模糊粗糙集理論研究進(jìn)展-

1、文章編號:1001-7402(200504-0125-10模糊粗糙集理論研究進(jìn)展黃正華,胡寶清(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北武漢430072摘要:介紹模糊粗糙集的概念及發(fā)展進(jìn)程.提出了理論建立過程中,分別以推廣到模糊集、引入模糊邏輯算子、拓展到兩個論域為特點的三個發(fā)展階段;分析、比較了各階段代表性理論的特點,并對模糊粗糙集的未來發(fā)展作出了預(yù)期。關(guān)鍵詞:粗糙集;模糊粗糙集;下近似;上近似;模糊邏輯算子;粗糙模糊集中圖分類號:O 159文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A1引言Paw lak 粗糙集模型的推廣,是粗糙集研究的一個主要課題。模糊集和粗糙集理論在處理不確定性和不精確性問題方面推廣了經(jīng)典集合論,兩個理論的比較

2、和融合一直是人們感興趣的話題60,62,64。模糊粗糙集理論模型的建立和發(fā)展,成為粗糙集理論推廣的主要方向之一。從Dubo is 和Prade (1990提出模糊粗糙集理論9(下稱Dubois 模型,到后來的各種廣義模糊粗糙集理論、公理化的模糊粗糙集理論11,26,35,其中Gr eco,M atarazzo 和Slow inski(1998提出的模型11(下稱Greco 模型、特別是Radzikow ska(2002的模型35,可以說在一個論域的框架下,已經(jīng)使該理論的發(fā)展達(dá)到了一個相對完善的狀態(tài)。另一方面,Wu 等(200351和M i 等(200422在兩個論域的范疇下進(jìn)行了探索。本文第2

3、節(jié)回顧了Paw lak 粗糙集模型;第3、4、5節(jié)分別以Dubo is 模型、Radzikow ska 模型及Greco 模型、M i 模型及W u 模型為代表,介紹了模糊粗糙集發(fā)展的三個階段;第6節(jié)作了總結(jié)和展望。2粗糙集理論簡介設(shè)R 是論域U 上的等價關(guān)系(滿足自反性、對稱性和傳遞性,記為R U ×U .U 中所有與x 具有等價關(guān)系R 的元素的集合記為x R =y U (x ,y R 。商集U /R =x R x U 是等價關(guān)系R 將論域U 進(jìn)行劃分所得的等價類的集合。給定X U ,要用U /R 中的元素來描述、表達(dá)X ,不一定能精確地進(jìn)行。但常常可以用關(guān)于X 的一對下近似、上近

4、似來界定X ,這導(dǎo)致粗糙集概念的產(chǎn)生。定義2.131設(shè)R 是論域U 上的等價關(guān)系,對X U ,(RX ,R -X 稱為X 在Paw lak 近似空間(U ,R 上的一個粗糙近似,其中第19卷第4期2005年12月模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)Fuzzy Systems and M athematics V o l.19,N o.4D ec.,2005 收稿日期:2004-09-01基金項目:教育部高等學(xué)校骨干教師資助計劃資助項目作者簡介:黃正華(1974-,男,湖北漢川人,武漢大學(xué)助教,研究生,研究方向:智能計算與不確定性信息處理;胡寶清(1962-,男,湖北仙桃人,武漢大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師,研究方向:智能計

5、算與不確定性信息處理。126模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)2005年RX=xU xR X(1R-X=xU xRX RX、R-X分別稱為X的R下近似和R上近似。若R XR-X,則稱X為R粗糙集;否則X為R可定義集。以上是經(jīng)典的Paw lak意義下的粗糙集概念31,32。另有較多的研究者常常用上下近似構(gòu)成的偶對(RX,R-X稱為X的粗糙集。但其核心總在于下近似、上近似的概念。本文對粗糙集理論模型推廣的討論,實際上是集中在下近似、上近似的定義內(nèi)容、方式的推廣。RX、R-X的另一種等價定義方式9可以使我們從不同的層面認(rèn)識這一概念 :R X=xR xR X(2R-X=xR xRX 如果只看粗糙集的三個最基本的組成要素U

