菱形的判定和性質(zhì)

1、一、基礎(chǔ)知識(shí)（一）菱形的概念 一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。（二）菱形的性質(zhì)：1、 具有平行四邊形的一切性質(zhì)；2、 菱形四條邊都相等；3、 菱形的對(duì)角線互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；4、 菱形是軸對(duì)稱圖形；邊角對(duì)角線對(duì)稱性菱形對(duì)邊平行；四邊相等對(duì)角相等；鄰角互補(bǔ)互相垂直平分且平分對(duì)角軸對(duì)稱（三）菱形的判定：1、 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2、 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；3、 四條邊都相等的四邊形是菱形；（四）菱形的面積1、 可以用平行四邊形的面積算（S=底×高）2、 用對(duì)角線計(jì)算（面積的兩對(duì)角線的積的一半 S=ab)ABCDE二、例題講解考點(diǎn)一 ：菱形的判定

2、例1：下列命題正確的是（ ）（A） 一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形一定是平行四邊形（B） 對(duì)角線相等的四邊形一定是矩形（C） 兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形一定是菱形（D） 兩條對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形一定是正方形練習(xí)1：菱形的對(duì)角線具有( )A互相平分且不垂直B互相平分且相等C互相平分且垂直D互相平分、垂直且相等練習(xí)2：如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，M、N分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，連接OM、ON、MN，則下列敘述正確的是（ ）AAOM和AON都是等邊三角形B四邊形AMON與四邊形ABCD是位似圖形C四邊形MBON和四邊形MODN都是菱形D四邊形MBCO和四邊形N

3、DCO都是等腰梯形DBCANMO練習(xí)3：如圖，在三角形中，、分別是、上的點(diǎn)， 沿線段翻折，使點(diǎn)落在邊上，記為若四邊形是菱形，則下列說法正確的是( ) A是的中位線 B是邊上的中線 C是邊上的高 D是的角平分線練習(xí)4：如圖，下列條件之一能使平行四邊形ABCD是菱形的為（）ABCDABCDABDCFEABCDFE例2 ：已知AD是ABC的平分線，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，則四邊形AEDF是什么四邊形？請(qǐng)說明理由變化：若D是等腰三角形底邊BC的中點(diǎn)，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，則四邊形AEDF是什么四邊形？請(qǐng)說明理由練習(xí)CADBEFG1：如圖，AD是RtABC斜邊上的高，B

4、E平分B交AD于G，交AC于E，過E作EFBC于F，試說明四邊形AEFG是菱形練習(xí)2：如圖，E是菱形ABCD邊AD的中點(diǎn)，EFAC于點(diǎn)H，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，求證：AB與EF互相平分。練習(xí)3：如圖，在RtABC中，ACB90°，BAC60°，DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于點(diǎn)E，又點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上，且AFCE，求證：四邊形ACEF是菱形。考點(diǎn)二：菱形的性質(zhì)例1：如圖，四邊形ABCD中，ADC90°，ACCB，E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，且DEAACB45°，BGAE于G，求證：（1）四邊形AFGD是菱形；（2）若ACBC10，求菱

5、形的面積。練習(xí)1：如圖，在菱形ABCD中，E是AB中點(diǎn)，且DEAB，AB4，求：（1）ABC的度數(shù)；（2）菱形ABCD的面積。例2 ：如圖 5，ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD相交于O， （1）求證：ABD是正三角形； （2）求 AC的長(zhǎng)（結(jié)果可保留根號(hào)） ODCBA練習(xí)1：若菱形的邊長(zhǎng)為1cm，其中一內(nèi)角為60°，則它的面積為 ( ) A B C D練習(xí)2：若菱形的周長(zhǎng)為16cm，兩相鄰角的度數(shù)之比是1：2，則菱形的面積是（ ）（A） 4cm （B）8cm （C）16cm （D）20cm練習(xí)3：已知菱形的周長(zhǎng)為96，兩個(gè)鄰角的比是12，這個(gè)菱形的較短對(duì)角線的長(zhǎng)是( )A21 B22

