重慶南開中學2019屆高三第四次教學檢測考試數(shù)學（理科)試題-430123867d0548db941e3202817dd6d8

1、絕密啟用前重慶南開中學2019屆高三第四次教學檢測考試數(shù)學（理科)試題試卷副標題考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號一二三總分得分注意事項：1答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題)請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1已知集合，集合，則( )ABCD2若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為( )ABCD3在等比數(shù)列中，若，則( )ABCD4根據(jù)下圖給出的年至年某地區(qū)社會消費品零售額及增長速度情況以下結(jié)論正確的是( )A年以來該地區(qū)社會消費品零售額與年份負相關(guān)B年以來該地區(qū)社會消費品零售額與年份宜用線性回歸模型擬合C年該地區(qū)社會

2、消費品零售額同比增長速度最大D年以來該地區(qū)社會消費品零售額增長速度逐年遞減5如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各棱中，最長的棱的長度為( )ABCD6若直線與圓相交于，兩點，且，則( )ABCD7某旅游公司為了推出新的旅游產(chǎn)品項目，派出五名工作人員前往重慶的三個網(wǎng)紅景點一“洪崖洞夜景、輕軌穿樓、長江索道”進行團隊游的可行性調(diào)研若每名工作人員只去一個景點，每個景點至少有一名工作人員前往，其中工作員甲、乙需要到同一景點調(diào)研，則不同的人員分配方案種數(shù)為( )ABCD8已知為內(nèi)一點且滿足，若的面積為且，則( )ABCD9如圖所示的程序框圖，滿足的輸出有序?qū)崝?shù)對

3、的概率為( )ABCD10函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點，則的取值范圍為( )ABCD11過雙曲線1（a0，b0）的一個焦點F1作一條漸近線的垂線，垂足為A，與另一條漸近線交于點B，若A恰好是F1B的中點，則雙曲線的離心率是（）ABC2D12若函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限，則正實數(shù)的取值范圍為( )ABCD第II卷（非選擇題)請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題13向量，向量若，則實數(shù)_14已知偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則_15三棱錐的個頂點在半徑為的球面上，平面，是邊長為的正三角形，則點到平面的距離為_16在正項數(shù)列中，其前項和滿足，若數(shù)列，則數(shù)列的前項和為_評卷人得分三、解答題17已知函數(shù)

4、（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的值域18在直角梯形中，分別為，的中點（如圖1）沿將四邊形折起，使得（如圖2） （1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值19“偉大的變革慶祝改革開放周年大型展覽”于年月日在中國國家博物館閉幕，本次特展緊扣“改革開放年光輝歷程”的主線，多角度、全景式描繪了我國改革開放年波瀾壯闊的歷史畫卷據(jù)統(tǒng)計，展覽全程呈現(xiàn)出持續(xù)火爆的狀態(tài)，現(xiàn)場觀眾累計達萬人次，參展人數(shù)屢次創(chuàng)造國家博物館參觀紀錄，網(wǎng)上展館點擊瀏覽總量達億次下表是年月參觀人數(shù)（單位：萬人）統(tǒng)計表日期人數(shù)日期人數(shù)根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答下列問題：（1）請將年月前半月（日）和后半月（日）參觀人數(shù)統(tǒng)計對比莖葉圖填

5、補完整，并通過莖葉圖比較兩組數(shù)據(jù)方差的大?。ú灰笥嬎愠鼍唧w值，得出結(jié)論即可）；（2）將年月參觀人數(shù)數(shù)據(jù)用該天的對應(yīng)日期作為樣本編號，現(xiàn)從中抽樣天的樣本數(shù)據(jù)若抽取的樣本編號是以為公差的等差數(shù)列，且數(shù)列的第項為，求抽出的這個樣本數(shù)據(jù)的平均值；（3）根據(jù)國博以往展覽數(shù)據(jù)及調(diào)查統(tǒng)計信息可知，單日入館參觀人數(shù)為（含，單位：萬人）時，參觀者的體驗滿意度最佳，在從中抽出的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取三天的數(shù)據(jù)，參觀者的體驗滿意度為最佳的天數(shù)記為，求的分布列與期望20過拋物線的焦點且斜率為的直線交拋物線于，兩點，且（1）求的值；（2）拋物線上一點，直線（其中）與拋物線交于，兩個不同的點（均與點不重合），設(shè)直線，的斜率

