2013全國數(shù)學聯(lián)賽初中數(shù)學試題及答案打印版

1、 班級 姓名 成績 供稿人：李錦揚一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分. 每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1設非零實數(shù)，滿足則的值為（ ）（A）（B）（C）（D）2已知，是實常數(shù)，關于的一元二次方程有兩個非零實根，則下列關于的一元二次方程中，以，為兩個實根的是（ ）（A）（B）（C）（D）（第3題）3如圖，在RtABC中，已知O是斜邊AB的中點，CDAB，垂足為D，DEOC，垂足為E若AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，則線段OD，OE，DE，AC的長度中，不一定是有理數(shù)的為（ ）

2、（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC（第4題）4如圖，已知ABC的面積為24，點D在線段AC上，點F在線段BC的延長線上，且，DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（ ）（A）3（B）4（C）6（D）85對于任意實數(shù)x，y，z，定義運算“*”為：，且，則的值為（ ）（A）（B）（C）（D）二、填空題6設，b是的小數(shù)部分，則的值為（第7題）7如圖，點D，E分別是ABC的邊AC，AB上的點，直線BD與CE交于點F，已知CDF，BFE，BCF的面積分別是3，4，5，則四邊形AEFD的面積是8已知正整數(shù)a，b，c滿足，則的最大值為9實數(shù)a，b，c，d滿足：一元二次方程的兩根為a，b，一元二次

3、方程的兩根為c，d，則所有滿足條件的數(shù)組為10小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元開始時他有鉛筆和圓珠筆共350支，當天雖然筆沒有全部賣完，但是他的銷售收入恰好是2013元則他至少賣出了支圓珠筆三、解答題（第11題）11如圖，拋物線，頂點為E，該拋物線與軸交于A，B兩點，與軸交于點C，且OBOC3OA直線與軸交于點D求DBC-CBE12設的外心，垂心分別為，若共圓，對于所有的，求所有可能的度數(shù)13設，是素數(shù)，記，當時，能否構成三角形的三邊長？證明你的結論14如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術數(shù)”（例如，把86放在415的左側，

4、得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術數(shù)）求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，滿足對任意一個正整數(shù)m，在中都至少有一個為m的魔術數(shù)2013全國數(shù)學聯(lián)賽試題參考答案一、選擇題1設非零實數(shù)，滿足則的值為（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解答】由已知得，故于是，所以2已知，是實常數(shù)，關于的一元二次方程有兩個非零實根，則下列關于的一元二次方程中，以，為兩個實根的是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解答】由于是關于的一元二次方程，則因為，且，所以，且，于是根據(jù)方程根與系數(shù)的關系，以，為兩個實根的一元二次方程是，即（第3題）3如圖，在RtABC中，已知O是斜邊AB

5、的中點，CDAB，垂足為D，DEOC，垂足為E若AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，則線段OD，OE，DE，AC的長度中，不一定是有理數(shù)的為（ ）（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC【答案】D【解答】（第3題答題）因AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，所以，OAOBOC是有理數(shù)于是，ODOAAD是有理數(shù)由RtDOERtCOD，知，都是有理數(shù)，而AC不一定是有理數(shù)（第4題）4如圖，已知ABC的面積為24，點D在線段AC上，點F在線段BC的延長線上，且，DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（ ）（A）3（B）4（C）6（D）8【答案】C【解答】因為DCFE是平行四邊形，所以DE/CF，且E

6、F/DC（第4題答題）連接CE，因為DE/CF，即DE/BF，所以SDEB=SDEC，因此原來陰影部分的面積等于ACE的面積連接AF，因為EF/CD，即EF/AC，所以SACE = SACF因為，所以SABC=4SACF故陰影部分的面積為65對于任意實數(shù)x，y，z，定義運算“*”為：，且，則的值為（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解答】設，則，于是二、填空題6設，b是的小數(shù)部分，則的值為【答案】【解答】由于，故，因此（第7題）7如圖，點D，E分別是ABC的邊AC，AB上的點，直線BD與CE交于點F，已知CDF，BFE，BCF的面積分別是3，4，5，則四邊形AEFD的面積是【答案】【解答

7、】如圖，連接AF，則有：（第7題答題），解得，所以，四邊形AEFD的面積是8已知正整數(shù)a，b，c滿足，則的最大值為【答案】【解答】由已知，消去c，并整理得由a為正整數(shù)及66，可得1a3若，則，無正整數(shù)解；若，則，無正整數(shù)解；若，則，于是可解得，（i）若，則，從而可得；（ii）若，則，從而可得綜上知的最大值為9實數(shù)a，b，c，d滿足：一元二次方程的兩根為a，b，一元二次方程的兩根為c，d，則所有滿足條件的數(shù)組為【答案】，（為任意實數(shù)）【解答】由韋達定理得由上式，可知若，則，進而若，則，有（為任意實數(shù)）經(jīng)檢驗，數(shù)組與（為任意實數(shù)）滿足條件10小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支

8、售7元開始時他有鉛筆和圓珠筆共350支，當天雖然筆沒有全部賣完，但是他的銷售收入恰好是2013元則他至少賣出了支圓珠筆【答案】207【解答】設x，y分別表示已經(jīng)賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，則所以，于是是整數(shù)又，所以，故y的最小值為207，此時三、解答題（第11題）11如圖，拋物線，頂點為E，該拋物線與軸交于A，B兩點，與軸交于點C，且OBOC3OA直線與軸交于點D求DBC-CBE【解答】將分別代入，知，D(0，1)，C(0，)，所以B(3，0)，A(，0)直線過點B（第11題答題）將點C(0，)的坐標代入，得5分拋物線的頂點為(1，)于是由勾股定理得BC，CE，BE因為BC2CE2BE2，所以，

9、BCE為直角三角形，10分因此tan=又tanDBO=，則DBO15分所以，20分12設的外心，垂心分別為，若共圓，對于所有的，求所有可能的度數(shù)【解答】分三種情況討論（i）若為銳角三角形因為，所以由，可得，于是5分（第12題答題（ii）（第12題答題（i）（ii）若為鈍角三角形當時，因為，所以由，可得，于是。10分當時，不妨假設，因為，所以由，可得，于是15分（iii）若為直角三角形當時，因為為邊的中點，不可能共圓，所以不可能等于；當時，不妨假設，此時點B與H重合，于是總有共圓，因此可以是滿足的所有角綜上可得，所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及20分13設，是素數(shù)，記，當時，能否構成三角形的三邊長？證明你的結論【解答】不能依題意，得因為，所以又由于為整數(shù)，為素數(shù)，所以或，10分當時，進而，與，是素數(shù)矛盾；15分當時，所以，不能構成三角形的三邊長20分14如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術數(shù)”（例如，把86放在415的左側，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術數(shù)）求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，滿足對任意一個正整數(shù)m，在中都至少有一個為m的魔術數(shù)【解答】若n6，取1，2，7，根據(jù)抽屜原理知，必有中的一