定積分及其應(yīng)用61626

1、在科學(xué)技術(shù)和現(xiàn)實生活的許多問題中,經(jīng)常需要計算某些“和式的極限”.定積分就是從各種計算“和式的極限”問題抽象出來的數(shù)學(xué)概念,它與不定積分是兩個不同的數(shù)學(xué)概念.但是,微積分基本定理則把這兩個概念聯(lián)系起來,解決了定積分的計算問題,使定積分得到了廣泛的應(yīng)用.本章將從兩個實例出發(fā)引出定積分的概念然后討論定積分的性質(zhì)和計算方法,最后還將介紹廣義積分的概念及其計算.本章的主要內(nèi)容包括:定積分的概念和性質(zhì);牛頓-萊布尼茲公式;定積分的換元法與分部積分法;廣義積分.5.1 定積分的概念與性質(zhì)教學(xué)目的和要求：理解定積分的概念；了解定積分的幾何意義，會用定積分表示曲邊梯形的面積。重點(diǎn)與難點(diǎn)：定積分概念與性質(zhì)、定積

2、分的幾何意義 兩個實例1.求曲邊梯形的面積曲邊梯形: 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上非負(fù)、連續(xù). 由直線x=a、x=b、y=0及曲線y=f (x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形, 其中曲線弧稱為曲邊.xy0y=f(x)ABxi-1xia=x0xn=bixy0aby=f(x)ABx=ax=b 怎樣計算曲邊梯形的面積呢? 將區(qū)間劃分為許多小區(qū)間,相應(yīng)地曲邊梯形就被分割成許多小的曲邊梯形, 每個小曲邊梯形都用一個小矩形近似代替, 每個小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積, 則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值. 當(dāng)把區(qū)間無限細(xì)分下去,使每個小區(qū)間的長度都趨向于零時,所有小矩形面積之和的極限就

3、是曲邊梯形的面積.根據(jù)上面的分析,可按下面四個步驟計算曲邊梯形的面積A.(1) 分割在區(qū)間a,b中任意插入若干個分點(diǎn)a=x0<x1<x2<×××<xn-1<xn=b, 把a(bǔ),b分成n個小區(qū)間:x0,x1, x1,x2, x2,x3,×××, xn-1,xn, 它們的長度依次為x1= x1-x0,x2= x2-x1,×××,xn= xn-xn-1.經(jīng)過每一個分點(diǎn)作平行于y 軸的直線段, 把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形. 小曲邊梯形的面積記為.(2)近似代替在每個小區(qū)間xi-1,x

4、i上任取一點(diǎn) , 以xi-1,xi為底、f ()為高的小矩形的面積近似替代第i個小曲邊梯形的面積(i=1, 2,×××,n) , 即(3)求和把這樣得到的n個小矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值, 即»f (1)x1+f (2)x2+×××+ f (n)xn. (4)取極限 顯然, 分點(diǎn)越多、每個小曲邊梯形越窄, 所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯形面積A的精確值, 因此, 要求曲邊梯形面積A的精確值, 只需無限地增加分點(diǎn), 使每個小曲邊梯形的寬度趨于零. 記l=maxx1,x2,××

5、×,xn, 于是, 上述增加分點(diǎn), 使每個小曲邊梯形的寬度趨于零, 相當(dāng)于令l®0. 所以曲邊梯形的面積為.結(jié)論:曲邊梯形的面積為一個和式的極限.2. 求變速直線運(yùn)動的路程設(shè)物體作變速直線運(yùn)動, 已知速度v=v(t)是時間間隔T 1,T 2上t的連續(xù)函數(shù), 且v(t)³0, 計算在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S.引例2與引例1情況類似,由于速度是變化的,不能按不變(勻速)的情況去處理,我們?nèi)杂蒙厦嫠膫€步驟去解決這個問題. (1)分割 用分點(diǎn)T1=t0<t1<t2<×××<tn-1<tn=T2把時間區(qū)間T 1

6、,T 2分成n 個小區(qū)間:t0,t1, t1,t2, t2,t3,×××, tn-1,tn, 這些小區(qū)間的長度(時間間隔)記為: .在各段時間內(nèi)物體經(jīng)過的路程依次為S 1,S 2,×××,S n.(2)近似代替任取,用點(diǎn)的速度近似代替物體在上的速度,那么物體在時間區(qū)間上經(jīng)過的路程近似為,即(3)求和物體在T 1,T 2內(nèi)所經(jīng)過的路程.(4)取極限 記l= maxt 1,t 2,×××,tn, 當(dāng)l®0時, 取上述和式的極限, 即得變速直線運(yùn)動的路程.結(jié)論:變速直線運(yùn)動的路程為一個和式的極限.上面

