本科1009離散數(shù)學(xué)

1、1設(shè)P：a是偶數(shù)，Q：b是偶數(shù)。R：a + b是偶數(shù)，則命題“若a是偶數(shù)，b是偶數(shù)，則a + b 也是偶數(shù)”符號(hào)化為（D P QR）。2表達(dá)式x（P（x，y）Q（z）y（Q（x，y）zQ（z）中x的轄域是（P（x，y） Q（z）。3設(shè)則命題為假的是（）。4設(shè)G是有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的無向完全圖，則G的邊數(shù)（ 1/2 n（n-1）。5設(shè)G是連通平面圖，有v個(gè)結(jié)點(diǎn)，e條邊，r個(gè)面，則r=（ e-v+2）。6若集合A=1，2，1，2，則下列表述正確的是( 1ÌA )7已知一棵無向樹T中有8個(gè)頂點(diǎn)，4度、3度、2度的分支點(diǎn)各一個(gè)，T的樹葉數(shù)為( 5 )8設(shè)無向圖G的鄰接矩陣為則G的邊數(shù)為( 7 )9設(shè)

2、集合A=a，則A的冪集為(Æ，a )10下列公式中 (ØAÙØB «Ø(AÚB) )為永真式11若G是一個(gè)漢密爾頓圖，則G一定是( 連通圖 )12集合A=1, 2,3,4上的關(guān)系R=<x，y>|x=y且x,yA，則R的性質(zhì)為（傳遞的 ）13設(shè)集合A=1，2，3，4，5，偏序關(guān)系£是A上的整除關(guān)系，則偏序集<A，£>上的元素5是集合A的（極大元 ）14圖G如圖一所示，以下說法正確的是 ( (a, d) ,(b, d)是邊割集 ) 圖一15設(shè)A（x）：x是人，B（x）：x是工人，則命題

3、“有人是工人”可符號(hào)化為（(x)(A(x)B(x) ）16若集合A=1，2，B=1，2，1，2，則下列表述正確的是(AÌB，且AÎB )17設(shè)有向圖（a）、（b）、（c）與（d）如圖一所示，則下列結(jié)論成立的是 ( （d）是強(qiáng)連通的 )18設(shè)圖G的鄰接矩陣為則G的邊數(shù)為( 5 )19無向簡單圖G是棵樹，當(dāng)且僅當(dāng)(G連通且邊數(shù)比結(jié)點(diǎn)數(shù)少1 )20下列公式 (P®(ØQ®P)«(ØP®(P®Q) )為重言式21若集合A a，a，1，2，則下列表述正確的是(aÍA)22設(shè)圖G<V, E>，v

4、ÎV，則下列結(jié)論成立的是 ( ) 23命題公式（PQ）R的析取范式是 (（ØPØQ）R )24下列等價(jià)公式成立的為(P®(ØQ®P) ÛØP®(P®Q) )25設(shè)A=a,b，B=1,2，R1，R2，R3是A到B的二元關(guān)系，且R1=<a，2>, <b，2>，R2=<a，1>, <a，2>,<b，1>，R3=<a，1>, <b，2>，則（ R2 ）不是從A到B的函數(shù)26設(shè)A=1, 2,3,4,5,6,7,8，R是A上

5、的整除關(guān)系，B=2,4, 6，則集合B的最大元、最小元、上界、下界依次為 (無、2、無、2)27若集合A的元素個(gè)數(shù)為10，則其冪集的元素個(gè)數(shù)為（1024）28如圖一所示，以下說法正確的是 (e是割點(diǎn))圖一29設(shè)完全圖K有n個(gè)結(jié)點(diǎn)(n2)，m條邊，當(dāng)（ n為奇數(shù)）時(shí)，K中存在歐拉回路30已知圖G的鄰接矩陣為 ，則G有（5點(diǎn)，7邊 ）二、填空題（每小題3分，共15分）1設(shè)A，B為任意命題公式，C為重言式，若A CBC，那么AB是重言式（重言式、矛盾式或可滿足式）。2命題公式（PQ）P的主合取范式為。3設(shè)集合A=，a，則P（A）=。4設(shè)圖G =V，E， G =V，E，若V=V,E E,則G是G的生成

