空間向量在立體幾何中的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)大全高考題帶解析練習(xí)題帶答案

1、【考綱說明】1. 能夠利用共線向量、共面向量、空間向量基本定理證明共線、共面、平行及垂直問題；2. 會(huì)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、兩點(diǎn)間的距離公式、夾角公式等解決平行、垂直、長(zhǎng)度、角、距離等問題；3. 培養(yǎng)用向量的相關(guān)知識(shí)思考問題和解決問題的能力；【知識(shí)梳理】1、 空間向量的運(yùn)算1、 向量的幾何運(yùn)算（1）向量的數(shù)量積：已知向量 ，則 叫做 的數(shù)量積，記作 ，即 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：； ； （2）向量共線定理：向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使2、向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）若，則 一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）若 ， ，則 ， ， ；，（3）

2、 夾角公式：（4）兩點(diǎn)間的距離公式：若 ， ，則二、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用2. 利用空間向量證明平行問題對(duì)于平行問題，一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明3. 利用空間向量證明垂直問題對(duì)于垂直問題，一般是利用進(jìn)行證明；4. 利用空間向量求角度（1）線線角的求法： 設(shè)直線AB、CD對(duì)應(yīng)的方向向量分別為a、b，則直線AB與CD所成的角為 （線線角的范圍00,900）（2）線面角的求法：設(shè)n是平面的法向量，是直線的方向向量，則直線與平面所成的角為（3）二面角的求法：設(shè)n1，n2分別是二面角 的兩個(gè)面 ， 的法向量，則 就是二面角的平面角或其補(bǔ)角的大?。ㄈ鐖D）5. 利用空間向量求距離（1）平面

3、的法向量的求法：設(shè)n=(x,y,z)，利用n與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解，即得到平面的一個(gè)法向量（如圖）。（2）利用法向量求空間距離（a） 點(diǎn)A到平面的距離： ，其中，是平面的法向量。（b） 直線與平面之間的距離： ，其中，是平面的法向量。（c） 兩平行平面之間的距離： ，其中， 是平面的法向量?！窘?jīng)典例題】【例1】（2010全國(guó)卷1理）正方體ABCD-中，B與平面AC所成角的余弦值為（ ）（A） （B） （C） （D）【解析】DABCSEF【例2】（2010全國(guó)卷2文）已知三棱錐中，底面為邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形，垂直于底面，=3，那

4、么直線與平面所成角的正弦值為（ ） （A） (B) (C) (D) 【解析】D【例3】（2012全國(guó)卷）三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則異面直線與所成角的余弦值為_?！窘馕觥俊纠?】（2012重慶）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點(diǎn)。（）求異面直線CC1和AB的距離；（）若AB1A1C，求二面角A1CDB1的平面角的余弦值?！窘馕觥縀【例5】F（2012江蘇）如圖，在直三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)（點(diǎn)D不同于點(diǎn)C），且為的中點(diǎn) 求證：（1）平面平面；AC（2）直線平面ADEBD【例6】（2012山東）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，

5、ABCD，DAB=60，F(xiàn)C平面ABCD，AEBD，CB=CD=CF（）求證：BD平面AED；（）求二面角F-BD-C的余弦值錯(cuò)誤！未指定書簽?！窘馕觥慷娼荈-BD-C的余弦值為【例7】（2012江西）在三棱柱中，已知，點(diǎn)在底面的投影是線段的中點(diǎn)。（1）證明在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使得平面，并求出的長(zhǎng)；（2）求平面與平面夾角的余弦值?！窘馕觥浚纠?】（2012湖南）四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E是CD的中點(diǎn).（）證明：CD平面PAE；（）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.【解

6、析】【例9】（2012廣東）如圖所示，在四棱錐中，平面，是中點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，為中邊上的高。（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積；（3）證明：平面【解析】三棱錐的體積【例10】（2012新課標(biāo)）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1BD（1）證明：DC1BC；（2）求二面角A1BDC1的大小【解析】二面角的大小為【例11】如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面點(diǎn)在線段上，平面（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正切值【解析】二面角的平面角的正切值為3【例12】（2012天津）如圖，在四棱錐中，丄平面，丄，丄，.()證明丄；（）求二面角的正弦值

7、；（）設(shè)E為棱上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為，求AE的長(zhǎng).【解析】，【課堂練習(xí)】1、（2012上海）若是直線的一個(gè)法向量，則的傾斜角的大小為（用反三角函數(shù)值表示）2、（2012四川）如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是_。3、（2012全國(guó)卷）如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，是上的一點(diǎn)，。（）證明：平面；（）設(shè)二面角為，求與平面所成角的大小。4、（2010遼寧理）已知三棱錐PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).（）證明：CMSN；（）求SN與平面CMN所成角的大小.5、（2010遼寧

8、文）如圖，棱柱的側(cè)面是菱形，（）證明：平面平面；（）設(shè)是上的點(diǎn)，且平面，求的值.6、（2010全國(guó)文）如圖，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D為BB的中點(diǎn)，E為AB上的一點(diǎn)，AE=3 EB（）證明：DE為異面直線AB與CD的公垂線；（）設(shè)異面直線AB與CD的夾角為45,求二面角A-AC-B的大小7、（2010江西理）如圖BCD與MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。（1） 求點(diǎn)A到平面MBC的距離；（2） 求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值。8、（2010重慶文）四棱錐中，底面為矩形，底面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（）證明：平面；（）若，求二