6、、R、X,那么理論的推廣可以認(rèn)為主要是從三個方面入手:一個論域U變?yōu)閮蓚€論域U、W53,即把R U×U推廣為R U×W;等價關(guān)系R可以換成相似關(guān)系(滿足自反性和對稱性18、自反關(guān)系(滿足自反性43、任意的一般關(guān)系RP(U×U、模糊關(guān)系RF(U×U;被近似對象X可以換成非經(jīng)典集合(no n-crisp sets,比如模糊集。這三個方向又常常不是單獨出現(xiàn)的,還可以交叉、綜合。在下面模糊粗糙集理論的介紹中,我們很容易看到這些特點。3模糊粗糙集模型建立初期的代表性文獻(xiàn)9、10是由Dubois和Prade(1990共同給出的。同時期對此問題進(jìn)行討論的文獻(xiàn),比較重要

7、的還有Nakamura(198827,Nakam ur a和Gao(199261,Nanda和M ajumda(199229,Kuncheva(199219,Coker(19925,Baner jee和Pal(19962,Bodjanova (19974,Yao(199752等。從時間上看,集中在20世紀(jì)90年代上半期。這是模糊粗糙集理論發(fā)展的第一階段,這個階段的特點是引入了模糊集和模糊等價關(guān)系。Dubo is模型起源于W illaeys和M alvache對模糊等價關(guān)系與模糊分類的討論50。目前文獻(xiàn)中所引用的模糊粗糙集概念,大多是指Dubois和Prade在9中的定義。與Paw lak粗糙集

8、相比,其不同之處在于: 被近似對象由crisp集X換為模糊集F. 等價關(guān)系R推廣為模糊等價關(guān)系R(滿足自反性、對稱性、傳遞性。定義3.19設(shè)(U,R是模糊近似空間,即R是論域U上的一個模糊等價關(guān)系。 FF(U,F在空間(U,R上的下近似R F、上近似R-F是U上的一對模糊集:R F(x=infmax F(y,1- R(x,y yU(3R F(x=supmin F(y, R(x,y yU為對方便定義式(3的理解,不妨看看Paw lak粗糙集定義式(1可以進(jìn)行怎樣的改寫。注意到集合描述的特征函數(shù)表示: X(y=1,若yX;否則為0。則定義式(1可改寫為:RX(x=inf X(y yU,(x,yR(

9、4RX(x=sup X(y yU,(x,yR其含義是直觀的:只有任一與x具有等價關(guān)系R的y都在集合X中(即 X(y=1,才有 若R不是等價關(guān)系(比如不滿足傳遞性或?qū)ΨQ性,此兩定義不是等價的43。RX (x =1(即x RX 。另一式的理解類似。(4式還可以進(jìn)一步寫為:RX (x =inf1- R (x ,y y X RX (x =sup R (x ,y y X (5這是因為: 等價關(guān)系R U ×U 的特征函數(shù)為:R (x ,y =1,若(x ,y R ;否則為0。 x RX RX (x =1 ( y U X ( R (x ,y =0 ( y U X (x ,y R x RX RX (

10、x =1 ( y X ( R (x ,y =1 ( y X (x ,y R 綜合(4式和(5式得:RX (x =infmax X (y ,1- R (x ,y y U RX (x =supmin X (y , R (x ,y y U (6(6式的第一個式子可理解為:x RX RX (x =1 ( y U ( X (y =11- R (x ,y =1( y U ( X (y =1 R (x ,y =0即 y U ,要么與x 無等價關(guān)系,要么在X 中。從而,若y 與x 等價,則必有y X ,即與x 等價的所有元素都在X 中。另一式的理解類似。比照(3式和(6式,知定義2.1是定義3.1的特例。如同