6、子圖。5在平面G =V，E中，則=2|E|，其中（i=1，2，r）是G的面。6命題公式的真值是 假（或F，或0） 7若無向樹T有5個(gè)結(jié)點(diǎn)，則T的邊數(shù)為 4 8設(shè)正則m叉樹的樹葉數(shù)為t，分支數(shù)為i，則(m-1)i=t-19設(shè)集合A=1，2上的關(guān)系R<1, 1>,<1, 2>，則在R中僅需加一個(gè)元素 <2, 1>，就可使新得到的關(guān)系為對(duì)稱的10("x)(A(x)B(x，z)C(y)中的自由變?cè)?z，y 11若集合A=1，3，5，7，B=2，4，6，8，則AB=空集（或Æ）12設(shè)集合A=1，2，3上的函數(shù)分別為：f=<1,2>,&

7、lt;2,1>,<3,3>,，g=<1,3>,<2,2>,<3,2>,，則復(fù)合函數(shù)g°f =<1, 2>, <2, 3>, <3, 2>,13設(shè)G是一個(gè)圖，結(jié)點(diǎn)集合為V，邊集合為E，則G的結(jié)點(diǎn)度數(shù)之和為2|E|（或“邊數(shù)的兩倍”） 14無向連通圖G的結(jié)點(diǎn)數(shù)為v，邊數(shù)為e，則G當(dāng)v與e滿足e=v-1關(guān)系時(shí)是樹15設(shè)個(gè)體域D1, 2, 3， P(x)為“x小于2”，則謂詞公式("x)P(x) 的真值為假（或F，或0） 16命題公式的真值是T （或1）17若圖G=<V,E>中具有

8、一條漢密爾頓回路，則對(duì)于結(jié)點(diǎn)集V的每個(gè)非空子集S，在G中刪除S中的所有結(jié)點(diǎn)得到的連通分支數(shù)為W，則S中結(jié)點(diǎn)數(shù)|S|與W滿足的關(guān)系式為W£|S|18給定一個(gè)序列集合000，001，01，10，0，若去掉其中的元素0，則該序列集合構(gòu)成前綴碼19已知一棵無向樹T中有8個(gè)結(jié)點(diǎn)，4度，3度，2度的分支點(diǎn)各一個(gè)，T的樹葉數(shù)為 520("x)(P(x)Q(x)R(x，y)中的自由變?cè)獮镽(x，y)中的y21設(shè)集合A=0, 1, 2, 3，B=2, 3, 4, 5，R是A到B的二元關(guān)系，則R的有序?qū)蠟?lt;2, 2>，<2, 3>，<3, 2>，<

9、3, 3>22設(shè)G是連通平面圖，v, e, r分別表示G的結(jié)點(diǎn)數(shù)，邊數(shù)和面數(shù)，則v，e和r滿足的關(guān)系式v-e+r=223設(shè)G<V, E>是有6個(gè)結(jié)點(diǎn)，8條邊的連通圖，則從G中刪去3條邊，可以確定圖G的一棵生成樹24無向圖G存在歐拉回路，當(dāng)且僅當(dāng)G連通且所有結(jié)點(diǎn)的度數(shù)全為偶數(shù)25設(shè)個(gè)體域D1,2，則謂詞公式消去量詞后的等值式為A(1)ÚA(2)26設(shè)集合Aa，b，那么集合A的冪集是Æ,a,b,a,b 27如果R1和R2是A上的自反關(guān)系，則R1R2，R1R2，R1-R2中自反關(guān)系有2個(gè)28設(shè)圖G是有6個(gè)結(jié)點(diǎn)的連通圖，結(jié)點(diǎn)的總度數(shù)為18，則可從G中刪去4條邊后使

10、之變成樹29設(shè)連通平面圖G的結(jié)點(diǎn)數(shù)為5，邊數(shù)為6，則面數(shù)為3 30設(shè)個(gè)體域Da, b，則謂詞公式("x)A(x)（$x）B（x）消去量詞后的等值式為(A (a)A (b)(B（a）B（b）) 31. 設(shè)集合A=0，1 ，2 ，B=l ，2 ，3 ， 剖，R 是A到B 的二元關(guān)系，R= <x ,y> |xA且yB且x， yAB 則R的有序?qū)蠟開<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>_32. 設(shè)G是連通平面圖，v， e ， r 分別表示G的結(jié)點(diǎn)數(shù)， 邊數(shù)和面數(shù)， 則 v， e 和r 滿足的關(guān)系式_v-e+r=2_33