7、兩個例子,雖然實際意義不同,但是解決問題的數(shù)學(xué)方法是相同的,并且最后所得到的結(jié)果都?xì)w結(jié)為和式的極限.在科學(xué)技術(shù)中有許多實際問題也是歸結(jié)為和式的極限.拋開實際問題的具體意義,數(shù)學(xué)上把這類和式的極限叫做定積分. 定積分的概念 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上有界, 在a,b中任意插入若干個分點(diǎn)a=x0<x1<x2<×××<xn-1<xn=b,把區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間:x0,x1, x1,x2,×××, xn-1,xn , 稱為子區(qū)間,各小段區(qū)間的長依次為x1=x1-x0,x2=x2-x1,×

8、5;×,xn=xn-xn-1.在每個小區(qū)間xi-1,xi上任取一個點(diǎn), 作函數(shù)值f (i)與小區(qū)間長度xi的乘積f (i)xi (i=1, 2,×××,n) , 并作出和.記l= maxx1,x2,×××,xn, 如果不論對a,b怎樣分法, 也不論在小區(qū)間xi-1,xi上點(diǎn)i 怎樣取法, 只要當(dāng)l®0時, 上述和式的極限都存在, 則稱函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上可積, 此極限值叫做函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上的定積分,記作, 即.其中f (x)叫做被積函數(shù),f (x)dx叫做被積表達(dá)式,x叫做積分變量,a 叫做積分

9、下限,b 叫做積分上限, a,b叫做積分區(qū)間.根據(jù)定積分的定義 曲邊梯形的面積為; 變速直線運(yùn)動的路程為. 說明: (1)定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān), 而與積分變量的記法無關(guān), 即. (2)定積分的值與對區(qū)間a,b的分法及的取法無關(guān). (3)如果f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù), 那么f (x) 在a,b上可積.定積分的幾何意義xyaA0y=f(x)bB 當(dāng)f(x)³0時, 積分在幾何上表示由曲線y=f (x)、兩條直線x=a、x=b 與x軸所圍成的曲邊梯形的面積; 當(dāng)f(x)£0時, 由曲線y=f (x)、兩條直線x=a、x=b 與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方

10、, 定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值;.當(dāng)f (x)既取得正值又取得負(fù)值時,函數(shù)f(x)的圖形某些部分在x軸的上方,而其它部分在x軸的下方.如果我們對面積賦以正負(fù)號,在x軸上方的圖形面積賦以正號,在x軸下方的圖形面積賦以負(fù)號, 則在一般情形下, 定積分的幾何意義為: 它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x=a、x=b之間的各部分面積的代數(shù)和.定積分的性質(zhì) 兩點(diǎn)規(guī)定: (1)當(dāng)a=b時,. (2)當(dāng)a> b時,.性質(zhì)1 函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差) 即.這個性質(zhì)還可推廣到有限多個函數(shù)的情形.性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面 即.性質(zhì)3 如果將積

11、分區(qū)間分成兩部分 則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和 即 .這個性質(zhì)表明定積分對于積分區(qū)間具有可加性.值得注意的是不論a,b,c的相對位置如何總有等式成立.性質(zhì)4 如果在區(qū)間ab上f (x)º1 則.性質(zhì)5 如果在區(qū)間a, b上 f (x)³0, 則(a<b).推論1 如果在區(qū)間a, b上 f (x)£g(x) 則(a<b).這是因為g(x)-f(x)³0, 從而, 所以.推論2(a<b).這是因為-|f (x)| £f (x) £ |f (x)|, 所以,即| .性質(zhì)6 (估值定理)設(shè)M 及m 分別