6、分別為，動點在直線上，且滿足，其中為坐標原點當線段最長時，求直線的方程21已知函數(shù)，其中（1）若直線與相切，求實數(shù)的值；（2）當時，設(shè)函數(shù)在上的最小值為，求函數(shù)的值域22在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）求曲線上的動點到曲線的最短距離23已知（1）證明；（2）若，記的最小值為，解關(guān)于的不等式參考答案1C【解析】【分析】先求解A,B，再由并集運算求解即可【詳解】=，則故選C【點睛】本題考查二次不等式的解法和對數(shù)不等式求解，考查集合運算，準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題2B【解析】【

7、分析】化簡z為a+bi(a,bR)的形式利用純虛數(shù)概念求解即可【詳解】故 ，解 故選B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算及基本概念，準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題3D【解析】【分析】由等比數(shù)列性質(zhì)得q,即可求解【詳解】，則 故選D【點睛】本題考查等比數(shù)列的運算及基本性質(zhì)，熟記公式是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題4C【解析】【分析】利用圖表逐項分析即可求解【詳解】對A, 年以來該地區(qū)社會消費品零售額與年份正相關(guān)，故A錯誤；對B, 年以來該地區(qū)社會消費品零售額與年份宜用非線性回歸模型擬合，故B錯誤;對C, 年該地區(qū)社會消費品零售額同比增長速度最大,故正確；對D, 2013年到2014年該地區(qū)社會消費品零售額增長速度遞增，故D錯

8、誤故選C【點睛】本題考查圖表分析能力，準確讀圖識圖是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題5B【解析】【分析】將三視圖還原即可求解【詳解】三視圖還原成如圖所示的幾何體:三棱錐S-ABC，則 故選B【點睛】本題考查三視圖，考查椎體的有關(guān)計算，是基礎(chǔ)題6A【解析】【分析】由得圓心到直線的距離求解即可【詳解】圓C: , 圓心C到直線的距離為1，則 ，解m=故選A【點睛】本題考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，距離公式，準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題7B【解析】【分析】按甲乙分情況求解即可【詳解】若甲、乙一起（無其他人）有 種若甲、乙與另一人一起（三人一起）有種 ，共18+18=36種故選B【點睛】本題考查排列組合的簡單應(yīng)用，考查分

9、類討論思想，是基礎(chǔ)題8A【解析】【分析】由得O為重心，進而得的面積，結(jié)合面積公式及數(shù)量積求解即可【詳解】，O為重心，故 ， 故 ，則故選A【點睛】本題考查向量的簡單應(yīng)用，面積公式，向量的數(shù)量積，考查基本公式是基礎(chǔ)題9B【解析】【分析】分析框圖的意義結(jié)合幾何概型求解即可【詳解】由題知框圖的意義是在內(nèi)取點（x,y）,滿足的概率因為與均關(guān)于原點中心對稱，故概率為故選B【點睛】本題考查程序框圖，考查面積型幾何概型，準確理解框圖含義是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題10D【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在定理得a,b的不等式組，利用線性規(guī)劃求范圍即可【詳解】易知單調(diào)遞增，故即,畫出不等式表示的可行域如圖陰影所示：

10、表示可行域內(nèi)的點（a,b）與A(-1,1)連線斜率的倒數(shù)，當直線為AB時，斜率最大此時最小，得B,故 故選D【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性及零點存在定理，考查線性規(guī)劃，考查轉(zhuǎn)化化歸能力，是中檔題11C【解析】【分析】由題意可知，漸近線方程為y±x，則F1A的方程為y0（x+c），代入漸近線方程yx可得B的坐標，由若A恰好是F1B的中點，所以|OB|c，即可求得離心率【詳解】由題意可知，漸近線方程為y±x，則F1A的方程為y0（x+c），代入漸近線方程yx可得B的坐標為（，），因為若A恰好是F1B的中點，所以|OB|c，所以（）2+（）2c2，所以b23a2，所以c2a2+b2

11、4a2，所以e2故選C【點睛】本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求出B的坐標是解題的關(guān)鍵12C【解析】【分析】求導(dǎo)對a討論判斷函數(shù)的單調(diào)性求其極值即可求解【詳解】 當,即 ,得 或，當 或 ， ，故在 單調(diào)遞增，又，故圖象不經(jīng)過第四象限，符合題意當，即 時， ,得或，當 ， ，故在 單調(diào)遞減，在遞增，又，故圖像經(jīng)過第四象限，舍去故選C【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)圖像的應(yīng)用，f（0）=0是突破點，是中檔題13【解析】【分析】由向量垂直的坐標表示求解即可【詳解】，則 ，得 故答案為【點睛】本題考查向量的坐標運算，垂直的坐標表示，熟記公式準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題14【解析】