11、.G=<V,E>是有20個(gè)結(jié)點(diǎn)，25 條邊的連通圖,則從G中刪去_6_條邊，可以確定圖G的一棵生成樹.34. 無向圖G存在歐拉回路， 當(dāng)且僅當(dāng)G所有結(jié)點(diǎn)的度數(shù)全為偶數(shù)且_ 連通_35. 設(shè)個(gè)體域D= 1, 2 ， 則謂詞公式" xA(x)消去量詞后的等值式為_A(1)A(2)_三、化簡解答題11設(shè)集合A=1，2，3，4，A上的二元關(guān)系R，R=1，1，1，4，2，2，2，3，3，2，3，3，4，1，4，4，說明R是A上的等價(jià)關(guān)系。解 從R的表達(dá)式知，即R具有自反性； 三、邏輯公式翻譯1將語句“今天上課”翻譯成命題公式設(shè)P：今天上課， 則命題公式為：P 2將語句“他去操場(chǎng)鍛煉

12、，僅當(dāng)他有時(shí)間”翻譯成命題公式設(shè) P：他去操場(chǎng)鍛煉，Q：他有時(shí)間， 則命題公式為：P ®Q3將語句“他是學(xué)生”翻譯成命題公式設(shè)P：他是學(xué)生， 則命題公式為： P 4將語句“如果明天不下雨，我們就去郊游”翻譯成命題公式設(shè)P：明天下雨，Q：我們就去郊游， 則命題公式為：ØP®Q 5將語句“他不去學(xué)?！狈g成命題公式設(shè)P：他去學(xué)校， ØP 6將語句“他去旅游，僅當(dāng)他有時(shí)間”翻譯成命題公式設(shè) P：他去旅游，Q：他有時(shí)間， P®Q 7將語句“所有的人都學(xué)習(xí)努力”翻譯成命題公式設(shè)P(x)：x是人，Q(x)：x學(xué)習(xí)努力， （"x）(P(x)

13、4;Q(x)8將語句“如果你去了，那么他就不去”翻譯成命題公式設(shè)P：你去，Q：他去， P®ØQ 9將語句“小王去旅游，小李也去旅游”翻譯成命題公式設(shè)P：小王去旅游，Q：小李去旅游， PÙQ 10將語句“所有人都去工作”翻譯成謂詞公式設(shè)P(x)：x是人，Q(x)：x去工作，("x)(P(x)®Q(x) 11將語句“如果所有人今天都去參加活動(dòng)，則明天的會(huì)議取消”翻譯成命題公式設(shè)P：所有人今天都去參加活動(dòng)，Q：明天的會(huì)議取消， P®Q 12將語句“今天沒有人來” 翻譯成命題公式設(shè) P：今天有人來， ØP13將語句“有人去上課” 翻

14、譯成謂詞公式設(shè)P(x)：x是人，Q(x)：x去上課，($x)(P(x)ÙQ(x)1 1. 將語句"如果小李學(xué)習(xí)努力，那么他就會(huì)取得好成績. "翻譯成命題公式. 設(shè)P：小李學(xué)習(xí)努力，Q:小李會(huì)取得好成績，PQ12. 將語句"小張學(xué)習(xí)努力,小王取得好成績. "翻譯成命題公式.設(shè)P：小張學(xué)習(xí)努力，Q:小王取得好成績，PQ四、判斷說明題1設(shè)集合A=1，2，B=3，4，從A到B的關(guān)系為f=<1, 3>，則f是A到B的函數(shù)錯(cuò)誤因?yàn)锳中元素2沒有B中元素與之對(duì)應(yīng)，故f不是A到B的函數(shù)2設(shè)G是一個(gè)有4個(gè)結(jié)點(diǎn)10條邊的連通圖，則G為平面圖錯(cuò)誤不滿足“

