相似三角形拔高練習(xí)三點定型法

1、一類：直接利用“左看、右看、上看、下看” 加“三點定型”例1， 已知：ACB=900，CDAB。求證：AC2=ADAB分析：要證AC2=ADAB，可先證，這時看等號的左邊A、C、D三點可確定一個三角形，而等號右邊A、C、B三點也可確定一個三角形，即證ACDABC。都看上面的分子為A、B、C及都看下面的分母為A、C、D也可確定去證ACDABC。例2， 已知：等邊三角形ABC中，P為BC上任一點，AP的垂直平分線交AB、AC于M、N兩點。求證：BPPC=BMCN 分析：要證BPPC=BMCN，只需證看等號的左邊B、P、M和等號右邊C、N、P可確定證PBMNCP。二類：當(dāng)不能直接用“左看、右看、上看

2、、下看” 加“三點定形”時，如果有相等的線段時，可用相等的線段去替換。例1， 已知；AD平分BAC，EF垂直平分AD與BC的延長線交于F。求證：DF2=BFCF分析：由已知可得DF=AF，直接證DF2=BFCF找不出相似三角形，可改證AF2=BFCF，即證，這時用“左看、右看”或“上看、下看”定出ABFCAF例2， 已知；在RtABC中，A=900，四邊形DEFG為正方形。求證：EF2=BEFC分析：要證EF2=BEFC，可證，這時我們不論是“左看、右看”還是“上看、下看”B、E、F、C都在同一直線上，不能確定兩個三角形。但在圖形中有相等的線段DE=EF=FG，這時用相等的線段去替換即證即可。

3、再用“左看、右看”的方法確定證BDEGCF從而完成證明。三類：既不能直接用“三點定形”，又沒有相等的線段可以替換時，可以找中間比或中間量來轉(zhuǎn)化搭橋，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。例1，已知：梯形ABCD中，AD/BC，AC與BD相交于O點，作BE/CD,交CA的延長線于點E.求證：OC2分析：要證OC2,這時我們不論是“左看、右看”還是“上看、下看”都發(fā)現(xiàn)O,C,A,E在同一直線上，并且沒有相等的線段可以替換，怎么辦呢？這時，我們可以利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，先證，用“上看、下看”定出OBCODC,然后再證,用同樣的方法確定證OBEODC相似即可。例2，已知：BD、CE是ABC的兩個高，DGB

4、C，與CE交于F，GD的延長線與BA的延長線交于H。求證：GD2=GFGH分析：要證GD2=GFGH,這時我們發(fā)現(xiàn)G、D、E、F在同一直線上，并且沒有相等的線段可以替換，這時，我們可以利用直角三角形斜邊上的高分的兩個三角形和原三角形相似得出GD2=BGCG，從而把原題轉(zhuǎn)化為證BGCG=GFGH，再用“左看、右看、上看、下看”的方法確定證BGHFGC相似即可。一、等積式、比例式的證明： 等積式、比例式的證明是相似形一章中常見題型。因為這種問題變化很多，同學(xué)們常常感到困難。但是，如果我們掌握了解決這類問題的基本規(guī)律，就能找到解題的思路。 （一）遇到等積式（或比例式）時，先看是否能找到相似三角形。

5、等積式可根據(jù)比例的基本性質(zhì)改寫成比例式，在比例式各邊的四個字母中如有三個不重復(fù)的字母，就可找出相似三角形。 例1、已知：如圖，ABC中，ACB=900，AB的垂直平分線交AB于D，交BC延長線于F。求證：CD2=DE·DF。 分 析：我們將此等積式變形改寫成比例式得： ，由等式左邊得到CDF，由等式右邊得到EDC，這樣只要證明這兩個三角形相似就可以得到要證的等積式了。因為CDE是公共角，只需證明DCE=F就可證明兩個三角形相似。 （二）若由求證的等積式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，則需要進(jìn)行等線段代換或等比代換。有時還需添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造平行線或相似三角形。例2如圖

6、，已知ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，CFBA，BF交AD于P點，交AC于E點。求證：BP2=PE·PF。 分析：因為BP、PE、PF三條線段共線，找不到兩個三角形，所以必須考慮等線段代換等其他方法，因為AB=AC，D是BC中點，由等腰三角形的性質(zhì)知AD是BC的垂直平分線，如果我們連結(jié)PC，由線段垂直平分線的性質(zhì)知PB=PC，只需證明PECPCF，問題就能解決了。 證明：連結(jié)PC 在ABC中，AB=AC，D為BC中點， AD垂直平分BC，PB=PC， 1=2，AB=AC，ABC=ACB， ABC-1=ACB-2，3=4， CFAB，3=F，4=F， 又EPC=CPF，PCEPFC，PC2=PE·PF，PC=PB， PB2=PE·PF。（等線段代換） 例3如圖，已知：在ABC中，BAC=900，ADBC，E是AC的中點，ED交AB的延長線于F。求證： 。 分析：比例式左邊AB，AC在ABC中，右邊DF、AF在ADF中，這兩個三角形不相似，因此本題需經(jīng)過中間比進(jìn)行代換。通過證明兩套三角形分別相似證得結(jié)論。 證明：BAC=90°，A