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1、教學(xué)要求: 1知道定積分的客觀背景曲邊梯形的面積和變力所作的功等,以及解決這些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法;深刻理解并掌握定積分的思想:分割、近似求和、取極限,進(jìn)而會(huì)利用定義解決問(wèn)題;2.深刻理解微積分基本定理的意義,能夠熟練地應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分;3.理解可積的必要條件以及上和、下和的性質(zhì),掌握可積的充要條件及可積函數(shù)類,能獨(dú)立地證明可積性的問(wèn)題;4.理解并熟練地應(yīng)用定積分的性質(zhì);5.熟練地掌握換元積分法和分部積分法,并能解決計(jì)算問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn):1.深刻理解并掌握定積分的思想,能夠熟練地應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分;2.掌握可積的充要條件及可積函數(shù)類,能獨(dú)立地證明可積性的問(wèn)題;3.

2、理解并熟練地應(yīng)用定積分的性質(zhì);4.熟練地掌握換元積分法和分部積分法,并能解決計(jì)算問(wèn)題.教學(xué)時(shí)數(shù):14學(xué)時(shí)§ 1 定積分概念(2學(xué)時(shí))教學(xué)要求: 知道定積分的客觀背景曲邊梯形的面積和變力所作的功等,以及解決這些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法;深刻理解并掌握定積分的思想:分割、近似求和、取極限,進(jìn)而會(huì)利用定義解決問(wèn)題;教學(xué)重點(diǎn):深刻理解并掌握定積分的思想.一、問(wèn)題背景: 1.曲邊梯形的面積: 2. 變力所作的功: 二、不積分的定義: 三、舉例: 例1 已知函數(shù)在區(qū)間上可積 .用定義求積分.解 取等分區(qū)間作為分法, . 取 .=.由函數(shù)在區(qū)間上可積 ,每個(gè)特殊積分和之極限均為該積分值 .

3、例2 已知函數(shù)在區(qū)間上可積 ,用定義求積分.解 分法與介點(diǎn)集選法如例1 , 有 .上式最后的極限求不出來(lái) , 但卻表明該極限值就是積分.例3  討論Dirichlet函數(shù)在區(qū)間 上的可積性 .四、小結(jié):指出本講要點(diǎn)§ 2 Newton Leibniz 公式(2學(xué)時(shí))教學(xué)要求: 深刻理解微積分基本定理的意義,能夠熟練地應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分.教學(xué)重點(diǎn):能夠熟練地應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分.Th9.1 ( N L公式 )( 證 )例1求> ; > ; 例2 求. §3可積條件(4學(xué)時(shí))教學(xué)要求: 理解可積的必要條件以及上和、下和的

4、性質(zhì),掌握可積的充要條件及可積函數(shù)類,能獨(dú)立地證明可積性的問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn):掌握可積的充要條件及可積函數(shù)類,能獨(dú)立地證明可積性的問(wèn)題;一、必要條件: Th 9.2 ,在區(qū)間 上有界.二、充要條件: 1.思路與方案: 思路: 鑒于積分和與分法和介點(diǎn)有關(guān), 先簡(jiǎn)化積分和. 用相應(yīng)于分法的“最大”和“最小”的兩個(gè)“積分和”去雙逼一般的積分和 , 即用極限的雙逼原理考查積分和有極限, 且與分法及介點(diǎn)無(wú)關(guān)的條件 .方案: 定義上和和下和. 研究它們的性質(zhì)和當(dāng)時(shí)有相同極限的充要條件 .2. Darboux和: 以下總設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上有界. 并設(shè),其中和分別是函數(shù)在區(qū)間 上的下確界和上確界 .定義Darbou

