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為，（n為正整數(shù)），那么第8個(gè)正方形的面積 _。11、如圖7，在ABC中，AB=AC=10，BC=8用尺規(guī)作圖作BC邊上的中線AD（保留作圖痕跡，不要求寫作法、證明），并求AD的長 12、已知一個(gè)等腰三角形的底邊和腰的長分別為

6、12 cm和10 cm，求這個(gè)三角形的面積.13、在ABC中，C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm（1）求這個(gè)三角形的斜邊AB的長和斜邊上的高CD的長.（2）求斜邊被分成的兩部分AD和BD的長.14、如圖8：要修建一個(gè)育苗棚，棚高h(yuǎn)=1.8 m,棚寬a=2.4 m,棚的長為12 m,現(xiàn)要在棚頂上覆蓋塑料薄膜，試求需要多少平方米塑料薄膜？圖8 15、如圖9，已知長方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在邊CD上取一點(diǎn)E，將ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求CE的長.圖9 專題二：一定是直角三角形嗎考點(diǎn)分析：本部分內(nèi)容是勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，它在中考試

7、卷中不單獨(dú)命題，常與其它知識(shí)綜合命題典例剖析例1如圖10，A、B兩點(diǎn)都與平面鏡相距4米，且A、B兩點(diǎn)相距6米，一束光線由A射向平面鏡反射之后恰巧經(jīng)過B點(diǎn)，求B點(diǎn)到入射點(diǎn)的距離.分析：此題要用到勾股定理，全等三角形，軸對(duì)稱及物理上的光的反射的知識(shí).圖10解：作出B點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B，連結(jié)AB，交CD于點(diǎn)O，則O點(diǎn)就是光的入射點(diǎn)，因?yàn)锽D=DB，所以BD=AC，BDO=OCA=90°，B=CAO所以BDOACO(SSS)，則OC=OD=AB=×6=3米，連結(jié)OB，在RtODB中，OD2+BD2=OB2，所以O(shè)B2=32+42=52，即OB=5(米)，所以點(diǎn)B到入射點(diǎn)的距離為5

8、米.評(píng)注：這是以光的反射為背景的一道綜合題，涉及到許多幾何知識(shí)，由此可見，數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)物理的基礎(chǔ)例2如果只給你一把帶刻度的直尺，你是否能檢驗(yàn)MPN是不是直角，簡述你的作法分析：只有一把刻度尺，只能用這把刻度尺量取線段的長度，若P是一個(gè)直角，P所在的三角形必是個(gè)直角三角形，這就提示我們把P放在一個(gè)三角形中，利用勾股定理的逆定理來解決此題圖11作法：在射線PM上量取PA=3，確定A點(diǎn)，在射線PN上量取PB=4，確定B點(diǎn)連結(jié)AB得PAB用刻度尺量取AB的長度，如果AB恰為5，則說明P是直角，否則P不是直角理由：PA=3，PB=4，PA+PB=3+4=5，若AB=5，則PA+PB=AB，根據(jù)勾股定理的逆

9、定理得PAB是直角三角形，P是直角說明：這是一道動(dòng)手操作題，是勾股定理的逆定理在現(xiàn)實(shí)生活中的一個(gè)典型應(yīng)用學(xué)生既要會(huì)動(dòng)手操作，又必須能夠把操作的步驟完整的表述出來，同時(shí)要清楚每個(gè)操作題的理論基礎(chǔ)專練二：1做一做：作一個(gè)三角形，使三邊長分別為3 cm,4 cm,5 cm,哪條邊所對(duì)的角是直角？為什么？2斷一斷：設(shè)三角形的三邊分別等于下列各組數(shù)：7，8，10 7，24，25 12，35，37 13，11，10（1）請(qǐng)判斷哪組數(shù)所代表的三角形是直角三角形，為什么？（2）把你判斷是Rt的哪組數(shù)作出它所表示的三角形，并用量角器來進(jìn)行驗(yàn)證.3算一算：一個(gè)零件的形狀如圖12，已知AC=3，AB=4，BD=12