11、Pawlak 粗糙集可以用有如(2式的形式來定義,Dubois 和Prade 用等價類描述的方式定義了模糊粗糙集9:R 是論域U 上的一個模糊等價關(guān)系。R 將論域U 進(jìn)行模糊劃分,所得的模糊等價類x R 由隸屬函數(shù) x R (y = R (x ,y 來確定,用等價類集合U /R 中的元素描述給定的模糊集F ,所得的下近似R F 、上近似R F 是U /R 上的一對模糊集:RF (x R =inf max F (y ,1- X R (y y U R F (x R =supmin F (y , X R (y y U (7例如Intan 和Mukaidono(200263基于條件概率關(guān)系建立廣義模糊

12、粗糙集模型的討論、Sarkar(200240關(guān)于模糊粗糙隸屬函數(shù)的研究,引用了定義式(7的描敘方式。另外,Dubois 和Prade 在文獻(xiàn)9中還提出了粗糙模糊集的概念。與Paw lak 粗糙集相比較,被近似對象由crisp 集X 變?yōu)槟：疐 .模糊集F 在近似空間(U ,R 的下近似RF 、上近似R -F 是一對模糊集:RF (x =inf F (y y x R RF (x =sup F (y y x R (8這可以看成是從Paw lak 粗糙集到Dubois 模糊粗糙集的一個承上啟下的例子。既然R F 、R F 是模糊集,那它們一定可以用 -截集的形式來表達(dá)。這個工作主要是由Yao 來完

13、成的。Yao (1997在文獻(xiàn)52詳細(xì)闡述了Dubois 模型的背景和內(nèi)涵,基于-截集研究了模糊粗糙集的構(gòu)造方法。其方法的內(nèi)核是令(R F =R (F 、(R F =R (F ,而F 是crisp 集,其上下近似就回到了Paw lak 粗糙集的情形。Liu 等(2004的文獻(xiàn)65,可以認(rèn)為是其后續(xù)(Yao 是作者之一。Srinivasan 等(2001在文獻(xiàn)66完整回顧和敘述了Yao 模型,舉例研究了Yao 模型在信息檢索上的應(yīng)用。而Kunchev a(199219所定義的模糊粗糙集,是在Paw lak 粗糙集的基礎(chǔ)上,把對論域U 的等價關(guān)系劃分推廣為弱模糊劃分,定義近似對象F F (U 關(guān)于

14、弱模糊劃分A =A 1,A 2,A M 的正域、負(fù)域和邊界分別為:POS1A (F =I (A i ,F 1A i (9127第4期黃正華,胡寶清:模糊粗糙集理論研究進(jìn)展NE G 2A (F =I (A i ,F 1A i(10B ND 2 1A (F =I (A i ,F ( 2, 1A i(11其中1, 20,1,I (A i ,F =card (A i F card (A i 是A i 包含于F 的程度。這不同于前述的模型,其處理問題的方式與變精度粗糙集模型57及概率粗糙集模型55相類似,但其思想是富于創(chuàng)造性的。Nakam ura 和Gao (1991的文獻(xiàn)28定義了模糊集F F (U

15、的粗糙近似是一個模糊粗糙集(R F ,R F ,其隸屬函數(shù)為:RF (x =sup R (x ,y F (y R F (x =inf R (x ,y F (y (12其中 0,1,y U ,R 為模糊等價關(guān)系。注意到R =(x ,y R (x ,y 是普通的等價關(guān)系56,則上述的(12式可表示為: RF (x =sup F (y y U ,(x ,y R R F (x =inf F (y y U ,(x ,y R (13可見此概念可以劃歸到Dubois 粗糙模糊集模型。Bo djano va (19974在Dubo is 模型的基礎(chǔ)上,提出了基于包含度的修正型模糊粗糙集(mo dified f

16、uzzy rough sets。其思想與變精度粗糙集57方法是相通的。但在實際應(yīng)用中會需要較大的數(shù)據(jù)存儲空間。Salido 和M uakami(200337進(jìn)一步討論了將變精度方法引入到模糊粗糙集。Demirci(20038分析了Genuine 集7與各類模糊集之間的關(guān)系,認(rèn)為Dubo is 模型是特殊的Hazy 集(first -order g enuine sets 的一種8。目前所見的關(guān)于模糊粗糙集應(yīng)用的討論,絕大多數(shù)是基于Dubois 模型中的粗糙模糊集和模糊粗糙集概念12,21,34,38,40,41,44。另有一定數(shù)量的文獻(xiàn)討論了Nanda 和M ajum dar 意義下的模糊粗糙