15、設(shè)G是一個(gè)有v個(gè)結(jié)點(diǎn)e條邊的連通簡單平面圖，若v3，則e3v-6”3設(shè)N、R分別為自然數(shù)集與實(shí)數(shù)集，f：NR，f(x)=x+6，則f是單射正確 設(shè)x1，x2為自然數(shù)且x1¹x2，則有f(x1)=x1+6¹x2+6=f(x2)，故f為單射4下面的推理是否正確，試予以說明(1) （"x）F（x）G（x）前提引入 (2)F（y）G（y）US（1）錯(cuò)誤 （2）應(yīng)為F（y）G（x），換名時(shí)，約束變?cè)c自由變?cè)荒芑煜?如圖二所示的圖G存在一條歐拉回路圖二錯(cuò)誤 因?yàn)閳DG為中包含度數(shù)為奇數(shù)的結(jié)點(diǎn)6設(shè)G是一個(gè)有6個(gè)結(jié)點(diǎn)14條邊的連通圖，則G為平面圖錯(cuò)誤 不滿足“設(shè)G是一個(gè)有v個(gè)結(jié)

16、點(diǎn)e條邊的連通簡單平面圖，若v3，則e3v-6”7如果R1和R2是A上的自反關(guān)系，則R1R2是自反的正確 R1和R2是自反的，"xÎA，<x, x>ÎR1，<x, x>ÎR2，則<x, x>ÎR1ÈR2，所以R1R2是自反的 8如圖二所示的圖G存在一條歐拉回路v1v2v3v5v4dbacefghn圖二正確 因?yàn)閳DG為連通的，且其中每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)為偶數(shù)9P（PQ）P為永真式正確 P（PQ）P是由P（PQ）與P組成的析取式，如果P的值為真，則P（PQ）P為真， 如果P的值為假，則P與PQ為真，即P（PQ

17、）為真，也即P（PQ）P為真，所以P（PQ）P是永真式 另種說明：P（PQ）P是由P（PQ）與P組成的析取式，只要其中一項(xiàng)為真，則整個(gè)公式為真 可以看到，不論P(yáng)的值為真或?yàn)榧?，P（PQ）與P總有一個(gè)為真， 所以P（PQ）P是永真式 或用等價(jià)演算P（PQ）PÛT10若偏序集<A，R>的哈斯圖如圖一所示，則集合A的最大元為a，最小元不存在 圖一正確 對(duì)于集合A的任意元素x，均有<x, a>ÎR（或xRa），所以a是集合A中的最大元按照最小元的定義，在集合A中不存在最小元 11. 如果R1和R2是A上的自反關(guān)系， 則R1R2是自反的。正確，R1和R2，是自

18、反的，"xA,<x,x>R1,<x,x>R2,則<x,x> R1R2，所以R1R2是自反的.12. 如圖二所示的圖中存在一條歐拉回路.圖二正確，因?yàn)閳DG為連通的，且其中每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)為偶數(shù)。五計(jì)算題（每小題12分，本題共36分）1試求出（PQ）（RQ）的析取范式（PQ）（RQ）Û(PQ)（RQ）Û(PQ)（RQ）Û(PQ)RQ（析取范式） 2設(shè)A=1, 1, 2，B=1, 2，試計(jì)算（1）（AB） （2）（AB） （3）A -（AB）（1）（AB）=1 （2）（AB）=1, 2, 1, 2 （3） A-（AB）=1,

19、1, 2 3圖G=<V, E>，其中V= a, b, c,d ，E= (a, b), (a, c) , (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)，對(duì)應(yīng)邊的權(quán)值依次為1、2、3、1、4及5，試（1）畫出G的圖形； （2）寫出G的鄰接矩陣；圖一ooooabcd112453（3）求出G權(quán)最小的生成樹及其權(quán)值（1）G的圖形表示如圖一所示： 圖二ooooabcd112453（2）鄰接矩陣：（3）最小的生成樹如圖二中的粗線所示： 權(quán)為：1+1+3=5 4畫一棵帶權(quán)為1,2,2,3,4的最優(yōu)二叉樹,計(jì)算它們的權(quán)ooooooooo1223347512最優(yōu)二叉樹如圖三所示 圖三權(quán)

20、為1´3+2´3+2´2+3´2+4´2=27 5求（PQ）R的析取范式與合取范式（PQ）RÛØ（PQ）RÛ (ØPØQ)R （析取范式）Û (ØPR)(ØQR) （合取范式） 6設(shè)A=0，1，2，3，R=<x，y>|xÎA，yÎA且x+y<0，S=<x，y>|xÎA，yÎA且x+y£2，試求R，S，R·S，S-1，r(R)R=Æ,S=<0,0>,<

