等邊三角形專題含詳解析

1、2.(2017天津第9題)如圖，將繞點順時針旋轉得，點的對應點恰好落在延長線上，連接.下列結論一定正確的是（ ）A B C. D3. (2017天津第11題)如圖，在中，是的兩條中線，是上一個動點，則下列線段的長度等于最小值的是（ ）A B C. D17. （2017河池第12題）已知等邊的邊長為，是上的動點，過作于點，過作于點，過作于點.當與重合時，的長是（）A B C. D10.（2008·菏澤中考）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于一點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ以下五個結論：A

2、D=BE； PQAE； AP=BQ；DE=DP；AOB=60°.恒成立的有_（把你認為正確的序號都填上）16、（2009·義烏中考）如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，ADBC于點D，以AD為一邊向右作正三角形ADE。（1）求ABC的面積S；（2）判斷AC、DE的位置關系，并給出證明。等邊三角形練習題1（2012深圳）如圖，已知：MON=30°，點A1、A2、A3在射線ON上，點B1、B2、B3在射線OM上，A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4均為等邊三角形，若OA1=1，則A6B6A7的邊長為（）A6B12C32D642（2012涼山州）如圖，一個等邊三角形

3、紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中+的度數是（）A180°B220°C240°D300°3（2012荊門）如圖，ABC是等邊三角形，P是ABC的平分線BD上一點，PEAB于點E，線段BP的垂直平分線交BC于點F，垂足為點Q若BF=2，則PE的長為（）A2B2CD34（2011南平）邊長為4的正三角形的高為（）A2B4CD25（2010隨州）如圖，過邊長為1的等邊ABC的邊AB上一點P，作PEAC于E，Q為BC延長線上一點，當PA=CQ時，連PQ交AC邊于D，則DE的長為（）ABCD不能確定6（2009攀枝花）如圖所示，在等邊ABC中，點D、E分別在

4、邊BC、AB上，且BD=AE，AD與CE交于點F，則DFC的度數為（）A60°B45°C40°D30°7（2007綿陽）如圖，在正方形ABCD的外側，作等邊ADE，BE、CE分別交AD于G、H，設CDH、GHE的面積分別為S1、S2，則（）A3S1=2S2B2S1=3S2C2S1=S2DS1=2S28（2007婁底）如圖，ABC是邊長為6cm的等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則圖中陰影部分的面積為（）A4cm2B2cm2C3cm2D3cm29（2006天津）如圖，A、C、B三點在同一條直線上，DAC和EBC都是等邊三角形，AE、B

5、D分別與CD、CE交于點M、N，有如下結論：ACEDCB；CM=CN；AC=DN其中，正確結論的個數是（）A3個B2個C1個D0個10（2006南寧）如圖是一個等邊三角形木框，甲蟲P在邊框AC上爬行（A，C端點除外），設甲蟲P到另外兩邊的距離之和為d，等邊三角形ABC的高為h，則d與h的大小關系是（）AdhBdhCd=hD無法確定11（2007南充）一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西40°的方向行駛40海里到達B地，再由B地向北偏西20°的方向行駛40海里到達C地，則A、C兩地相距（）A30海里B40海里C50海里D60海里12（2006曲靖）如圖，CD是RtABC斜邊AB

6、上的高，將BCD沿CD折疊，B點恰好落在AB的中點E處，則A等于（）A25°B30°C45°D60°13（2011茂名）如圖，已知ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則E=_度14（2008日照）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ以下五個結論：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60度恒成立的結論有_（把你認為正確的序號都填上）15（2005揚州）如圖，將邊長為4的等邊

7、ABC，沿x軸向左平移2個單位后，得到ABC，則點A的坐標為_16（2004茂名）如圖，正三角形A1B1C1的邊長為1，A1B1C1的三條中位線組成A2B2C2，A2B2C2的三條中線又組成A3B3C3，如此類推，得到AnBnCn則：（1）A3B3C3的邊長a3=_；（2）AnBnCn的邊長an=_（其中n為正整數）17（2006嘉峪關）ABC為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，則DEF為_三角形18（1999廣州）如圖，以A，B兩點為其中兩個頂點作位置不同的等邊三角形，最多可以作出_個19如圖所示，P是等邊三角形ABC內一點，將ABP繞點B順時針方向旋轉6

