導數(shù)問題中的分類討論

1、近年，高考解答題對導數(shù)部分的考察幾乎都會涉及到對某個參數(shù)的分類討論，而考生的在這一題中的得分率并不高。主要原因有兩個，一是看不懂題意，二是不會分類討論。而分類討論在高考中處于重要的“地位”：分類討論思想是歷年高考的必考內容，它不僅是高考的重點與熱點，而且是高考的難點。每年在中高檔題甚至在低檔題中都設置分類討論問題，通過分類討論考查推理的嚴謹性和分析問題解決問題的能力。本人在幾年的教學生涯中，對這類問題作了一定的探討，并總結出了導數(shù)問題中解答問題的步驟及引起分類討論的原因。（1） 求導（2） 令=0（3） 求出=0的根（4） 作出導數(shù)的圖像或等價于導數(shù)的圖像（一般是二次函數(shù)或一次函數(shù)的圖像）（5

2、） 由圖像寫出函數(shù)的單調區(qū)間，極值，或最值規(guī)范了步驟后，在解題過程中涉及到的分類討論一般有：方程=0的類型引起的討論、根的存在引起的討論、根的大小引起的討論、畫圖像時開口或斜率的討論、根與給定區(qū)間:或定義域的端點的大小的討論） 下面筆者結合若干例題對上述的分類討論方法作一一闡述題型一：單調性的討論例1.已知函數(shù),求函數(shù)的單調區(qū)間； 例2.已知函數(shù)，討論在定義域上的單調性。例3.若函數(shù)（a0），求函數(shù)的單調區(qū)間。例4.（2010北京） 已知函數(shù)()=In(1+)-+ (0)。求()的單調區(qū)間。例5.（2009北京理改編）設函數(shù)，求函數(shù)的單調區(qū)間題型二：極值、最值的討論例1.已知函數(shù)，.（）若曲線

3、在點處的切線垂直于直線，求的值；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.例2.已知函數(shù)()若在處的切線與直線平行,求的單調區(qū)間;()求在區(qū)間上的最小值.例3.已知函數(shù).(I)求函數(shù)的單調區(qū)間;()當時,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.例4.已知函數(shù)在處取得極值.()求的值; ()求函數(shù)在上的最小值;()求證:對任意,都有. 例5若對任意的范圍導數(shù)問題中分類討論的方法近年，高考解答題對導數(shù)部分的考察幾乎都會涉及到對某個參數(shù)的分類討論，而考生的在這一題中的得分率并不高。主要原因有兩個，一是看不懂題意，二是不會分類討論。而分類討論在高考中處于重要的“地位”：分類討論思想是歷年高考的必考內容，它不僅是高考的重點與熱點，而

4、且是高考的難點。每年在中高檔題甚至在低檔題中都設置分類討論問題，通過分類討論考查推理的嚴謹性和分析問題解決問題的能力。本人在幾年的教學生涯中，對這類問題作了一定的探討，并總結出了導數(shù)問題中解答問題的步驟及引起分類討論的原因。（6） 求導（7） 令=0（8） 求出=0的根（9） 作出導數(shù)的圖像或等價于導數(shù)的圖像（一般是二次函數(shù)或一次函數(shù)的圖像）（10） 由圖像寫出函數(shù)的單調區(qū)間，極值，或最值規(guī)范了步驟后，在解題過程中涉及到的分類討論一般有：方程=0的類型引起的討論、根的存在引起的討論、根的大小引起的討論、畫圖像時開口或斜率的討論、根與給定區(qū)間:或定義域的端點的大小的討論） 下面筆者結合若干例題對

5、上述的分類討論方法作一一闡述題型一：單調性的討論例1.已知函數(shù),求函數(shù)的單調區(qū)間； 解：,若時，則>0在（1，）恒成立，所以的增區(qū)間（1，）.若，故當， 當時，所以a>0時的減區(qū)間為（），的增區(qū)間為. 例2.已知函數(shù)，討論在定義域上的單調性。 解：由已知得， （1）當，時，恒成立，在上為增函數(shù) （2）當，時， 1)時，在 上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)， 2）當時，故在上為減函數(shù)，在，）上為增函數(shù) 綜上，當時，在上為增函數(shù); 當)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)， 當a0時，在（0，上為減函數(shù)，在， ）上為增函數(shù)例3.若函數(shù)（a0），求函數(shù)的單調區(qū)間。解：令=0，即：（注意這里方程的類型需