10、，圖12ABCD求：CD的長4一個(gè)零件的形狀如圖13所示，工人師傅按規(guī)定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如這是一塊鋼板，你能幫工人師傅計(jì)算一下這塊鋼板的面積嗎？圖13圖15如圖14，等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P，AP=3，BP=4，CP=5，求APB的度數(shù).圖14圖16若ABC的三邊長為a,b,c，根據(jù)下列條件判斷ABC的形狀.（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c (2)a3a2b+ab2ac2+bc2b3=07請(qǐng)?jiān)谟蛇呴L為1的小正三角形組成的虛線網(wǎng)格中，畫出1 個(gè)所有頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且至少有一條邊為無理數(shù)的等腰三角形圖158為籌備迎新生晚會(huì)，同學(xué)們?cè)O(shè)

11、計(jì)了一個(gè)圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖15，已知圓筒高108，其截面周長為36，如果在表面纏繞油紙4圈，應(yīng)裁剪多長油紙專題三：勾股定理的應(yīng)用考點(diǎn)分析：勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用較為廣泛，它常常單獨(dú)命題，有時(shí)也與方程、函數(shù)，四邊形等知識(shí)綜合在一起考查，在中考試卷中的常見題型為填空題、選擇題和較簡單的解答題典例剖析圖16（2）圖16（）例1如圖16（1）所示，一個(gè)梯子AB長2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動(dòng)后停在DE位置上，如圖10（2）所示，測得得BD=0.5米，求梯子頂端A下落了多少米？分析：梯子頂端A下落的距離為AE，即求AE的長已

12、知AB和BC，根據(jù)勾股定理可求AC，只要求出EC即可。解：在RtACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， AC=2，BD=0.5，CD=2EC=1.5， ，所以，梯子頂端下滑了0.5米點(diǎn)評(píng)：在實(shí)際生活、生產(chǎn)及建筑中，當(dāng)人們自身高度達(dá)不到時(shí)，往往要借助于梯子，這時(shí)對(duì)梯子的選擇，及梯子所能達(dá)到的高度等問題，往往要用到勾股定理的知識(shí)來解決但要 注意：考慮梯子的長度不變例2有一根竹竿, 不知道它有多長. 把竹竿橫放在一扇門前, 竹竿長比門寬多4尺；把竹竿豎放在這扇門前, 竹竿長比門的高度多2尺； 把竹竿斜放,，竹竿長正好和門的對(duì)角線等長.問竹竿長幾尺?分析：只要根據(jù)題意，畫出圖形，然

13、后利用勾股定理，列出方程解之解：設(shè)竹竿長為x尺。則：（x4）2+（x2）2=x2 x1=10 ，x2=2（不合題意舍去）答：竹竿長為10尺。北東 圖17D評(píng)注：本題是勾股定理與方程的綜合應(yīng)用問題，它綜合考查了同學(xué)們的建模思想和方法的理解和運(yùn)用，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，請(qǐng)注意這類問題！例3如圖17，客輪在海上以30km/h的速度由向航行，在處測得燈塔的方位角為北偏東，測得處的方位角為南偏東，航行1小時(shí)后到達(dá)處，在處測得的方位角為北偏東，則到的距離是（ ）Akm；Bkm；Ckm；Dkm分析：本題是一道以航海為背景的應(yīng)用題，由已知條件分析易知ABC不是直角三角形，這就需要作三角形的高，將非直角三角形轉(zhuǎn)

14、化為直角三角形，問題便可得到解決解：由條件易得：C=450，ABC=750，則A=600，過B作BDAC，垂足為D，BCD是等腰直角三角形，又BC=30km，由勾股定理得：2CD2=302，CD=，BD=，設(shè)AD=x，則AB=2x，由勾股定理得：BD=，=，x=，AC=+，故選D點(diǎn)評(píng)： 在航海中，有時(shí)需要求兩船或船與某地方的距離，以保證航海的安全，有時(shí)就需要用勾股定理及判定條件來加以解決，熟練應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵家郵局書店圖18專練三：1小明從家走到郵局用了8分鐘，然后右轉(zhuǎn)彎用同樣的速度走了6分鐘到達(dá)書店(如圖18),已知書店距離郵局640米，那么小明家距離書店 米2一根新生的蘆葦高出水面