12、是函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的最大值及最小值, 則(a<b).證明 因為 m£f (x)£M, 所以,從而.性質(zhì)7 (定積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則在積分區(qū)間a, b上至少存在一個點(diǎn), 使下式成立:.證明 由性質(zhì)6 ,各項除以b-a 得,再由連續(xù)函數(shù)的介值定理, 在a, b上至少存在一點(diǎn), 使,于是兩端乘以b-a得中值公式.例1.比較下列各積分值的大小:(1)與 (2) 與解 (1)因為在0,1上,所以.(2) 因為在0,1上,所以.的值的范圍.解 設(shè),因為,所以在-1,1上單調(diào)減少,從而,因此由估值定理有:. 內(nèi)容小結(jié)1. 定積分的

13、概念2. 定積分的幾何意義3. 定積分的性質(zhì)自測一、選擇題 1、函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)是存在的 2、設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，且= 0，則A對一切f(x)及a ,b都成立 B.當(dāng)a > b時才成立C在f(x) = 0 時才成立 D.當(dāng)a < b時才成立3、由曲線y = sinx，y = cosx和直線x = 0, x = 所圍成的平面圖形的面積，用定積分表示為A B.+C. D.+4、定積分是Af(x)的一個原函數(shù) B. f(x)的全體原函數(shù)5、設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，則的值是= A.小于0 B. .大于0 C二、判斷題1、= 0。 （ ）2、定積分的值只與被積函數(shù)有

14、關(guān)，與積分變量無關(guān)。（ ）3、 + 。（ ）4、y = 1, x = 1 ,y = 0 所圍成的圖形面積為。（ ）5、。（ ）5. 2牛頓-萊布尼茨公式教學(xué)目的和要求：了解變上限的定積分的概念和性質(zhì)；熟練掌握牛頓萊布尼茲公式重點(diǎn)與難點(diǎn)：變上限的定積分的概念和性質(zhì)；牛頓萊布尼茲公式復(fù)習(xí)：1、不定積分的定義；2、積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。應(yīng)用定義去求定積分,盡管被積函數(shù)很簡單,也是一件比較困難的事.所以,需要尋找簡便而有效的計算方法,這就是牛頓萊布尼茲公式. 設(shè)物體從某定點(diǎn)開始作直線運(yùn)動, 在t時刻所經(jīng)過的路程為S(t), 速度為v=v(t)=S¢(t)(v(t)³0), 則在時間間隔

15、T1,T2內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S可表示為及,即. 上式表明, 速度函數(shù)v(t)在區(qū)間T1,T2上的定積分等于v(t)的原函數(shù)S(t)在區(qū)間T1,T2上的增量.這個特殊問題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義呢變上限的定積分設(shè)函數(shù)f(x) 在區(qū)間a,b上連續(xù)，對任意的xa,b, f(x) 在區(qū)間a,x上也連續(xù)。所以函數(shù)f(x) 在區(qū)間a,b上也可積。定積分的值依賴上限x，因此它也是定義在a,b上的函數(shù)，記作則叫做變上限的定積分。定理1 若函數(shù)f(x) 在區(qū)間a,b上連續(xù)，則變上限的定積分在區(qū)間a,b上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，即證明（略）由定理可知，如果函數(shù)f(x) 在區(qū)間a,b上連續(xù)，則變上限的定

16、積分就是f(x) 在區(qū)間a,b上的一個原函數(shù)，即連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在。例1、計算：。解：= 。例2、已知F(x)=,求F(x)。解：F(x)= =。例3、設(shè)y = ,求。解：積分上限是x的函數(shù)，所以變上限的定積分是x的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 =。牛頓-萊布尼茨公式 定理2 如果函數(shù)F (x) 區(qū)間a,b上連續(xù)，F(xiàn) (x)是f(x)在區(qū)間a,b上的一個原函數(shù), 則.此公式稱為牛頓-萊布尼茨公式, 也稱為微積分基本公式. 證明: 已知函數(shù)F(x) 是連續(xù)函數(shù)f(x) 的一個原函數(shù), 又根據(jù)定理1, 積分上限函數(shù)F(x)=也是f(x)的一個原函數(shù). 于是有一常數(shù)C, 使F(x)-F(x)=

17、C (a£x£b).當(dāng)x=a時, 有F(a)-F(a)=C, 而F(a)=0, 所以C=F(a); 當(dāng)x=b 時,F(b)-F(b)=F(a),所以F(b)=F(b)-F(a), 即.為了方便起見, 可把F(b)-F(a)記成, 于是.進(jìn)一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系.例1 計算.解：.例2. 計算下列定積分:(1) (2) (3) (4) (5) 解:(1) (2) =(3)=(4) =+ =+ =+=(5)=- =-=內(nèi)容小結(jié)：1、變上限的定積分 2、牛頓-萊布尼茨公式自測題一、選擇題1、設(shè)函數(shù)F (x) 區(qū)間a,b上連續(xù)，,則下式中是f(x)一