9、面角的平面角的余弦值.9、（2010浙江文）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC，ABC=120。E為線段AB的中點(diǎn)，將ADE沿直線DE翻折成ADE，使平面ADE平面BCD，F(xiàn)為線段AC的中點(diǎn)。（）求證：BF平面ADE；（）設(shè)M為線段DE的中點(diǎn)，求直線FM與平面ADE所成角的余弦值。CBADEP10、（2010重慶理）四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA底面ABCD，PA=AB=，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)。（1）求直線AD與平面PBC的距離；（2）若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。11、（2010北京理）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,

10、EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求證：AF平面BDE；（）求證：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。12、如圖，弧AEC是半徑為的半圓，AC為直徑，點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段AD的三等分點(diǎn)，平面AEC外一點(diǎn)F滿足FC平面BED,FB=（1）證明：EBFD（2）求點(diǎn)B到平面FED的距離. 13、（2010江蘇卷）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。2、 求證：PCBC；3、 求點(diǎn)A到平面PBC的距離。14、（2012上海）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PCA

11、B=2，AD=2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面積；（2）異面直線BC與AE所成的角的大小. 15、（2012四川）如圖，在三棱錐中，平面平面。（）求直線與平面所成角的大??；（）求二面角的大小。16、（2012安徽）長(zhǎng)方體中，底面是正方形，是的中點(diǎn)，是棱上任意一點(diǎn)。（）證明： ；（）如果=2，=，,求 的長(zhǎng)。17、（2012北京文）如圖1，在中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2。（）求證：平面；（）求證：；（）線段上是否存在點(diǎn)，使平面？說明理由。18、（2012湖南）如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD.

12、（）證明：BDPC；（）若AD=4，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30，求四棱錐P-ABCD的體積.19、如圖，在三棱錐中，底面，是的中點(diǎn)，已知，求：（1）三棱錐的體積（2）異面直線與所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）20、（2008安徽文）如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的 菱形，, , ,為的中點(diǎn)。（）求異面直線AB與MD所成角的大??；（）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。【課后作業(yè)】1.（2008全國(guó)）如圖，正四棱柱中，點(diǎn)在上且（）證明：平面；（）求二面角的大小2、（2008湖南）四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，BCD60，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，PA

13、2. （）證明：平面PBE平面PAB;ABCDEA1B1C1D1（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.3、（2008福建）如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD底面 ABCD，側(cè)棱PA=PD，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn).（）求證：PO平面ABCD；（）求異面直線PD與CD所成角的大??；（）線段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為？ 若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.4、(2008海南、寧夏理)如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCDA1B1C1D1的對(duì)角線BD1上，PDA=60。（1）求DP與CC1所成角的大小

14、；（2）求DP與平面AA1D1D所成角的大小。ABCDOO1ABOCO1D5、（2005湖南文、理）如圖1，已知ABCD是上、下底邊長(zhǎng)分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸OO1折成直二面角，如圖2。（）證明：ACBO1； （）求二面角OACO1的大小。6、（2007安徽文、理)如圖,在六面體中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形,平面,平面ABCD，DD1=2。()求證:與AC共面，與BD共面. ()求證:平面()求二面角的大小.7、(2007海南)如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，為中點(diǎn) （）證明：平面；（）求二面角的余弦值8、(2007四川理）如圖，

15、是直角梯形，90，1，2，又1，120，直線與直線所成的角為60. （）求證：平面平面; （）求二面角的大小;（）求三棱錐的體積.9、(2006全國(guó)卷)如圖，、是互相垂直的異面直線,MN是它們的公垂線段.點(diǎn)A、B在上，C在上，。 （）證明ACNB；ABMNCl2l1H()若，求與平面ABC所成角的余弦值。10、（2006福建文、理）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，（I）求證：平面BCD； （II）求異面直線AB與CD所成角的大小；（III）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。11、 （2010福建文）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1,D1C1上的點(diǎn)

16、（點(diǎn)E與B1不重合），且EH/A1D1。過EH的平面與棱BB1,CC1相交，交點(diǎn)分別為F，G。（I）證明：AD/平面EFGH；（II）設(shè)AB=2AA1=2a。在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體A1ABFE D1DCGH內(nèi)的概率為p。當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱A1B1, B1B上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí)，求p的最小值。12、如圖，四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)E在棱PB上.（）求證：平面； （）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大小.13、在四棱錐中，底面是矩形，平面，. 以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求證：平面平面； （2）求直線與平面所成的角的大??；（3）求點(diǎn)到平面的距離.14、如圖4，在正三棱柱中，。D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且。（1）證明平面平面（2）求直線和平面所成角的正弦值。 【參考答案】【課堂練習(xí)】1、2、3、304、SN與面CMN所成角為45 5、A1D：DC1=1. 6、略7、，. 8、略 9、略 10、11、二面角的大小為. 12、13、點(diǎn)A到平面PBC的距離等于。 14、異面直線BC與AE所成的角的大小是15、直線二面角的大小為與平面所成的角的大小為16、17、略18、四棱錐的體積為.19、略 20、（1）與所成角的大小為