二項(xiàng)式解題中常用的構(gòu)造策略

1、二項(xiàng)式解題中常用的構(gòu)造策略 在數(shù)學(xué)解題中，分析題中的條件和結(jié)論，構(gòu)造一個(gè)與原問(wèn)題相關(guān)的輔助模型，通過(guò)對(duì)輔助模型的研究達(dá)到解題目的，這種轉(zhuǎn)化方法稱(chēng)之為構(gòu)造法。構(gòu)造法是數(shù)學(xué)解題中最富有活力的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化方法之一，如能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用，不僅能把問(wèn)題變繁雜為簡(jiǎn)明、變隱晦為直觀、變離散為集中、變抽象為具體，達(dá)到難題巧解的目的，而且還能大大豐富學(xué)生的想象能力，培養(yǎng)學(xué)生解題的整體意識(shí)和創(chuàng)造性思維能力。1、聯(lián)想問(wèn)題背景 有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，孤立地運(yùn)用題設(shè)條件難以求解時(shí)，不妨把問(wèn)題于特定的背景下，構(gòu)造問(wèn)題的原型，尋求解題的入口。例1設(shè)n為正整數(shù)，證明：分析：變換組合數(shù)，圖通過(guò)演算得出結(jié)論，繁難。聯(lián)想問(wèn)題的背景，為二項(xiàng)式系數(shù)，于

2、是顯現(xiàn)出解題入口，構(gòu)造二項(xiàng)式來(lái)證明。為(x+y)2n展開(kāi)式中的最大的二項(xiàng)式系數(shù)，令x=y=1，則有(1+1)2n=，在此大背景下，問(wèn)題立即獲證。2、構(gòu)建恒等式有的問(wèn)題，不能從已知條件中作局部調(diào)整就可導(dǎo)出結(jié)論，必須從要求的結(jié)論出發(fā)，作整體設(shè)計(jì)，構(gòu)造某一恒等式，經(jīng)推理、運(yùn)算、多次轉(zhuǎn)化，才能湊配出解題所需的條件。例2 求證：()2+()2+()2=分析：構(gòu)造恒等式(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n。左邊展開(kāi)式中xn的系數(shù)是：+=()2+()2+()2右邊展開(kāi)式中xn的系數(shù)是：=，即命題成立。（也可構(gòu)造集合，有個(gè)n白球和n個(gè)黑球，從這2n個(gè)球中取出n個(gè)球的方法有種；另一方面，又可以這樣分類(lèi)：這n

3、個(gè)球的取法可分為取個(gè)i白球和n-i個(gè)黑球，取法為種(i=0,1,2,n)，由加法得。）3、構(gòu)建集合模型集合中數(shù)學(xué)的基本概念之一。它為數(shù)學(xué)提供了一種廣泛的理論基礎(chǔ)，利用集合論方法，我們可以看出表面上彼此很不相近的數(shù)學(xué)問(wèn)題的共性。因此，很多問(wèn)題可建立“集合模型”解決。例3求證：分析；是集合A=a1，a2，a3，an的子集的個(gè)數(shù)，而子集無(wú)非是由元素組成，確定A的子集的個(gè)數(shù)可以分為如下幾個(gè)步驟：第一步：確定子集中是否包含a1，有2種；第二步：確定子集中是否包含a2，有2種；第n步：確定子集中是否包含an，有2種；根據(jù)乘法原理知，A的子集個(gè)數(shù)共有2n，故原等式成立。4、構(gòu)建排列組合模型 排列、組合在中學(xué)

4、數(shù)學(xué)中占有重要位置，其分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的方法獨(dú)特，利用這種方法，建立使用“排列組合模型”，可使一些問(wèn)題得到較為新穎的解法。例4求證：(1+m)n=1+m+m2+ +mn，m，n都是自然數(shù)。分析：本題可建立這樣的模型：n名旅客到(1+m)家旅館投宿，問(wèn)有多少種不同的投宿方法：這個(gè)問(wèn)題可以這樣解決：一方面逐人考慮，安排n名旅客分n步驟，每名旅客都有(1+m)種投宿方法，由乘法原理共有(1+m)n方法；另一方面按到某家旅館可能的人數(shù)0，1，2，n。考慮安排分為（n+1）類(lèi)，從n名旅客中任選r名到某家旅館投宿有種選法，剩下的（n-r）名到另外的m家旅館投宿有mn-r種方法，根據(jù)乘法原理到某家旅館投宿

