數(shù)論不定方程

1、一、定義：把未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)的方程（組）稱為不定方程這里的“不定”指的是方程的解不定二、基本思路與方法：1因式分解法，對方程的一邊進行因式分解，另一邊作質(zhì)因數(shù)分解，對比兩邊，轉(zhuǎn)化為若干個方程構(gòu)成的方程組，進而求解。2配方法，將方程的一邊變?yōu)槠椒胶偷男问?，另一邊為常?shù)，再用不等式予以處理。3不等式估計，利用不等式工具確定不定方程中某元的范圍，再利用整數(shù)性“夾逼”出該元的取值。4運用整除性把“大數(shù)”化為“小數(shù)”，使方程的解明朗化。5同余方法，如果不定方程有整數(shù)解，則對任意，其整數(shù)解滿足。利用這一條件，同余可以作為探求不定方程整數(shù)解的一塊試金石。6構(gòu)造法，在不易得出方程的全部解時，通過構(gòu)造

2、法可以提供其部分解，從而證明該方程有解或者有無窮多個解，適合于處理存在性問題。7無窮遞降法，適合證明不定方程沒有正整數(shù)解。三、例題選講：的正整數(shù)解。解：法1（因式分解）：方程即，可得-121-11-1111121111121-121-11-1解得。法2（配方法）：方程即，即例2將表示成k個連續(xù)正整數(shù)之和，求項數(shù)k的最大值。解：設(shè)這k個連續(xù)正整數(shù)中最小的數(shù)為a，則，即，作因式分解可得。顯然，為了讓k盡量大，則需a盡量小，故需與的取值盡量接近，因此令，可得，。所以，項數(shù)k的最大值為486。例3.解方程：x 2 + x 2 = 0，其中 x 表示不超過x的最大整數(shù)解 令，則方程變?yōu)椋ú欢ǚ匠蹋┱淼?/p>

3、因為，所以，解得所以 x =或或1代入方程x 2 + x 2 = 0中得或或1注：運用不等式確定方程中某元的范圍，進而求解。例4找出所有整數(shù)組（x，y），使得解（不等式估計法）把方程變?yōu)橛稍匠炭芍?，于是得由于，從而有，解得?jù)y的整數(shù)性可得y的可能取值為，和0當時，得；當時，得；當時，此時無整數(shù)解；當時，x = 1綜上，原方程的所有整數(shù)解為（ 3， 2），（ 2，1），（0，1） 例5已知正整數(shù)滿足：，都是完全平方數(shù)，求的值。解：設(shè)，且。則，即，可得解得，即得或27或7，這里只有能使為完全平方數(shù)。所以。三、求方程x2xy4y3y2y的整數(shù)解【解】【不等式估計法】原方程可變形為4x2+4x+1=

4、4y4+4y3+4y2+4y+1(2x+1)2=(2y2+y)2+3y2+4y+1=(2y2+y)2+2(2y2+y)+1+(y2+2y)=(2y2+y+1)2+(y2+2y)（1）當，即當y2時，(2y2+y)2(2x+1)2(2y2+y+1)2而2y2+y與2y2+y+1為兩相鄰整數(shù)，所以此時原方程沒有整數(shù)解（2）當y=1時，x2+x=0，所以x=0或1（3）當y=0時，x2+x=0，所以x=0或1（4）當y=1時，x2+x=4，此時x無整數(shù)解（5）當y=2時，x2+x=30，所以x=6或5綜上所述：，例6證明：不定方程沒有整數(shù)解.【證明】【同余方法】若存在整數(shù)x，y使得成立，對方程兩邊模

5、11，可知；若y能被11整除，則，不合題設(shè)；若y不能被11整除，則，可得11能整除或，可知，于是有，這仍與題設(shè)不合。綜上，不定方程沒有整數(shù)解。例7設(shè)n是整數(shù)，它的b進制表示是777，求最小的正整數(shù)b，使得n是某個整數(shù)的四次方分析：顯然“最小的正整數(shù)b”體現(xiàn)出了b的范圍，應(yīng)緊緊抓住這個條件【解（運用整除性遞降大數(shù)）】據(jù)題意可建立等式 （關(guān)于n，b的不定方程）由于n是某個整數(shù)的四次方，故設(shè)，x是整數(shù)。那么，（轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，b的不定方程）可知7能整除，由于7為質(zhì)數(shù)，所以7能整除，故設(shè)，m為整數(shù)，則有（進一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于m，b的不定方程，方程更加簡單）因為最小的正整數(shù)b的充要條件是取最小，即最小，也就是

6、時故得，解得綜上，最小的正整數(shù)b為18例8求方程的質(zhì)數(shù)解分析：若x為偶數(shù)，則z必為偶數(shù)；若x是奇數(shù)，y為奇數(shù)，則z仍為偶數(shù)；若x是奇數(shù)，y為偶數(shù)，則z為奇數(shù)。因此，無論怎樣，x，y，z中至少有一個為偶數(shù)，而偶數(shù)為質(zhì)數(shù)的只有2解 若x為偶數(shù)，則x = 2，此時可得z = 2，從而得y = 59；若x為奇數(shù)，y為奇數(shù)，則z為偶數(shù)，即得z = 2，此時方程變?yōu)橛捎?22 = 261，所以得x = 61，從而得，不合，舍；若x為奇數(shù)，y為偶數(shù)，則y = 2，此時方程變?yōu)?。方程可進一步變?yōu)?，即（注：因式分解；?shù)的分解思想）由于z是質(zhì)數(shù)，不能繼續(xù)分解，故需，即得x = 11，z = 23綜上，原方程的質(zhì)數(shù)