15、1尺，一陣風(fēng)吹過，蘆葦被吹倒一邊，頂端齊至水面，蘆葦移動(dòng)的水平距離為5尺，則水池的深度和蘆葦?shù)拈L度各是 3小明叔叔家承包了一個(gè)矩形養(yǎng)魚池，已知其面積為48m，其對(duì)角線長為10m，為建起柵欄，要計(jì)算這個(gè)矩形養(yǎng)魚池的周長，你能幫助小明算一算，周長應(yīng)該是 圖194求圖19所示（單位mm）矩形零件上兩孔中心A和B的距離（精確到0lmm）5假期，小王與同學(xué)們?cè)诠珗@里探寶玩游戲，按照游戲中提示的方向，他們從A出發(fā)先向正東走了800米，再向正北走了200米，折向正西走300米，再向正北走600米，再向正東走100米，到達(dá)了寶藏處B，問A、B間的直線距離是 米圖206如圖20所示，為修鐵路需鑿?fù)ㄋ淼繟C，測得

16、A=53°，B=37°AB=5km，BC=4km，若每天鑿0.3km，試計(jì)算需要幾天才能把隧道AC鑿?fù)▓D217如圖21，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上,且與AE重合,你能求出CD的長嗎？8觀察下列表格：列舉猜想3、4、532=4+55、12、1352=12+137、24、2572=24+2513、b、c132=b+c請(qǐng)你結(jié)合該表格及相關(guān)知識(shí)，求出b、c的值。圖229如圖22所示的一塊地，AD=12m，CD=9m，ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積參考答案專練一：1；

17、212，13； 328；5、10006 解：因?yàn)锳=53°，B=37°ACB=90°，在RtABC中，AC=AB-BC=5-4=9，所以AC=3，需要的時(shí)間 （天） 答：需要10天才能把隧道AC鑿?fù)ā?由勾股定理得：AB=10，設(shè)CD=x，則DE=x，BD=8-x，BE=4，由勾股定理得：42+x2=(8-x)2，解得x=3，即CD=3812，59連結(jié)AC，在RtADC中， ， ，在ABC中，AB2=1521 ， 答：這塊地的面積是216平方米。專練二：1做一做：5 cm所對(duì)的角是直角，因?yàn)樵谥苯侨切沃兄苯撬鶎?duì)邊最長.2斷一斷：(1) 72+242=252, 1

18、22+352=372 (2)略3解：在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理：BC=AC+AB=3+4=25，在直角三角形CBD中，根據(jù)勾股定理：CD=BC+BD=25+12=169，CD=13442+32=52,52+122=132,即AB2+BC2=AC2，故B=90°,同理，ACD=90°S四邊形ABCD=SABC+SACD=×3×4+×5×12=6+30=36.5解：如圖,以AP為邊作等邊APD，連結(jié)BD.則1=60°BAP= 2,在ADB和APC中,AD=AP.1=2，AB=ACADBADC(SAS)BD=PC=5，又P

19、D=AP=3，BP=4BP2+PD2=42+32=25=BD2BPD=90°APB=APD+BPD=150°6(1)a2+b2+c2+100=12a+16b+20c，(a212a+36)+(b216b+64)+(c220c+100)=0，即(a6)2+(b8)2+(c10)2=0a6=0,b8=0,c10=0，即a=6,b=8,c=10，而62+82=100=102，a2+b2=c2，ABC為直角三角形.(2)(a3a2b)+(ab2b3)(ac2bc2)=0，a2(ab)+b2(ab)c2(ab)=0，(ab)(a2+b2c2)=0ab=0或a2+b2c2=0，此三角形A

20、BC為等腰三角形或直角三角形.7解：本題答案不惟一，只要符合要求都可以，以下答案供參考8解：將圓筒展開后成為一個(gè)矩形，如圖，整個(gè)油紙也隨之分成相等4段只需求出AC長即可，在RtABC中，AB=36，BC=由勾股定理得AC=AB+BC=36+27AC=45，故整個(gè)油紙的長為45×4=180（） 專練三：1、C；2、B；3、B；4、C；5、D；6、5，；7、6，8；8、勾股定理，；9、；10、128；11、（1）作圖略；（2）在ABC中，AB=AC，AD是ABC的中線，ADBC，.在RtABD中，AB10，BD4，.12、如圖：等邊ABC中BC=12 cm，AB=AC=10 cm作ADBC，垂足為D，則D為BC中點(diǎn)，BD=CD=6 cm，在RtABD中，AD2=AB2B