8、0°，得到CBP，若PB=3，則PP=_20（2009浙江）如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，ADBC于點D，以AD為一邊向右作正三角形ADE（1）求ABC的面積S；（2）判斷AC、DE的位置關系，并給出證明21（2009遼陽）如圖，ABC為正三角形，D為邊BA延長線上一點，連接CD，以CD為一邊作正三角形CDE，連接AE，判斷AE與BC的位置關系，并說明理由22（2008紹興）附加題，學完“幾何的回顧”一章后，老師布置了一道思考題：如圖，點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q求證：BQM=60度（1）請你完成這道思考題；（2）做完（1）后，

9、同學們在老師的啟發(fā)下進行了反思，提出了許多問題，如：若將題中“BM=CN”與“BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到BQM=60°？若將題中的條件“點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上”改為“點M，N分別在正方形ABCD的BC，CD邊上”，是否仍能得到BQM=60°？請你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：_；_；_并對，的判斷，選擇一個給出證明23（2007河北）在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延長線于點G一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F

10、，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經過點B（1）在圖1中請你通過觀察、測量BF與CG的長度，猜想并寫出BF與CG滿足的數量關系，然后證明你的猜想；（2）當三角尺沿AC方向平移到圖2所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點D，過點D作DEBA于點E此時請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE+DF與CG之間滿足的數量關系，然后證明你的猜想；（3）當三角尺在（2）的基礎上沿AC方向繼續(xù)平移到圖3所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，（2）中的猜想是否仍然成立（不用說明理由）24（2004蘇州）已知：如圖，正ABC的邊長

11、為a，D為AC邊上的一個動點，延長AB至E，使BE=CD，連接DE，交BC于點P（1）求證：DP=PE；（2）若D為AC的中點，求BP的長25（2002黑龍江）已知等邊ABC和點P，設點P到ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1、h2、h3，ABC的高為h“若點P在一邊BC上（如圖1），此時h3=0，可得結論h1+h2+h3=h”請直接應用上述信息解決下列問題：（1）當點P在ABC內（如圖2），（2）點P在ABC外（如圖3）這兩種情況時，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，h1、h2、h3與h之間的關系如何？請寫出你的猜想，不需證明26（2000河南）如圖，點C、D在線段AB

12、上，PCD是等邊三角形（1）當AC、CD、DB滿足怎樣的關系時，ACPPDB；（2）當ACPPDB時，求APB的度數27（2010雅安）如圖，點C是線段AB上除點A、B外的任意一點，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊ACD和等邊BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，連接MN（1）求證：AE=BD；（2）求證：MNAB28（2005臨沂）如圖，已知AD和BC交于點O，且OAB和OCD均為等邊三角形，以OD和OB為邊作平行四邊形ODEB，連接AC、AE和CE，CE和AD相交于點F求證：ACE為等邊三角形29已知：如圖，ABC、CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點O，點M、N分

13、別是線段AD、BE的中點（1）求證：AD=BE；（2）求DOE的度數；（3）求證：MNC是等邊三角形30如圖，等邊ABC的邊長為10，點P是邊AB的中點，Q為BC延長線上一點，CQ：BC=1：2，過P作PEAC于E，連PQ交AC邊于D，求DE的長？全等三角形練習參考答案與試題解析1C2C3C4D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13E=15度1415.16 a3=；AnBnCn的邊長an=（或21n）17等邊三角形182個19 PP=320解：（1）在正ABC中，AD=4×，（2分）S=BC×AD=×4×2=4（3分）（2）AC、DE的位置

14、關系：ACDE（1分）在CDF中，CDE=90°ADE=30°，（2分）CFD=180°CCDE=180°60°30°=90°ACDE（3分）（注：其它方法酌情給分）21解：AEBC理由如下：ABC與CDE為正三角形，BC=AC，CD=CE，ACB=DCE=60°，ACB+ACD=DCE+ACD，即BCD=ACE，BCDACE，B=EAC，B=ACB，EAC=ACB，AEBC22請你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：是；是；否并對，的判斷，選擇一個給出證明（1）證明：在ABM和BCN中，ABMBCN，BAM