18、個原函數(shù)的是A. B. C. D.2、下列積分中可用牛頓-萊布尼茨公式計算的是A B. C. D.3、下列等式不正確的是A. B.C. D.4、的值等于A B.0 C5、= A2（ B. C.( D.二、填空題1、2、已知3、4、若f(x)=5、5. 3 定積分的換元法和分部積分法教學(xué)目的和要求： 熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法，會求定積分重點(diǎn)與難點(diǎn)：定積分的換元積分法和分部積分法復(fù)習(xí)：不定積分的換元法和分部積分法定積分的換元積分法 定理 假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù), 函數(shù)x=j(t)滿足條件: (1)j(a )=a,j(b)=b; 當(dāng)t在a,b上變化時,j(t)在a,b上變化

19、. (2)j(t)在a,b上單調(diào)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 則有. 這個公式叫做定積分的換元公式,可以把f(x)在區(qū)間a,b上的定積分轉(zhuǎn)化為f j(t)j¢(t)在a,b(這里a不一定小于b)上的定積分. 例1 計算. 解 令,則, ;當(dāng)x=0時t=0, 當(dāng)x=1時;= 例2 計算. 解 令,則;當(dāng)x=0時t=0, 當(dāng)x=4時,t=2;=4-2ln3 例3 計算. 解 令,則;當(dāng)x=ln3時t=2,當(dāng)x=ln8時,t=3;=例4 設(shè)函數(shù)f(x)在-a,a上連續(xù)(a>0),證明:(1) 若f (x)在-a,a上為偶函數(shù), 則.(2) 若f(x)在-a,a上為奇函數(shù), 問0. 證明 因為,而

20、,所以 .(1)若f (x)在-a,a上為偶函數(shù),則=(2)若f (x)在-a,a上為奇函數(shù),則=0在計算對稱區(qū)間上的積分時,如能判斷被積函數(shù)的奇偶性,可使計算簡化.分部積分法 設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間a,b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u¢(x)、v¢(x), 由(uv)¢=u¢v+uv¢得uv¢=uv-u¢v, 等式兩端在區(qū)間a,b上積分得,.或 這就是定積分的分部積分公式.例5 計算下列積分:(1) (2) (3) 解:（1）=（2）=(3) =課堂練習(xí):P862（3）、（4） P861（3）、(5)、(7)、（9）（30）5.

21、3.3 內(nèi)容小結(jié)1、定積分的換元積分法2、定積分的分部積分法自測題一、選擇題1、Aln B. ln C. ln D. ln2、計算定積分應(yīng)作代換A.x = asecx B.x = asinx C.x=tanx D.x = atanx3、A. B. C. D.4、設(shè)，則的值等于A.0 B.8 C.5、A B. C.D.二、計算下列各積分、（、5. 廣義積分復(fù)習(xí)：1、函數(shù)極限的定義；2、函數(shù)極限的計算；3、牛頓-萊布尼茲公式。教學(xué)目的和要求： 了解廣義積分的概念；會判斷較簡單的廣義積分的的斂散性，掌握用“p_積分”判斷廣義積分的斂散性.重點(diǎn)與難點(diǎn)：廣義積分的概念和斂散性的判定。在前面所討論的定積分

22、,我們總是假定函數(shù)區(qū)間a,b上連續(xù)或有有限個第一類間斷點(diǎn),而a和b都是有限數(shù),這些積分都屬于常義(通常意義)積分的范圍.在實際問題中還常遇到積分區(qū)間是無限或被積函數(shù)在有限區(qū)間上是無界的情形,前者叫無窮區(qū)間上的積分,后者叫無界函數(shù)的積分,兩者都叫廣義積分.無限區(qū)間上的廣義積分例1 求由曲線,軸及軸所圍成的開口的曲邊梯形(圖1)的面積S.xyoA(0,1)bBy=e-x解 如果按定積分的幾何意義,所求的開口曲邊梯形的面積S應(yīng)是一個無窮區(qū)間的積分.解決這個問題的思路是:任取,先求曲邊梯形.再讓,曲邊梯形obBA的面積的極限值就是開口曲邊梯形的面積S,即定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,+¥上