6、 C23 D24例3： 如圖，將一個(gè)長(zhǎng)為10cm，寬為8cm的矩形紙片對(duì)折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點(diǎn)的連線(虛線)剪下，再打開，得到的菱形的面積為( )ABCD練習(xí)1：菱形的兩條對(duì)角線分別是12cm、16cm，則菱形的周長(zhǎng)是（ ）A24cm B32cm C40 cm D60cm練習(xí)2：若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE1cm，則BC的長(zhǎng)是（ ）（A）1cm（B）2cm（C）3cm（D）4cm練習(xí)3:若菱形周長(zhǎng)為52cm，一條對(duì)角線長(zhǎng)為10cm，則其面積為( )A240 cm2 B120 cm2 C60 cm2 D30 cm2例4:如圖，菱形ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，B

7、EAF60°，BAE18°求CEF的度數(shù)。練習(xí)1:如圖，菱形ABCD中，B60°，AB2，E、F分別是BCCD的中點(diǎn)，連接AE、EF、AF，則AEF的周長(zhǎng)為（ ） A B C D 練習(xí)2：如圖，在菱形中，、分別是、的中點(diǎn)，若，則菱形的邊長(zhǎng)是_練習(xí)3：如圖所示，已知菱形ABCD中，E、F分別在BC和CD上，且B=EAF=60°，BAE=15°，求CEF的度數(shù)。例5：如圖，菱形ABCD是邊長(zhǎng)為13cm，其中對(duì)角線AC=10cm，求（1）菱形ABCD的面積；（2）作BC邊上的高AH，求出AH的長(zhǎng)度練習(xí)1：如圖，在菱形ABCD中，ABC與BAD的度數(shù)比

8、為1：2，周長(zhǎng)是48cm求：（1）兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度；（2）菱形的面積例6：已知：如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且CE=CF。過點(diǎn)C作CGEA交AF于H，交AD于G，若BAE=25°，BCD=130°，求AHC的度數(shù)。練習(xí)1：如圖所示，已知菱形ABCD中E在BC上，且AB=AE，BAE=EAD，AE交BD于M，試說明BE=AM。練習(xí)2：如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BD2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AECF2(1) 求證：BDEBCF；(2) 判斷BEF的形狀，并說明理由；(3) 設(shè)BEF的面積為S，求S的取值范圍考點(diǎn)三：綜合例1：如

9、圖，菱形的邊長(zhǎng)為1，；作于點(diǎn)，以為一邊，做第二個(gè)菱形，使；作于點(diǎn)，以為一邊做第三個(gè)菱形，使；依此類推，這樣做的第個(gè)菱形的邊的長(zhǎng)是1B33AC2B2C3D3B1D2C1例2：菱形ABCD的對(duì)角線交于O，AO=1，且ABCBAD=12，ABO=300則下列結(jié)論：ABC=600；AC=2；BD=4；SABCD=2；菱形ABCD的周長(zhǎng)是8，其中正確的有（ ）A B C D例3：如圖所示，在中，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)在上，再將沿著所在直線翻轉(zhuǎn)得到連接 （1）求證：四邊形是菱形； （2）連接并延長(zhǎng)交于連接請(qǐng)問：四邊形是什么特殊平行四邊形？為什么？ADFCEGB課后練習(xí):1、若菱形的邊長(zhǎng)是它的高的2倍，則它的一個(gè)較小內(nèi)角的度數(shù)是。BACD2、如圖1，在菱形ABCD中，AB = 5，BCD = 120°，則對(duì)角線AC等于（ ）A20 B15C10 D53、菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足為E，AB4cm那么，菱形ABCD的面積是，對(duì)角線BD的長(zhǎng)是ADCEB4、如圖，在菱形ABCD中，A=110°，E，F(xiàn)分別是邊A