21、0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<2,0> R·S=Æ， S-1=S， r(R)=IA=<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>7試求出（PQ）R的析取范式，合取范式，主合取范式（PQ）RÛ(PQ)RÛ(PQ)R（析取范式） Û(PR) (QR)（合取范式） Û(PR)(QQ) (QR)(PP)Û(PRQ)(PRQ) (QRP)(QRP)Û(PQR)(PQR) (PQR) 8設(shè)A=a, b, 1

22、, 2，B= a, b, 1, 1，試計(jì)算（1）（A-B） （2）（AB） （3）（AB）-（AB）（1）（A-B）=a, b, 2 （2）（AB）=a, b, 1, 2, a, b, 1 （3）（AB）-（AB）=a, b, 2, a, b, 1 9圖G=<V, E>，其中V= a, b, c,d,e，E= (a, b), (a, c), (a, e), (b, d),(b, e), (c, e), (c, d), (d, e) ，對(duì)應(yīng)邊的權(quán)值依次為2、1、2、3、6、1、4及5，試（1）畫出G的圖形； （2）寫出G的鄰接矩陣；（3）求出G權(quán)最小的生成樹及其權(quán)值（1）G的圖形表示

23、為： （2）鄰接矩陣：（3）粗線表示最小的生成樹， 權(quán)為7： 10設(shè)謂詞公式，試（1）寫出量詞的轄域； （2）指出該公式的自由變?cè)图s束變?cè)?）$x量詞的轄域?yàn)椋?"z量詞的轄域?yàn)? "y量詞的轄域?yàn)?（2）自由變?cè)獮榕c中的y，以及中的z約束變?cè)獮閤與中的z，以及中的y 11設(shè)A=1,2,1,2，B=1,2,1,2，試計(jì)算（1）（A-B）； （2）（AB）； （3）A×B（1）A-B =1,2 （2）AB =1,2 （3）A×B=<1,1>，<1,2>，<1,1,2>，<2,1>，<2,2>，

24、<2,1,2>，<1,1>，<1,2>，<1, 1,2>，<2,1>，<2,2>,<2, 1,2> 12設(shè)G=<V，E>，V= v1，v2，v3，v4，v5，E= (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) ，試（1）給出G的圖形表示； （2）寫出其鄰接矩陣；（3）求出每個(gè)結(jié)點(diǎn)的度數(shù)； （4）畫出其補(bǔ)圖的圖形（1）G的圖形表示為：（2）鄰接矩陣：（3）v1，v2，v3，v4，v5結(jié)點(diǎn)的度數(shù)依次為1，2，4，3，2 （4）補(bǔ)圖如下：13設(shè)集合A=1，

25、2，3，4，R=<x, y>|x,yÎA；|x-y|=1或x-y=0，試（1）寫出R的有序?qū)Ρ硎荆?（2）畫出R的關(guān)系圖；（3）說明R滿足自反性，不滿足傳遞性（1）R=<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>°°°°1234（2）關(guān)系圖為3）因?yàn)?lt;1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>

26、均屬于R，即A的每個(gè)元素構(gòu)成的有序?qū)赗中，故R在A上是自反的。 因有<2,3>與<3,4>屬于R，但<2,4>不屬于R，所以R在A上不是傳遞的。14求P®QÚR的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式P（RQ）ÛP(RQ)ÛPQR （析取、合取、主合取范式） Û(PQR)(PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) （主析取范式）15設(shè)圖G=<V，E>，V= v1，v2，v3，v4，v5，E= (v1,v2)，(v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3

27、,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) ，試(1) 畫出G的圖形表示；(2) 寫出其鄰接矩陣；(3) 求出每個(gè)結(jié)點(diǎn)的度數(shù)；v1v2v3v4v5ooooo(4) 畫出圖G的補(bǔ)圖的圖形（1）關(guān)系圖（2）鄰接矩陣 （3）deg(v1)=2deg(v2)=3deg(v3)=4deg(v4)=3v1v2v3v4v5ooooodeg(v5)=2（4）補(bǔ)圖16設(shè)謂詞公式$x(A(x,y)" zB(x,y, z) " yC(y,z) 試 (1)寫出量詞的轄域; $x量詞的轄域?yàn)?A(x,y)" zB(x,y, z), " z量詞的轄域?yàn)锽(x,y,z),"