5、x和, 指出Darboux和未必是積分和 . 但Darboux和由分法、和記相應(yīng)于分法是數(shù)集(多值) . 但總有 , 因此有 . 和的幾何意義 .3. Darboux和的性質(zhì): 本段研究Darboux和的性質(zhì), 目的是建立Darboux定理. 先用分點(diǎn)集定義分法和精細(xì)分法: 表示是的加細(xì) .性質(zhì)1 若, 則, . 即 : 分法加細(xì), 大和不增,小和不減 . ( 證 )性質(zhì)2 對(duì)任何, 有 , . 即 : 大和有下界,小和有上界. ( 證 )性質(zhì)3 對(duì)任何和 , 總有. 即: 小和不會(huì)超過(guò)大和 .證 . 性質(zhì)4 設(shè)是添加個(gè)新分點(diǎn)的加細(xì). 則有+ ,.證 設(shè)是只在中第個(gè)區(qū)間內(nèi)加上一個(gè)新分點(diǎn)所成的分

6、法, 分別設(shè), , . 顯然有 和 . 于是.添加個(gè)新分點(diǎn)可視為依次添加一個(gè)分點(diǎn)進(jìn)行次. 即證得第二式. 可類證第一式.系 設(shè)分法有個(gè)分點(diǎn),則對(duì)任何分法,有, .證 .4. 上積分和下積分: 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上有界. 由以上性質(zhì)2 ,有上界 ,有下界 . 因此它們分別有上確界和下確界.定義 記, . 分別稱和為函數(shù)在區(qū)間 上的上積分和下積分.對(duì)區(qū)間 上的有界函數(shù), 和存在且有限 , . 并且對(duì)任何分法, 有 . 上、下積分的幾何意義. 例1 求和 . 其中是Dirichlet函數(shù) . 5. Darboux定理 : Th 1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上有界, 是區(qū)間 的分法 .則有=, =. 證

7、( 只證第一式 . 要證 : 對(duì)使當(dāng)時(shí)有. 是顯然的. 因此只證 . ), 對(duì), 使< 設(shè)有個(gè)分點(diǎn), 對(duì)任何分法, 由性質(zhì)4的系, 有,由*式, 得 < 即<亦即 <. 于是取, ( 可設(shè), 否則為常值函數(shù), = 對(duì)任何分法成立. ) 對(duì)任何分法, 只要 , 就有.此即=. 6. 可積的充要條件: Th 2 ( 充要條件1 )設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上有界. = .證 設(shè) =, 則有 =. 即對(duì)使當(dāng)時(shí)有 | | < 對(duì)成立.在每個(gè) 上取, 使, 于是, | | = < . 因此, 時(shí)有| | | | + | | < + = .此即=. 由Darboux定理 ,

8、= .同理可證 = . = . 對(duì)任何分法, 有, 而 = = .  令和的共值為, 由雙逼原理 =. Th 9.3 有界.對(duì) .證 ( ) = 0. 即對(duì)時(shí), . , 由, , = .  定義 稱 為函數(shù)在區(qū)間上的振幅或幅度.易見(jiàn)有0 . 可證=(充要條件2 ) 有界. 對(duì) .Th 3 的幾何意義及應(yīng)用Th 3的一般方法: 為應(yīng)用Th 3, 通常用下法構(gòu)造分法: 當(dāng)函數(shù)在區(qū)間 上含某些點(diǎn)的小區(qū)間上作不到任意小時(shí), 可試用在區(qū)間 上的振幅作的估計(jì) , 有. 此時(shí), 倘能用總長(zhǎng)小于, 否則為常值函數(shù) )的有限個(gè)小區(qū)間復(fù)蓋這些點(diǎn),以這有限個(gè)小區(qū)間的

9、端點(diǎn)作為分法的一部分分點(diǎn),在區(qū)間 的其余部分作分割,使在每個(gè)小區(qū)間上有<, 對(duì)如此構(gòu)造的分法, 有 < .Th 4 ( (R)可積函數(shù)的特征 ) 設(shè)在區(qū)間 上有界. 對(duì)和 , 使對(duì)任何分法, 只要 , 對(duì)應(yīng)于的那些小區(qū)間的長(zhǎng)度之和 .證 在區(qū)間 上可積, 對(duì)和 , 使對(duì)任何分法, 只要 , 就有. 對(duì)的區(qū)間總長(zhǎng)小于 此時(shí)有= = 三 可積函數(shù)類:  1閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必可積:  Th 5 ( 證 ) 2閉區(qū)間上有界且僅有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)可積 .  Th 6 ( 證 ) 推論1 閉區(qū)間上按段連續(xù)函數(shù)必可積 . 