5、為r的分配方法有mn-r= mn-r（r=0，1，2，n）種；再由加法原理共有1+m+m2+ +mn種分配方法。兩種考慮方法，結(jié)果一樣，所以等式成立。5、構(gòu)建復(fù)數(shù)模型法 復(fù)數(shù)模型法，就是將所求命題的元素用復(fù)數(shù)來(lái)表示，然后用復(fù)數(shù)的性質(zhì)求解命題。例5若(1+x+x2)1000的展開(kāi)式為a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn，求a0+a3+a6+a1998的值。分析： 令x=1可得31000=a0+a1+a2+a3+a2000；令x=可得0=a0+a1+a22+a33+a20002000；（其中=-+，則3=1且2+1=0） 令x=2可得 0=a0+a12+a24+a36+a20004000。以

6、上三式相加可得31000= 3（a0+a3+a6+a1998） 所以 a0+a3+a6+a1998=3999。6、構(gòu)建組合對(duì)偶式 配偶是解題的一種重要策略，它能使原來(lái)較難的問(wèn)題得以巧妙的解決，有著變繁為簡(jiǎn)、化難為易之功效。在教學(xué)中，有意識(shí)的注意這方面的訓(xùn)練，使學(xué)生較好的掌握這一解題策略。對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)、解題能力的提高無(wú)疑是的益的。例6設(shè)n=1990，求(1-3)的值。分析：將所求式子變形為A=(1-)。顯然它是(-1+i)n的展開(kāi)式的部分之和，即復(fù)數(shù)的實(shí)部。不妨取展開(kāi)式的其余的項(xiàng)的和為A的對(duì)偶式B=i(-)。則A+B=(-1+i)n=n=-+，所以A=-。7、構(gòu)建基本不等式 基本不等式

7、是證不等式的常用手段，有的二項(xiàng)式問(wèn)題可轉(zhuǎn)化基本不等式來(lái)求。例7 若nN，且n1，求證：!分析：左邊的“n次冪”與右邊的“n個(gè)數(shù)的積”是一個(gè)和諧因素，考慮到解題的突破口將問(wèn)題改述為，求證：，顯見(jiàn)，“和” “積”，再將問(wèn)題改述為，求 n，即為=1+2+3+n ，這樣由基本不等式公式得“1+2+3+n n”。命題成立。（本題也可構(gòu)造特殊配偶形式分析：n!=123(n-1)n ，倒排配偶n!=n(n-1)321，則(n!)2=(1n)2(n-1) (n-1)2(n1)()2()2()2=()2n，命題成立。）8、構(gòu)建組合數(shù)性質(zhì) 應(yīng)用組合數(shù)理論，對(duì)有關(guān)自然數(shù)命題的證明可達(dá)到意想不到的效果。例8是否存在常

8、數(shù)a、b、c，使得等式122+232 +n(n+1)2=n(n+1)(an2+bn+c)對(duì)于一切自然數(shù)都成立，并證明你的結(jié)論。分析：這是一個(gè)特殊數(shù)列求和問(wèn)題。初看難求其和，但根據(jù)其各項(xiàng)的特點(diǎn)，逆用組合數(shù)公式進(jìn)行探求，n(n+1)2= n(n+1)(n+2)-1= n(n+1)(n+2)- n(n+1)=6-2根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，原式左邊122+232 +n(n+1)2=（6-2）+（6-2）+（6-2）=6（+）-2（+）=6-2=n(n+1)(3n2+11n+10)，對(duì)照右邊知存在常數(shù)a=3，b=11，c=10，滿(mǎn)足題設(shè)要求。9、構(gòu)建倒序相加 構(gòu)造一些特殊的對(duì)偶形式（如倒序），再加以挖掘、顯示、

9、或稍加變形即可應(yīng)用，就能探求最佳解題方案。例9設(shè)a、bR+，且=1。求證：對(duì)于一切自然數(shù)n，有(a+b)n-an-bn22n-2n+1分析：令P=(a+b)n-an-bn作為本體。則P=Can-1b+an-2b2+abn-1倒序排序得孿體P=abn-1+a2bn-2+ Can-1b 相加得2P= C(an-1b+ abn-1)+ (an-2b2 +a2bn-2)+ +(abn-1 +an-1b) 2C+2+ +2 =2( C+)=2 (2n-2)，P(2n-2) 又知=1，ab=a+b2，ab4，故P(2n-2) 即P22n-2n+110、構(gòu)建分組或圖形 分組思想，其核心是根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況，