28、y量詞的轄域?yàn)镃(y,z) (2)指出該公式的自由變?cè)图s束變?cè)? 自由變?cè)獮?A(x,y) " zB(x,y, z)中的y,以及C(y,z)中的z.約束變?cè)獮?A(x,y) " zB(x,y, z)中的x與B(x,y,z)中的z,以及C(y,z)中的y。六、證明題1試證明：若R與S是集合A上的自反關(guān)系，則RS也是集合A上的自反關(guān)系證明：設(shè)"xÎA，因?yàn)镽自反，所以x R x，即< x,x>ÎR；又因?yàn)镾自反，所以x R x，即< x,x>ÎS 即< x,x>ÎRS故RS自反2試證明集合等

29、式AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC) 證明：設(shè)S= AÈ (BÇC)，T=(AÈB) Ç (AÈC)，若xS，則xA或xBÇC，即xA或xB且xA或xC也即xAÈB且xAÈC，即xT，所以SÍT 反之，若xT，則xAÈB且xAÈC，即xA或xB且xA或xC，也即xA或xBÇC，即xS，所以TÍS因此T=S3試證明集合等式AÇ (BÈC)=(AÇB) È (AÇ

30、;C)證明：設(shè)S=A(BC)，T=(AB)(AC)，若xS，則xA且xBC，即xA且xB或xA且xC，也即xAB或xAC，即xT，所以SÍT 反之，若xT，則xAB或xAC，即xA且xB 或xA且xC也即xA且xBC，即xS，所以TÍS因此T=S4試證明集合等式AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC) 證明：設(shè)S= AÈ (BÇC)，T=(AÈB) Ç (AÈC)，若xS，則xA或xBÇC，即xA或xB且xA或xC也即xAÈB且xAÈC，即x

31、T，所以SÍT 反之，若xT，則xAÈB且xAÈC，即xA或xB且xA或xC，也即xA或xBÇC，即xS，所以TÍS因此T=S5試證明（$x）（P（x）R（x）Þ （$x）P（x）（$x）R（x）證明： （1）（$x）（P（x）R（x）P（2）P（a）R（a） ES(1)（3）P（a） T(2)I（4）（$x）P（x） EG(3)（5）R（a） T(2)I（6）（$x）R（x） EG(5)（7）（$x）P（x）（$x）R（x） T(5)(6)I6設(shè)m是一個(gè)取定的正整數(shù)，證明：在任取m1個(gè)整數(shù)中，至少有兩個(gè)整數(shù)，它們的差是m的整數(shù)倍證明

32、 設(shè)，為任取的m1個(gè)整數(shù)，用m去除它們所得余數(shù)只能是0，1，m1，由抽屜原理可知，這m1個(gè)整數(shù)中至少存在兩個(gè)數(shù)和，它們被m除所得余數(shù)相同，因此和的差是m的整數(shù)倍。7已知A、B、C是三個(gè)集合，證明A-(BC)=(A-B)(A-C) 證明 xÎ A-（BC）Û xÎ AxÏ（BC）Û xÎ A（xÏBxÏC）Û （xÎ AxÏB）（xÎ AxÏC）Û xÎ（A-B）xÎ（A-C）Û xÎ（A-B）（A-C）A-（BC）=

33、（A-B）（A-C）8（15分）設(shè)<A，*>是半群，對(duì)A中任意元a和b，如ab必有a*bb*a，證明：(1)對(duì)A中每個(gè)元a，有a*aa。(2)對(duì)A中任意元a和b，有a*b*aa。(3)對(duì)A中任意元a、b和c，有a*b*ca*c。證明 由題意可知，若a*bb*a，則必有ab。(1)由(a*a)*aa*(a*a)，所以a*aa。(2)由a*(a*b*a)(a*a)*(b*a)a*b*(a*a)(a*b*a)*a，所以有a*b*aa。(3)由(a*c)*(a*b*c)(a*c*a)*(b*c)a*(b*c)(a*b)*c(a*b)*(c*a*c)(a*b*c)*(a*c)，所以有a*b*ca*c。13. 設(shè)A,B為任意集合，證明：(A-B)-C = A-(BC).證明：(A-B)