10、推論2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上有界且其間斷點(diǎn)僅有有限個(gè)聚點(diǎn), 則函數(shù)在區(qū)間 上可積.例2 判斷題 : 閉區(qū)間上僅有一個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)必可積 . ( )  閉區(qū)間上有無(wú)窮多個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)必不可積 . ( ) 3. 閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必可積:  Th 7 ( 證 )例3 證明在上可積.§ 4 定積分的性質(zhì)(2學(xué)時(shí)) 教學(xué)要求: 理解并熟練地應(yīng)用定積分的性質(zhì);教學(xué)重點(diǎn):理解并熟練地應(yīng)用定積分的性質(zhì);一.  定積分的性質(zhì):  1.  線性性質(zhì): Th 1 Const , 且. ( 證 )Th 2 , , 且 .

11、( 證 )綜上 , 定積分是線性運(yùn)算 . 2. 乘積可積性: Th 3 ,. 證 和有界. 設(shè) , 且可設(shè).( 否則或恒為零 ). 插項(xiàng)估計(jì) , 有.但一般 . 3. 關(guān)于區(qū)間可加性:  Th 4 有界函數(shù)在區(qū)間 和上可積,,并有. ( 證明并解釋幾何意義 )規(guī)定 , .系 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上可積 . 則對(duì) , 有. ( 證 ) 4. 積分關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性: Th 5 設(shè)函數(shù), 且, .( 證 )(反之確否?)積分的基本估計(jì): . 其中和分別為函數(shù)在區(qū)間上的下確界與上確界.5. 絕對(duì)可積性: Th 6 設(shè)函數(shù),且(注意.)證 以證明; 以 證明不等式.該定

12、理之逆不真. 以例 做說(shuō)明.6. 積分第一中值定理:Th 7 ( 積分第一中值定理 ) , 使=. ( 證 )Th 8 ( 推廣的積分第一中值定理 ) 且不變號(hào). 則, 使=. ( 證 ) .二. 舉例: 例1 設(shè). 試證明:.其中和是內(nèi)的任二點(diǎn), , .例2 比較積分 與的大小.例3 設(shè) 但. 證明>0.例4 證明不等式 .證明分析 所證不等式為只要證明在上成立不等式 , 且等號(hào)不恒成立, 則由性質(zhì)4和上例得所證不等式.例5 證明 .§5 微積分基本定理.定積分計(jì)算(續(xù))(2學(xué)時(shí))教學(xué)要求:熟練地掌握換元積分法和分部積分法,并能解決計(jì)算問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn):熟練地掌握換元

13、積分法和分部積分法,并能解決計(jì)算問(wèn)題.一. 變限積分與原函數(shù)的存在性 引入:由定積分計(jì)算引出 . 1.變限積分: 定義上限函數(shù),(以及函數(shù))其中函數(shù). 指出這是一種新的函數(shù), 也叫做面積函數(shù).Th 9 ( 面積函數(shù)的連續(xù)性 )思路:表達(dá)面積函數(shù).2.微積分學(xué)基本定理: Th 10 微積分學(xué)基本定理 (原函數(shù)存在定理)若函數(shù)則面積函數(shù)在上可導(dǎo),且=. 即當(dāng)時(shí), 面積函數(shù)可導(dǎo)且在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)恰為被積函數(shù)在上限的值. 亦即 是的一個(gè)原函數(shù) . 證  系 連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù).3.積分第二中值定理 Th11 (積分第二中值定理)設(shè)函數(shù)在上可積, (i)若函數(shù)在上減,且,則存在,

14、使得 (ii)若函數(shù)在上增,且,則存在,使得 推論 函數(shù)在上可積,若為單調(diào)函數(shù),則存在,使得二換元積分法與分部積分法:  1.換元積分法 Th 12 設(shè)函數(shù)滿足條件:> , 且 ; > 在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù). 則 . ( 證 )例1. ( P225 )例2 . ( P225 )例3 計(jì)算 . ( P225226 ) 該例為技巧積分.例4 . 該例亦為技巧積分.例5 已知 , 求 例6 設(shè)函數(shù)連續(xù)且有求積分例7設(shè)是區(qū)間上連續(xù)的奇(或偶函數(shù))函數(shù),則, (. )例8 . 2. 分部積分法  Th13 ( 分部積分公式 )例9例10 計(jì)算 .解= ;解得 直接求得 ,