12、【分析】由對稱性及奇偶性求得函數(shù)的周期求解即可【詳解】由題 ，則函數(shù)的周期T=4, 則 =故答案為【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性對稱性的應(yīng)用，熟記性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化求得周期是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題15【解析】【分析】由題意，球心在三棱錐各頂點的距離相等，球心到底面的距離等于三棱錐的高PA的一半，求出PA,，然后利用等體積求點到平面的距離【詳解】ABC是邊長為的正三角形，可得外接圓的半徑2r2，即r1PA平面ABC，PAh，球心到底面的距離d等于三棱錐的高PA的一半即，那么球的半徑R,解得h=2,又 由 知 ，得 故點到平面的距離為故答案為【點睛】本題考查外接球問題，錐的體積，考查計算求解能力，是基礎(chǔ)題16【

13、解析】【分析】由遞推關(guān)系得通項公式，進而求得 ，裂項相消求和即可【詳解】,得，則 ，因為 ，則 ，又 ，即 ，故為等差數(shù)列， = ，則數(shù)列的前項和為 故答案為【點睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系求通項，等差數(shù)列的通項及求和公式，考查裂項相消求和，熟記基本公式是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題17(1) ；(2) 【解析】【分析】（1）利用兩角差的余弦和誘導(dǎo)公式化簡f(x),再求單調(diào)區(qū)間即可；（2）由結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求值域即可【詳解】（1）令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由得，故而【點睛】本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性及值域問題，熟記公式準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題18(1)見證明；(2) 【解析】【分析】（1）證明平

14、面，利用面面垂直的判定即可證明；（2）建立空間角坐標系，由得DE的長，求面的法向量，利用二面角的余弦公式求解即可【詳解】（1）由題設(shè)條件，則，又且則平面，又平面故平面平面（2）如圖，建立空間角坐標系，則， ，設(shè)，則有，由知解得 從而， 平面的法向量為 設(shè)平面的法向量為 由得取y=,得則二面角的余弦值為【點睛】本題考查面面垂直的判定，考查空間二面角的向量求法，熟記判定定理，準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題19(1)見解析；(2)3.3 (3)見解析【解析】【分析】（1）利用圖表數(shù)據(jù)補全莖葉圖即可判斷；（2）利用等差數(shù)列確定7個數(shù)據(jù)再求平均數(shù)即可；（3）由（2）知所抽樣本天中，有三天參觀人數(shù)超過萬人，其余

15、四天體驗滿意度最佳，得可取值，分別計算概率即可求解【詳解】（1）由莖葉圖可知，后半月數(shù)據(jù)分布較集中，故后半月數(shù)據(jù)的方差小于前半月數(shù)據(jù)的方差 （2）由題意，抽取到的樣本編號分別是號、號、號、號、號、號和號，對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)依次是、和故平均值為： （3）由（2）知所抽樣本天中，有三天參觀人數(shù)超過萬人，其余四天體驗滿意度最佳從而可取值，的分布列如下：【點睛】本題考查莖葉圖分析，考查古典概型，考查超幾何分布，準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題20(1) (2) 【解析】【分析】（1）設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程由焦點弦長公式求解即可得P值；（2）直線與拋物線聯(lián)立由結(jié)合韋達定理得直線恒過定點，利用得動點地軌跡為圓，

16、利用圓的性質(zhì)即可求最小值【詳解】（1）拋物線的焦點為，設(shè)直線方程為聯(lián)立拋物線方程可得故：，解得（2）由（1）知拋物線方程為，從而點，設(shè)， 由可得，即從而該式滿足式即直線恒過定點 設(shè)動點，動點在，故與重合時線段最長，此時直線，即：【點睛】本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，直線過定點問題，圓的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化化歸關(guān)鍵，是中檔題21(1) (2) 【解析】【分析】（1）設(shè)切點為，由題意得解方程即可求解；（2）求導(dǎo)，得在上單調(diào)遞增，由零點存在定理得唯一使得，進而判斷g（x）的單調(diào)性求得最小值為，構(gòu)造函數(shù)得其最小值即可【詳解】（1）設(shè)切點為由題意得 （2），在上單調(diào)遞增，唯一使得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在處取得最小值，最小值為 令在）單調(diào)遞減， 在單調(diào)遞減，對，存在唯一的，使得，即的值域為綜上，當時，函數(shù)在上有最小值，的值域為【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義， 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值單調(diào)性，零點存在定理得應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化化歸能力，是中檔題22(1) 曲線:，曲線：(2)見解析【解析】【分析】（1）由參數(shù)方程與普通方程的互化及極坐標與普通方程互化求解即可；（2）由曲線上動點，得點到線的距離公式求解即可