10、以分組后組與組之間的共性更利于分離和顯示為原則，以分組后更便于簡(jiǎn)化運(yùn)算、運(yùn)用有關(guān)概念和結(jié)論。例10求證：1！2！3！n!=分析：只需證明1！2！3！n!（34253nn-2）=(n!)n-1，針對(duì)一端n-1個(gè)n!之積的特點(diǎn)，將它分組而拆項(xiàng)，有(12)( 345n) (123)( 45n)(12345n)= 2！3！n!（34253nn-2）=(n!)n-1。即命題得證。（圖形法）345n 45n 5n n12 123 1234 12345(n-1) (n-1)行11、構(gòu)建一個(gè)中間目標(biāo)建立一個(gè)與初始條件和最終目標(biāo)都比較接近的中間目標(biāo)，以中間目標(biāo)作為跳板從初始條件過(guò)渡到最終目標(biāo)。例11 已知i、m

11、、n是正整數(shù)，且1im (1+n)m。分析：如何建立中間目標(biāo)呢？先找到組合數(shù)與2n-1之間的關(guān)系。想到(1+m)n=，(1+n)m=展開(kāi)式中的mi= mi，ni= ni，構(gòu)造中間目標(biāo)是否成立（1im），由mn(m-1)；m(n-2)n(m-2)； m(n-i+1)n(m-i+1)即中間目標(biāo) 成立。所以mi ni（1im 。又m0=n0=1， m1=n1=mn，所以即(1+m)n (1+n)m成立?？傊鲜鰩桌荚诮忸}教學(xué)中，教師要有意識(shí)地給學(xué)生創(chuàng)設(shè)構(gòu)建的新異情境，鼓勵(lì)學(xué)生不依常規(guī)，不受教材或教師傳授內(nèi)容的束縛，善于從新的角度去探索數(shù)學(xué)問(wèn)題，追求奇特、新穎的解法，這樣，對(duì)造就一大批探索創(chuàng)造型人

12、才大有裨益。例6 化簡(jiǎn) =一道課本習(xí)題的探究與應(yīng)用證明： 解法探究思考1 等式左邊為“和”的形式，結(jié)合數(shù)列的求和方法，可先考察其通項(xiàng)，由組合數(shù)公式，可得 ，由此，等式左邊可轉(zhuǎn)化為思考2 考慮組合數(shù)的性質(zhì)，可知，這樣，左邊式子中的第一項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)、第二項(xiàng)與倒數(shù)第三項(xiàng)、可合并在一起，又有，由此對(duì)等式左邊進(jìn)行倒序相加 + = 思考3 從等式右邊的出發(fā)，因?yàn)?，所以等式右邊可轉(zhuǎn)化為，比較等式兩邊的式子，不難發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題的關(guān)健是只要證，通項(xiàng)的轉(zhuǎn)化目標(biāo)進(jìn)一步明確，由證法1可知此式成立。2 結(jié)構(gòu)探究2.1 “通項(xiàng)”探究等式左邊是和的形式，其通項(xiàng)為 ，在證法1中，將 利用組合數(shù)公式轉(zhuǎn)化為，使得每一項(xiàng)的組合數(shù)前

13、的系數(shù)相同，出現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)和的形式。那么能否改變通項(xiàng)的形式，使之達(dá)到這一相同的效果呢？不妨試一試？由，可得，以此作為轉(zhuǎn)化途徑，可以得到：變式：剛才的轉(zhuǎn)化利用的是這一組合數(shù)的性質(zhì)，有沒(méi)有類(lèi)似的性質(zhì)，找一找，再試一試？（課本第99頁(yè)：（1）；（2）由（） 得到：變式：由 （），得到：變式：由（），結(jié)合得到：變式：由（），得到：變式：由變式和變式可得：變式：以上各式雖然形式各異，但實(shí)質(zhì)相同，都是利用組合數(shù)的性質(zhì)對(duì)其通項(xiàng)進(jìn)行變形，從而達(dá)到轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式系數(shù)和的形式。具體解題中，應(yīng)對(duì)出現(xiàn)的通項(xiàng)利用組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行變形，看能否轉(zhuǎn)化為組合數(shù)前的系數(shù)相同的形式。2.2 “系數(shù)”探究等式左邊和的形式中，前的系數(shù)分

14、別為1，2，在證法2中，由，倒序相加后，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的組合數(shù)形式相同，更主要的由于，使得相加后的每一個(gè)組合數(shù)前的系數(shù)相同，問(wèn)題得到解決。由此，聯(lián)想等差數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)系數(shù)進(jìn)行推廣：推廣：設(shè)成等差數(shù)列，公差為，則證明：思路將等式左邊倒序相加得到。（略）思路（證明過(guò)程中利用了的結(jié)論）推廣體現(xiàn)出系數(shù)為等差數(shù)列的情形，類(lèi)比到等比數(shù)列，若系數(shù)成等比數(shù)列，情況又如何呢？不妨試一試。推廣：設(shè)成等比數(shù)列，公比為，則證明：推廣則直接反映出二項(xiàng)展開(kāi)式的形式。3 應(yīng)用舉例對(duì)式左邊“和”式的探究，將通項(xiàng)的形式及各組合數(shù)前的系數(shù)進(jìn)行了變式與推廣，使得問(wèn)題可以出現(xiàn)多種呈現(xiàn)方式。想一想，找一找，是否遇到過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題？題1：求證 （