23、連續(xù), 取b>a. 如果極限 存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a,+¥上的廣義積分, 記作, 即.這時也稱廣義積分收斂. 如果上述極限不存在, 函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a,+¥上的廣義積分就沒有意義, 此時稱廣義積分發(fā)散. 類似地, 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥,b )上連續(xù), 如果極限(a<b)存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-¥,b )上的廣義積分, 記作, 即.這時也稱廣義積分收斂. 如果上述極限不存在, 則稱廣義積分發(fā)散. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥,+¥)上連續(xù), 如果廣義積分和都收斂, 則稱上

24、述兩個廣義積分的和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-¥,+¥)上的廣義積分, 記作, 即. 這時也稱廣義積分收斂.如果上式右端有一個廣義積分發(fā)散, 則稱廣義積分發(fā)散. 可見,求廣義積分的基本思路是:先求定積分,再取極限. 例2 計算廣義積分.解 取b>0,因為.所以= 例3 計算廣義積分.解 取b<0,因為= 所以. 例4 討論廣義積分(a>0)的斂散性. 解 當(dāng)p=1時,. 當(dāng)p<1時,. 當(dāng)p>1時,.因此, 當(dāng)p>1時, 此廣義積分收斂, 其值為; 當(dāng)p£1時, 此廣義積分發(fā)散. 被積函數(shù)有無窮間斷點(diǎn)的廣義積分定義2 設(shè)函數(shù)f(

25、x)在區(qū)間(a,b上連續(xù), 而在點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無界. 取e>0, 如果極限存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a,b上的廣義積分, 仍然記作, 即.這時也稱廣義積分收斂. 如果上述極限不存在, 就稱廣義積分發(fā)散. 類似地, 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b)上連續(xù), 而在點(diǎn)b 的左鄰域內(nèi)無界. 取e>0, 如果極限存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在a,b)上的廣義積分, 仍然記作, 即.這時也稱廣義積分收斂. 如果上述極限不存在, 就稱廣義積分發(fā)散. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上除點(diǎn)c(a<c<b)外連續(xù), 而在點(diǎn)c的鄰域內(nèi)無界. 如果兩個廣義積分與都收斂, 則定義.否則,

26、就稱廣義積分發(fā)散. 例5 計算廣義積分. 解 因為, 所以該積分為廣義積分. 例6 討論廣義積分的收斂性. 解 函數(shù)在區(qū)間-1, 1上除x=0外連續(xù), 且. 由于,即廣義積分發(fā)散, 所以廣義積分發(fā)散.注:本題若按常義積分去做就會得到錯誤的結(jié)果 內(nèi)容小結(jié)1. 無窮區(qū)間上的廣義積分2. 被積函數(shù)有無窮間斷點(diǎn)的廣義積分注意的是，在積分時要考慮被積函數(shù)的可積性。自測題一、選擇題、.不收斂.1 C.2、下列廣義積分中收斂的是. B. C. D.3、設(shè)廣義積分收斂，則必定有. B. C. D.4、A. B.5、A.0 B.2 C.1 D.55定積分在幾何中的應(yīng)用教學(xué)目的和要求：理解微元法的思想；熟練掌握求

27、解平面圖形的面積；會求平行截面面積為已知的立體的體積。 重點(diǎn)與難點(diǎn)：求解平面圖形的面積；求旋轉(zhuǎn)體的體積。 定積分應(yīng)用的微元法復(fù)習(xí)：1、定積分的定義；2、定積分的幾何意義當(dāng)時，連續(xù)且，則定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，即。由此可見，用定積分表示面積的關(guān)鍵在于寫出微小面積的近似值； 由于分割的任意性以及的任意性，微小面積記為，記為，并取，則微小面積可以近似的表為，記微小面積的近似值為面積微元（面積元素），這正好是積分表達(dá)式，從而有。注：事實上，所取面積的近似值正是面積的微分，即就是用面積的微分 作為面積微小量的近似值。如果所求量為，且滿足：對應(yīng)于某個變量，如，且；在時，具有可加性；則可以用下面的