17、集29。這是與Dubois 模型并行的另一條理論發(fā)展路線。該模糊粗糙集模型是基于Iw inski 粗糙集14概念的。Coker 在文獻(xiàn)5進(jìn)一步指出,此模糊粗糙集是Atanassor 所定義的直覺L -模糊集(intuitio nistic L -fuzzy set1。Bisw as 關(guān)于粗糙集與模糊粗糙集關(guān)系的討論3、Xiong 等關(guān)于模糊粗糙集的格性質(zhì)的討論59,使用的也是此定義。4廣義模糊粗糙集這是模糊粗糙集發(fā)展的第二個階段,特點是將二值邏輯推廣到模糊邏輯上來。Greco 模型11首先將這一概念推廣到一個高度廣義的階段。Radzikow ska(2002在文獻(xiàn)35中對此進(jìn)行了深入的討論。M

18、o rsi 和Yakout (1998的文獻(xiàn)26也是非常重要的。比較重要的還有T hiele (199845(200146-48、Salido (200337等。在粗糙集推廣進(jìn)程中,較早就引入了邏輯運算的討論54。比如用邏輯語言來書寫Paw lak 上下近似定義式(1:RX =x y (x ,y R y X R -X =x y (x ,y R y X (14這種改寫是有益的,出現(xiàn)在其中的二值邏輯運算,啟示著模糊邏輯運算的引入。Thiele (2001在文獻(xiàn)45用邏輯語言表達(dá)了Dubo is&Prade 粗糙模糊集和模糊粗糙集,并圍繞此問題進(jìn)行了一系列的討論46-48。下文的敘述涉及到的

19、模糊邏輯算子,可以參見文獻(xiàn)35,那里有一份完整而簡潔的敘述。128模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)2005年先介紹Radziko wska 模型。在引入模糊邏輯運算的同時,其模糊等價關(guān)系R 在形式上有點變化:滿足sup-min 傳遞性,自反性、對稱性不變。定義4.135設(shè)(U ,R 是模糊近似空間,即R 是論域U 上的模糊等價關(guān)系。I 是邊緣蘊含算子、T 是t -模。(U ,R 上的(I ,T -模糊粗糙近似是一個映射Ap r I ,T :F (U F (U ×F (U , F F (U ,Ap r I ,T (F =(R I F ,R T F 。 x U ,R I F (x =inf y UI (

20、R (x ,y , F (y R T F (x =sup y U T ( R (x ,y , F (y (15模糊集R I F (R T F 稱為F 在(U ,R 中的I -下模糊粗糙近似(T -上模糊粗糙近似。由定義4.1可見,Radzikow ska 模型的重要特點在于模糊邏輯算子的引進(jìn)。對應(yīng)于模糊邏輯算子的常見類型,文獻(xiàn)35給出了模糊粗糙近似的三種類型:S-FRA 由(I S ,T S 給定,其中I S 是連續(xù)的S -蘊含算子(基于連續(xù)的s -模S 和對合的否算子N ,T S 與S 關(guān)于N 對偶。R -FRA 由(I ,T 給定,這里I 是連續(xù)的R -蘊含算子(基于連續(xù)的t -模T 。

21、Q -FRA 由(I ,T 給定,I 是QL-蘊含算子(基于連續(xù)的t -模T 和對合的否算子N 。并深入討論了(I ,T -模糊粗糙集的基本性質(zhì)(比照Paw lak 粗糙集基本性質(zhì)?？梢钥吹?性質(zhì)對于R -FRA 基本上是滿足的,對S -FRA 、Q -FRA 有些是不成立的。這也許是大家常常用R -蘊含算子來討論問題的原因,比如后文的M orsi 模型、M i 模型?？纯碦adzikow ska 模型與其他模型之間的關(guān)系。M orsi 模型26是重要的,該模型討論了廣義的模糊粗糙上下近似運算。定義4.226設(shè)R 是U 上的T -等價關(guān)系(滿足自反性、對稱性、T -傳遞性。F F (U ,定義