15、=CBN，BQM=BAQ+ABQ=MBQ+ABQ=60°（2）是；是；否的證明：如圖，在ACM和BAN中，ACMBAN，AMC=BNA，NQA=NBC+BMQ=NBC+BNA=180°60°=120°，BQM=60°的證明：如圖，在RtABM和RtBCN中，RtABMRtBCN，AMB=BNC又NBM+BNC=90°，QBM+QMB=90°，BQM=90°，即BQM60°23解：（1）BF=CG；證明：在ABF和ACG中F=G=90°，F(xiàn)AB=GAC，AB=ACABFACG（AAS）BF=CG；

16、（2）DE+DF=CG；證明：過點D作DHCG于點H（如圖2）DEBA于點E，G=90°，DHCG四邊形EDHG為矩形DE=HG，DHBGGBC=HDCAB=ACFCD=GBC=HDC又F=DHC=90°，CD=DCFDCHCD（AAS）DF=CHGH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；（3）仍然成立證明：過點D作DHCG于點H（如圖3）DEBA于點E，G=90°，DHCG四邊形EDHG為矩形，DE=HG，DHBG，GBC=HDC，AB=AC，F(xiàn)CD=GBC=HDC，又F=DHC=90°，CD=DC，F(xiàn)DCHCD（AAS）DF=CH，GH+CH

17、=DE+DF=CG，即DE+DF=CG24（1）證明：過點D作DFAB，交BC于FABC為正三角形，CDF=A=60°CDF為正三角形DF=CD又BE=CD，BE=DF又DFAB，PEB=PDF在DFP和EBP中，DFPEBP（AAS）DP=PE（2）解：由（1）得DFPEBP，可得FP=BPD為AC中點，DFAB，BF=BC=aBP=BF=a25解：（1）當點P在ABC內時，結論h1+h2+h3=h仍然成立理由如下：過點P作BC的平行線，交AB于G，交AC于H，交AM于N，則可得結論h1+h2=AN四邊形MNPF是矩形，PF=MN，即h3=MNh1+h2+h3=AN+MN=AM=h

18、，即h1+h2+h3=h（2）當點P在ABC外時，結論h1+h2+h3=h不成立此時，它們的關系是h1+h2h3=h理由如下：過點P作BC的平行線，與AB、AC、AM分別相交于G、H、N，則可得結論h1+h2=AN四邊形MNPF是矩形，PF=MN，即h3=MNh1+h2h3=ANMN=AM=h，即h1+h2h3=h26解：（1）當CD2=ACDB時，ACPPDB，PCD是等邊三角形，PCD=PDC=60°，ACP=PDB=120°，若CD2=ACDB，由PC=PD=CD可得：PCPD=ACDB，即=，則根據相似三角形的判定定理得ACPPDB（2）當ACPPDB時，APC=P

19、BDPDB=120°DPB+DBP=60°APC+BPD=60°APB=CPD+APC+BPD=120°即可得APB的度數為120°27證明：（1）ACD和BCE是等邊三角形，AC=DC，CE=CB，DCA=60°，ECB=60°，DCA=ECB=60°，DCA+DCE=ECB+DCE，ACE=DCB，在ACE與DCB中，ACEDCB，AE=BD；（2）由（1）得，ACEDCB，CAM=CDN，ACD=ECB=60°，而A、C、B三點共線，DCN=60°，在ACM與DCN中，ACMDCN，MC=

20、NC，MCN=60°，MCN為等邊三角形，NMC=DCN=60°，NMC=DCA，MNAB28證明：OAB和OCD為等邊三角形，CD=OD，OB=AB，ADC=ABO=60°四邊形ODEB是平行四邊形，OD=BE，OB=DE，CBE=EDOCD=BE，AB=DE，ABE=CDEABEEDCAE=CE，AEB=ECDBEAD，AEB=EADEAD=ECD在AFE和CFD中又AFE=CFD，AEC=ADC=60°ACE為等邊三角形29解：（1）ABC、CDE都是等邊三角形，AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60°，ACB+BCD=DCE+BC

21、D，ACD=BCE，在ACD和BCE中，ACDBCE，AD=BE（2）解：ACDBCE，ADC=BEC，等邊三角形DCE，CED=CDE=60°，ADE+BED=ADC+CDE+BED，=ADC+60°+BED，=CED+60°，=60°+60°，=120°，DOE=180°（ADE+BED）=60°，答：DOE的度數是60°（3）證明：ACDBCE，CAD=CBE，AD=BE，AC=BC又點M、N分別是線段AD、BE的中點，AM=AD，BN=BE，AM=BN，在ACM和BCN中，ACMBCN，CM=CN