15、課本第111頁(yè)第10題）題2：證明 題3：設(shè)n為奇數(shù)，則被9除的余數(shù)為（ ） A、 1 B、 0 C、 -2 D、 7題4：滿(mǎn)足的最大的自然數(shù)n為（ ） A、 4 B、 5 C、 6 D、 7題5：等于（ ） A、 B、 C、 D、題6：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在等差數(shù)列，使得對(duì)一切的正整數(shù)n均成立。題8已知數(shù)列為正整數(shù)）是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。（1） 求和：，；（2） 由（1）的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個(gè)結(jié)論，并加以證明；（3） 設(shè)，是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，求 （03年上海高考19題改編）解：（1） ； （2）；（證明略）（）時(shí)，自己再編擬幾題，如何？拓展與延伸由題4（3）不難看出

16、，每一項(xiàng)的組合數(shù)前的系數(shù)并非單一的等差、等比的形式，正如給出數(shù)列的通項(xiàng)求數(shù)列的前n項(xiàng)和一樣，通項(xiàng)具有多種形式，那么在此問(wèn)題中能否對(duì)其通項(xiàng)作進(jìn)一步的拓展、廷伸呢？推廣3：設(shè)成等差數(shù)列，公差為，成等比數(shù)列，公比為，則推廣4：設(shè)成等差數(shù)列，公差為，成等比數(shù)列，公比為，則證明：由推廣3、推廣4，我們能編擬出相應(yīng)的具體題目嗎？按此結(jié)構(gòu)形式與轉(zhuǎn)化方法，我們還能得出哪些與組合數(shù)有關(guān)的數(shù)列的和式呢?！澳闳舭l(fā)現(xiàn)了一株蘑菇，便可以發(fā)現(xiàn)一群蘑菇?！?。作為教師，要善于拋出一株蘑菇，引導(dǎo)學(xué)生尋找一群蘑菇，讓學(xué)生在探究中感受知識(shí)的活力，在感悟中發(fā)展自己的思維與能力，真正做到走出題海，走進(jìn)研究性學(xué)習(xí)。（本文發(fā)表于浙江師大中

17、學(xué)教研2004年12期）對(duì)組合數(shù)的拓展考查浦東新區(qū)教研室 惲敏霞學(xué)習(xí)排列組合知識(shí)以后，認(rèn)識(shí)了組合數(shù)。在數(shù)學(xué)中，的基本含義表示從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)不同元素的不同組數(shù)總和，其計(jì)算公式即組合數(shù)公式為：=（這里n,mN*,mn，規(guī)定）。正由于該計(jì)算公式的特征，組合數(shù)除了課本上學(xué)的兩條基本性質(zhì)，還可以有很多有趣的性質(zhì)和應(yīng)用。在最近幾年的一些試卷中，對(duì)組合數(shù)的考查不僅僅限于計(jì)算，出現(xiàn)了一些對(duì)能力的拓展。一、拓展定義，考查學(xué)習(xí)探究規(guī)定，其中，且，這是組合數(shù)的一種推廣。（1）求的值；（2）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：、是否都能推廣到（）的情景？若能推廣，則寫(xiě)出推廣形式并給出證明；若不能，說(shuō)明理由；（3）已知組合數(shù)是

18、正整數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，。2002年上海市高考數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)的對(duì)組合數(shù)定義的推廣，為學(xué)生搭建了學(xué)習(xí)新的概念并在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行探究的平臺(tái)。簡(jiǎn)解如下：解：（1）（2）性質(zhì)不能推廣，如當(dāng)時(shí)，有意義，但無(wú)意義；性質(zhì)可以推廣，它的推廣形式是：（），證明由同學(xué)自己完成；（3）當(dāng)時(shí)，組合數(shù)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。二、綜合知識(shí)，考查代數(shù)證明已知數(shù)列（n為正整數(shù)）是首項(xiàng)是a1，公比為q的等比數(shù)列.（1）求和：（2）由（1）的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個(gè)結(jié)論，并加以證明.解（1） （2）歸納概括的結(jié)論為：若數(shù)列是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列，則2003年高考將組合數(shù)與等比數(shù)列結(jié)合，歸納證明結(jié)論，進(jìn)一步拓展組合數(shù)的考查、加強(qiáng)了對(duì)代數(shù)證明的考查。三、閱讀理解，考查探究能力閱讀下面解題過(guò)程，并證明下列各題