22、下近似、上近似算子R F 、R F 為:RF (x =y U I t ( R (x ,y ,F (y R F (x =y UT ( R (x ,y , F (y (16容易得到形式與(15式一致的定義式: F F (U ,F 在近似空間(U ,R 的下近似R F 、上近似R F 是定義在U 上的一對模糊集,其隸屬函數(shù)為:R F (x =inf y U I t ( R (x ,y , F (y R F (x =sup y U T( R (x ,y , F (y (17其中,T 是某個t -模,I t 是基于T 的R -蘊含算子?？梢?17是(15的一個特例。Dubo is 模型也是Radziko

23、w ska 模型的特例。在定義式(15中令蘊含算子I 為:I (x ,y =S (N (x ,y ,即S -蘊含算子。又取s -模為m ax 運算,取N (x =1-x 為標(biāo)準(zhǔn)否算子,得I (x ,y =m ax 1-x ,y ,即Kleene -Dienes 蘊含算子I K D (S -蘊含算子的一種35。從而I ( R (x ,y , F (y =max 1- R (x ,y , F (y 。又令t -模為min 運算,得T ( R (x ,y , F (y =min R (x ,y , F (y 。由此得到Dubo is 模型定義3.1。要特別提及的是Greco 模型11。該模型定義了模

24、糊集基于模糊自反關(guān)系的粗糙近似。文獻(xiàn)11中沒有明確提出模糊粗糙集的概念,與Radzikow ska 模型相比,卻具有另一番深度。從提出問題的時間先后上看,也更具開創(chuàng)性。定義4.311設(shè)F 是論域U 上的模糊集,R 是定義在U 上的一個模糊自反關(guān)系,F 的下近似R 129第4期黃正華,胡寶清:模糊粗糙集理論研究進(jìn)展 由min 運算是最大的t -模知,任意關(guān)系R 滿足s up -min 傳遞性,必滿足T -傳遞性。因此,這里的T -等價關(guān)系是定義4.1所述模糊等價關(guān)系的特例。F、上近似R F是U上的模糊集,其隸屬函數(shù)分別定義為:R F(x=T yU(S(N( R(x,y, F(y R F(x=S

25、yU(T( R(x,y, F(y(18其中S與T關(guān)于否算子N滿足對偶關(guān)系。與Radziko wska模型相比較,Gr eco模型的特征是明顯的。5兩個論域的嘗試前述的模型在一個論域的范疇下,把理論推進(jìn)到了新的高度。把理論推向兩個或多個論域,是此研究領(lǐng)域一個新的期待。Wu等(200351和M i等(200422等對此進(jìn)行了探索。其特點是,論域W中的模糊集X的上下近似是由另一個論域U中的元素來表述的。這可能是一個新的理論階段的開始。來看Mi模型。設(shè)T是某t-模,S是與T對偶的s-模。令(x,y=sup 0,1 T(x, y(19(x,y=inf 0,1 S(x, y(20S(x,y=1-T(1-x

26、,1-y(21定義5.122設(shè)模糊關(guān)系RF(U×W,則三元組(U,W,R是一個廣義模糊近似空間。定義R,R:F(WF(U為空間(U,W,R上的模糊近似算子, FF(W,xU,R F(x=yW ( R(x,y, F(yR F(x=yW (1- R(x,y, F(y(22其中 、 如(19、(20式所定義。稱R、R為廣義模糊下近似、上近似算子,(R F、R F為F的廣義模糊粗糙集。此模型與M orsi模型較為接近。 該定義也引入了模糊邏輯算子。由模糊邏輯理論知,S(x, y=N(T(N(x,N(y總是與T(x,y是對偶的,其中N取標(biāo)準(zhǔn)否算子N s(x=1-x,即為(21式。 (19式中的