15、. 于是, 當(dāng)為偶數(shù)時(shí), 有 ;當(dāng)為奇數(shù)時(shí), 有 . 三. Taylor公式的積分型余項(xiàng): P227229. 習(xí) 題 課 (2學(xué)時(shí)) 一 積分不等式:  1 利用積分關(guān)于被積函數(shù)的單調(diào)性證明積分不等式: 例1 證明不等式 .證 注意在區(qū)間 0 , 1 上有 , 例2 證明不等式 .證 考慮函數(shù), .易見(jiàn)對(duì)任何, 在區(qū)間 上和均單調(diào), 因此可積,且有 , 注意到 , 就有 . 而,.因此有 .取, . 在區(qū)間仿以上討論, 有. 而,.綜上 , 有不等式. 2. 某些不等式的積分推廣:  原理: 設(shè)函數(shù)和在區(qū)間 上可積. 為區(qū)間

16、 的等分分法, . 若對(duì)任何和, 均有, 即得.令, 注意到函數(shù)和在區(qū)間 上可積, 即得積分不等式.倘若函數(shù)和連續(xù) , 還可由 .例3 證明 Schwarz 不等式 ( 亦稱為 Cauchy不等式 ): 設(shè)函數(shù)和在區(qū)間 上連續(xù) ( 其實(shí)只要可積就可 ). 則有不等式.證法一 ( 由Cauchy 不等式 Schwarz不等式 . Cauchy 不等式參閱上冊(cè) : 設(shè)和為兩組實(shí)數(shù), 則有. ) 設(shè)為區(qū)間 的等分分法. 由Cauchy 不等式 , 有,兩端同乘以, 有 ,令, 注意到函數(shù)、和在區(qū)間 上的可積性以及函數(shù)的連續(xù)性,就有積分不等式.證法二 ( 用判別式法 ) 對(duì)任何實(shí)數(shù),有 , 

17、 , 即 對(duì)任何實(shí)數(shù)的二次不等式的解集為全體實(shí)數(shù), 于是就有 ,即 .例4 且 . 證明不等式.證 取. 對(duì)函數(shù) 和應(yīng)用Schwarz不等式, 即得所證 . 例5 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 0 , 1 上可積 . 試證明有不等式.證 先用Jensen不等式法證明不等式 : 對(duì) , 有不等式. 設(shè)為區(qū)間 的等分分法. 由上述不等式 , 有. 令, 注意到函數(shù)和在區(qū)間 0 , 1 上的可積性以及函數(shù) 和的連續(xù)性,就有積分不等式 .仿該例, 可得到均值不等式、用Jensen不等式法證明的某些不等式的積分形式 .  二. 面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù) :  例6 求 和 例7

18、求和 例8 求 .例9 設(shè)時(shí)函數(shù)連續(xù)且.求.(=)例10 設(shè)函數(shù)連續(xù)且 . 求和.解 令. 兩端求導(dǎo), = .例11 設(shè). =.試證明 :=.證 =, =.例12 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且>0. .試證明: 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格遞增.證 = , 而.>0 , 在內(nèi) ,又連續(xù) , ,在區(qū)間內(nèi)>0 . 因此在區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格遞增. 三. 含有變限積分的未定型極限: 例13 求極限 . ( 2 ) 四. 定積分的計(jì)算 : 例 14 計(jì)算積分 .例15 計(jì)算積分=.解 時(shí), =;時(shí), =;時(shí), =.因此, 例16 利用積分 的值 , 計(jì)算積分.解 . ,而 , .因此, 例17 , 求 ( 2) 例18 設(shè)是區(qū)間 上連續(xù)的偶函數(shù) . 試證明 : 是 上的奇函數(shù) .證法

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