28、方法，得到的一個積分表達(dá)式。選取積分變量，如，確定的變化范圍即；，求出在上所求量的微小量的近似值，也稱為的微元（微小量的近似值），即：；，即：。 以上方法的關(guān)鍵是得到所求量的微小量的近似值，即微元。 用定積分求平面圖形的面積設(shè)平面圖形如右圖所示，求此圖形的面積。所求面積視為變量的函數(shù)，則；區(qū)間，對應(yīng)的微小面積的近似值即面積微元；例1求曲線，所圍成圖形的面積。解：聯(lián)立：，解的交點(diǎn)：、，且， 或者直接利用推出的公式，此時，則注：如果求平面圖形（右圖）的面積，則選取積分變量為，；區(qū)間，對應(yīng)細(xì)小橫條的面積的近似值即面積微元為：如果將上面例題中所求面積視為的函數(shù)，則面積為變量的函數(shù)，；分別考慮：，對應(yīng)的

29、面積的近似值即面積微元所求圖形的面積為：。注：積分變量的選擇（或）可能直接影響到積分的計算；公式，與定積分幾何意義的結(jié)果一致。 用定積分求平行截面面積為已知的立體的體積（1）設(shè)連續(xù)曲線方程為，且；將、與軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的體積。旋轉(zhuǎn)軸是軸，則截面面積為：，其中是截面的圓的半徑；從而，旋轉(zhuǎn)體的體積為：（2）若連續(xù)曲線為，則、及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為例2求圖中圓錐的體積。解：積分變量，例3曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)體的體積。解：以為旋轉(zhuǎn)半徑的體積微元為，以為旋轉(zhuǎn)半徑的體積微元為積分區(qū)間為-1 ，1。得，注：若有連續(xù)曲線，且；將、與直線所圍成的曲邊

30、梯形繞直線旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)為：。（3）連續(xù)曲線，；將、與軸圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)體的體積。積分變量，；，微小體積的近似值即體積微元：用定積分求平面曲線的弧長 設(shè)有曲線y = f(x)（假設(shè)其導(dǎo)數(shù)連續(xù)），我們來計算從x = a到x = b的一段弧的長度s（如右圖）我們?nèi)杂梦⒎址?，取x為積分變量，,在微小區(qū)間x,x+dx內(nèi)，用切線段MT來近似代替小弧段（“常代變”），得弧長微分為=上式稱為弧微分公式,于是所求的弧長為 V 例1 一根彈簧按螺線盤繞，共計10圈,已知每圈的間隔10mm,試求彈簧的全長.解 分析第一圈第二圈的間隔,由方程 知 、 兩點(diǎn)極坐標(biāo)分別為()、，所以，因

31、此，.因為彈簧共圈，所以，從增到,根據(jù)前面極坐標(biāo)下弧長公式得 內(nèi)容小結(jié)1. 定積分應(yīng)用的微元法2.用定積分求平面圖形的面積3. 用定積分求平行截面面積為已知的立體的體積4. 用定積分求平面曲線的弧長自測題一、求曲線軸圍成的平面圖形的面積。二、用定積分求底圓半徑為r，高為h的圓錐體的體積。三、拋物線把圖形分成兩部分，求這兩部分面積之比。56定積分其它應(yīng)用舉例教學(xué)目的和要求：會用定積分的微元法求變力所做的功，會用定積分的微元法求液體對平面薄板的側(cè)壓力。重點(diǎn)與難點(diǎn)：微元法在實際問題中的應(yīng)用。定積分物理應(yīng)用1、變力做功設(shè)力與物體的運(yùn)動方向平行，約定：以物體的運(yùn)動方向為坐標(biāo)軸的正向，不妨設(shè)其沿軸運(yùn)動；力與坐標(biāo)軸方向一致時為正，相反時為負(fù)。如果是常力，則使得物體由點(diǎn)到點(diǎn)時，所做的功為：；一般地如果是變力，設(shè)為，考慮物體在此力的作用下由點(diǎn)到點(diǎn)時所作的功。積分變量；，功的微元為。例1將一彈簧平放，一端固定。已知將彈簧拉長10厘米用力需要5牛頓。問若將彈簧拉長15厘米，克服彈性力所作的功是多少？（g重力加速度）解：首先建立坐標(biāo)系如圖。選取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。當(dāng)彈簧被拉長為米時，彈性力為，從而所使用的外力為；由于米時，（N），故，即，所作功為：（）例2一個高為5米，底半徑為3米的圓柱形水池，盛滿水。欲將池中的水全部吸出