6、要討論）作出的圖像，由圖像可知在（0,2）上為減函數(shù)，在（2，+）上為增函數(shù)若由，得<0,>0作出的圖像，由圖像可知在綜上所述：，在（0,2）上為減函數(shù)，在（2，+）上為增函數(shù)在例4.（2010北京） 已知函數(shù)()=In(1+)-+ (0)。求()的單調區(qū)間。解：令=0，即：（這里需要對方程的類型討論）若k=0，則在（-1,0）上為增函數(shù)，在（0，+）上為減函數(shù)若k0,由得， （這里需要對兩個根的大小進行討論）若k=1，則，在（-1,）上為增函數(shù)若，則在或上為增函數(shù) 在上為減函數(shù)若，則在或上為增函數(shù) 在上為減函數(shù)綜上所述：若k=0，在（-1,0）上為增函數(shù)，在（0，+）上為減函數(shù)若

7、，在或上為增函數(shù) 在上為減函數(shù)若k=1，在（-1,）上為增函數(shù)若，在或上為增函數(shù) ,在上為減函數(shù)例5.（2009北京理改編）設函數(shù)，求函數(shù)的單調區(qū)間解：令，即（這里需要對方程的類型討論）若，則，在上為增函數(shù)若k0則由得，(這里需要對的斜率討論)若k>0則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù) 若k<0，則在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù) 綜上所述：若k=0，在上為增函數(shù)若k>0則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù) 若k<0，則在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)題型二：極值、最值的討論例1.已知函數(shù)，.（）若曲線在點處的切線垂直于直線，求的值；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.解:（）直線的斜率為1.函數(shù)的導數(shù)

8、為，則，所以. 5分（），.當時，在區(qū)間上，此時在區(qū)間上單調遞減，則在區(qū)間上的最小值為.當，即時，在區(qū)間上，此時在區(qū)間上單調遞減，則在區(qū)間上的最小值為.當，即時，在區(qū)間上，此時在區(qū)間上單調遞減；在區(qū)間上，此時在區(qū)間上單調遞增；則在區(qū)間上的最小值為.當，即時，在區(qū)間上，此時在區(qū)間上為單調遞減，則在區(qū)間上的最小值為.綜上所述，當時，在區(qū)間上的最小值為；當時，在區(qū)間上的最小值為.13分例2.已知函數(shù)()若在處的切線與直線平行,求的單調區(qū)間;()求在區(qū)間上的最小值.【答案】解:(I)的定義域為由在處的切線與直線平行,則此時令與的情況如下:()10+所以,的單調遞減區(qū)間是(),單調遞增區(qū)間是(II)由由

9、及定義域為,令若在上,在上單調遞增,; 若在上,單調遞減;在上,單調遞增,因此在上,; 若在上,在上單調遞減, 綜上,當時,當時,當時,例3.已知函數(shù).(I)求函數(shù)的單調區(qū)間;()當時,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【答案】解:定義域為R()當時,則的單調增區(qū)間為當時,解得, ,解得, ,則的單調增區(qū)間為,的單調減區(qū)間為當時,解得, ,解得, ,則的單調增區(qū)間為,的單調減區(qū)間為() 當時, 即 當時, 在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),則函數(shù)在區(qū)間-2,0上的最小值為 當時, 即 當時, 在上是增函數(shù),則函數(shù)在區(qū)間-2,0上的最小值為綜上: 當時, 在區(qū)間-2,0上最小值為當時, 在區(qū)間-2,0上最小值為例4.已知函數(shù)在處取得極值.()求的值; ()求函數(shù)在上的最小值;()求證:對任意,都有. 【答案】()由已知得即解得:當時,在處函數(shù)取得極小值,所以(), .-0+減增所以函數(shù)在遞減,在遞增 當時,在單調遞增,當時,在單調遞減,在單調遞增,. 當時, 在單調遞減,綜上 在上的最小值()由(