22、，ACM=BCN，又ACB=60°，ACM+MCB=60°，BCN+MCB=60°，MCN=60°，MNC是等邊三角形30解：過P點作PFBC交AC于F點，等邊ABC的邊長為10，點P是邊AB的中點，CQ：BC=1：2，AB=BC，B=ACB=A=60°，AP=CQ，PFAB，APF=B=60°，AFP=ACB=60°，A=APF=AFP=60°，APF是等邊三角形，PEAC，EF=AF，APF是等邊三角形，AP=CQ，PF=CQPFAB，Q=FPD，在PDF和QDC中，PDFQDC，DF=CD， DF=CF，DE

23、=EF+DF=AF+CF=AC，ED=5雙基訓練1. 如圖14-45，在等邊ABC中，O是三個內角平分線的交點，ODAB，OEAC，則圖中等腰三角形的個數是。2.如圖14-46，ABC是等邊三角形，D為BA的中點，DEAC，垂足為點E，EFAB，AE=1，則AD=，EFC的周長=。3.如圖14-47，在等邊ABC中，AE=CD，BGAD，求證：BP=2PG?？v向應用1. 如圖14-48，已知等邊ABC的ABC、ACB的平分線交于O點，若BC上的點E、F分別在OB、OC垂直平分線上，試說明EF與AB的關系，并加以證明。2. 如圖14-49，C是線段AB上的一點，ACD和BCE是兩個等邊三角形，點

24、D、E在AB同旁，AE交CD于點G，BD交CE于點H，求證：GHAB。3. 如圖14-50，已知ABC是等邊三角形，E是AC延長線上一點，選擇一點D使得CDE是等邊三角形，如果M是線段AD的中點，N是線段BE的中點，求證：CMN是等邊三角形。4. 如圖14-51，C是線段AB上一點，分別以BC、AC為邊作等邊ACD和CBE，M為AE的中點，N為DB的中點，求證：CMN為等邊三角形。5. 如圖14-52，在四邊形ABCD中，A+B=1200，AD=BC，以CD為邊向形外作等邊CDE，連結AE，求證：ABE為等邊三角形。6. 如圖14-53，已知ABC是等邊三角形，D為AC上一點，1=2，BD=C

25、E，求證：ADE是等邊三角形。7. 如圖14-54，設在四邊形ABCD中，A+B=1200，AD=BC，M、N、P分別是AC、BD、CD的中點。求證：MNP是等邊三角形。8. 如圖14-55，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB>CD,AD=BC,對角線AC、BD交于點O，AOB=600，且E、F分別是OD、OA的中點，M是BC的中點，求證：EFM是等邊三角形。9. 如圖14-56，在ABCD中，ABE和BCF都是等邊三角形，求證：DEF是等邊三角形。10. 如圖14-57，已知D為等邊ABC內一點，DA=DC，P點在ABC外，且CP=CA，CD平分PCB，求P。橫向拓展1. 如圖14-

26、58，已知P是等邊三角形ABC內一點，APB:CPA=5:6:7,求以PA、PB、PC為邊長的三角形的三內角之比。2. 如圖14-59，點O為等邊ABC內一點，AOB=1100，BOC=1350，試問：（1）以OA、OB、OC為邊，能否構成三角形？若能，請求出該三角形各內角的度數；若不能，請說明理由；（2）如果AOB大小保持不變，那么當BOC等于多少度時，以OA、OB、OC為邊的三角形是一個直角三角形？3. 如圖14-60，已知ABC是邊長為1的等邊三角形，BDC是頂角BDC為1200的等腰三角形，以點D為頂點作一個600角的兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連結MN，形成一個三角形。求證：AMN的周長等于2。4.如圖14-61，在ABC中，A=600，BEAC，垂足為E，CFAB，垂足為F，點D是BC的中點，BE、CF交于點M。（1）如果AB=AC，求證：DEF是等邊三角形；（2）如果ABAC，試猜想DEF是不是等邊三角形？如果DEF是等邊三角形，請加以證明；如果DE