7、解為（2，59，2）或（11，2，23）例9關(guān)于本原勾股數(shù)的兩條性質(zhì)：若正整數(shù)x，y，z滿足，且，則稱x，y，z為一組本原勾股數(shù)，且滿足：（1）x，y是一奇一偶兩個正整數(shù)，z為奇數(shù)；（2）若x為奇數(shù)，y為偶數(shù)，則，其中M、N為一奇一偶兩個正整數(shù)證明：（1）若x，y均為偶數(shù)，則z必為偶數(shù)，與矛盾；若x，y均為奇數(shù)，則，得而，則有，矛盾所以，x，y是一奇一偶兩個正整數(shù)，從而得z為奇數(shù)（2）方程可變形為，即若z，y不互質(zhì)，則有質(zhì)因數(shù)a，那么質(zhì)因數(shù)a能整除，可得a能整除，這與矛盾所以z，y互質(zhì)，即考查：因為；又為奇數(shù)，所以因此，即所以 ，且，b、c均為正奇數(shù)所以，令，則有，故令 ，就有，這里的m、n均

8、為正整數(shù)，所以M、N為一奇一偶兩個正整數(shù)例10求方程的正整數(shù)解分析：先分析出x，y，z的奇偶性，就有可能把方程變形為“勾股方程”解 易知為偶數(shù)，為奇數(shù)，所以為奇數(shù)，可得z為奇數(shù)由于3不能整除，所以3不能整除，即得3不能整除，故可設(shè)，于是，可得若x為奇數(shù)，則，所以x為偶數(shù)，可設(shè)為于是，而，所以若y是奇數(shù)，則，所以y是偶數(shù)，設(shè)。此時方程變形為顯然，故據(jù)本原勾股數(shù)的性質(zhì)有，。由可設(shè)，其中，且代入中得因為為奇數(shù)，為偶數(shù)，所以為奇數(shù)，可得，所以從而有，且由于，所以，可知m為奇數(shù)所以，注意到是m個奇數(shù)的和，而m為奇數(shù)，所以也為奇數(shù)，所以為奇數(shù)，即得，從而得所以，綜上，方程的正整數(shù)解為例11找出所有的正整數(shù)

9、組（x，y，z），使得y是質(zhì)數(shù)，y和3均不整除z，且解 方程變形為現(xiàn)考查的值，若為1，則與均為完全平方數(shù)，便可以產(chǎn)生兩個方程因為，而由y為質(zhì)數(shù)可知，可得從而，可得所以所以，且注意到可變?yōu)椋?，可得（注：這樣做的目的是利用y為質(zhì)數(shù)的不可分解性來建立新的方程）為此有如下情況：（1），可得，由得，整理得 ，即，可得m = 1，y = 7所以有 x = 8，y = 7，z = 13；（2），可得x = 0，不合，舍；（3），可得，可得，即，注意到，而，所以不可能綜上，所有的正整數(shù)解為（8，7，13）例12設(shè)是大于11的素數(shù)，問是否存在合數(shù)和正整數(shù)，使得.證明你的結(jié)論.解：因為為合數(shù)，故設(shè)，其中為一個素

10、數(shù)，為大于1的整數(shù)。那么能整除，即能整除。因為為素數(shù)，所以，且。那么，由于，所以能整除，所以能整除。因為，所以只能整除，而也是一個素數(shù)，因此。因此有整除，于是。據(jù)費馬小定理，有，而，矛盾。綜上，不存在合數(shù)和正整數(shù)，使得.等式即，又 ，即若11能整除，則可設(shè)，且為偶數(shù)，則有可得，故設(shè)，于是例13求方程的正整數(shù)解，其中.解：方程即，可知，且。若，則，可得。因為與是一奇一偶兩數(shù)，所以為奇數(shù)，不合題設(shè)，舍；若，則為正偶數(shù)，可知與的奇偶性相同。當與同為偶數(shù)，可令，則有，可得，可知與的奇偶性相同?？梢娕c含因數(shù)2的個數(shù)是相同的。故令，且均為正奇數(shù)，于是有，其中?？芍摇Ｒ驗榫鶠槠鏀?shù)，所以為偶數(shù)。若，可得，于是，且。同上道理，必為偶數(shù)。因此，可令，則。所以，這只能，即。若，則，可得，且。于是不定方程的解為四、（本題滿分50分）求方程的正整數(shù)解，其中.四、（本題滿分50分）【解答】下證，若為大于1的奇數(shù)，則此時原方程無滿足題意的解.下證關(guān)于、的方程無滿足、均為正整數(shù)且的解. (反證)若關(guān)于、的方程有滿足、均為正整數(shù)且為偶數(shù)，、的奇偶性相同. 若、同為奇數(shù)，則原方程可化為，注意到是個正奇數(shù)之和，故為大于1的奇數(shù)，這與它是的因子矛盾，故、同為偶數(shù). 設(shè)是所有解中使最小的，則可設(shè)，其中，均為正整數(shù)，則有，此時由，得，即，且也是其一組解，與的最小性矛盾. 故當為大于1的奇數(shù)時，方程