27、 (x,y即基于t-模的R-蘊含算子,這和定義4.1尤為相似。而Wu模型51,其建立兩個論域上的模糊粗糙集的思路,與前述的幾個模型則完全不同。其核心是使用了分解定理和表現(xiàn)定理。定義5.251設(shè)模糊二元關(guān)系RF(U×W,(U,W,R為廣義模糊近似空間,任意FF (W,其下近似、上近似分別定義為:R(F= 0,1( R1- (F +(23R(F= 0,1( R (F (24現(xiàn)以(24式為例分析其含義,(23式的理解類似。依文51所述知,R (F =xU R(x F ,其中R(x =yW R(x,y ,xU,yW.而R(F既然是模糊集,由分解定理有,R(F= 0,1( (R(F (25要得

28、到(24式,相當(dāng)于在式(25中令(R(F =R (F 。這一點,與Yao基于 -截集,討論粗糙集與模糊集的聯(lián)合52的思想,是相一致的。6結(jié)束語用一個表格來總結(jié)前文的表述(見表1。表中的內(nèi)容是,各個代表性理論模型與前一模型相比,所呈現(xiàn)的新特點。表1模糊粗糙集代表性理論模型特征比較第一階段第二階段第三階段D ubo is(1990M o rsi(1998Radziko w ska(2002Gr eco(1998M i(2004一個論域U 目標(biāo)FR(U模糊等價關(guān)系R (標(biāo)準(zhǔn)傳遞性二值邏輯運算R F,R FR(U模型T-等價關(guān)系(T-傳遞性R-蘊含算子模糊等價關(guān)系(sup-m in傳遞性模糊邏輯算子模

29、糊自反關(guān)系兩個論域U×WFF(WR-蘊含算子R F,R FR(U由前文的分析可以看到,Radziko wska模型、Greco模型,在一個論域這個范圍達(dá)到了一個高度廣義的狀態(tài),在此基礎(chǔ)上還可以引入上下近似算子,使理論更臻于公理化。Wu模型和M i模型在把論域推向兩個上做了探索,Wu模型還涉及了近似算子的討論。鑒于定義兩個論域上的等價關(guān)系會受阻于傳遞性的給出,基于兩個論域的相似關(guān)系、自反關(guān)系建立相應(yīng)的模型是可能的。相信理論的未來發(fā)展會在此框架內(nèi)引入更為一般的邏輯運算。屬性約簡和決策規(guī)則的給出,始終是粗糙集在理論、應(yīng)用兩個方面的核心問題,模糊粗糙集在此方向的研究有待全面展開。目前的討論,

30、可以參看文獻(xiàn)15、16。為了減少數(shù)據(jù)噪聲干擾,Salido和M ur akami(200327、Mieszkow icz-Rolka(200423-25將變精度方法引入到模糊粗糙集進(jìn)行了探討;另一方面,Intan和M ukaido no(200263、Wei和Zhang (200358把概率粗糙集模型方法引入到了模糊粗糙集模型的推廣。要運用到大數(shù)據(jù)集的分析,上述方法還有待進(jìn)一步的深入研究。理論應(yīng)用的討論正在日新月異。比如,數(shù)據(jù)庫分類12,40,41,信息挖掘13,44,信息檢索36,41,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)21,38,工程應(yīng)用34,系統(tǒng)控制6,33,股票價格預(yù)測49,文字識別17,語音識別39等等。和單

31、純地使用粗糙集相比,模糊粗糙集在應(yīng)用的效果上有更好的表現(xiàn)。例如Kasem siri討論了粗糙模糊集在泰文字識別上的應(yīng)用17,分別用了10535個7號字體、6880個4號字體進(jìn)行了比較實驗,與粗糙集相比,識別精度分別由68.73%、98.45%提高到88.62%、99.81%。這些應(yīng)用對漢字識別的研究具有很大的吸引力。文獻(xiàn)18對粗糙集理論進(jìn)行了介紹和全面的回顧,Zdzislaw Paw lak是文章作者之一,文中羅列的參考文獻(xiàn)有544篇之多。文章指出了粗糙集理論在9個大類、101個小方向的應(yīng)用的研究。模糊粗糙集在相類似問題上的應(yīng)用研究,是值得嘗試的。參考文獻(xiàn):1A tanassov K.Intu

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