空間點線面之間位置關系知識點總結

1、第一章 空間幾何體（一）空間幾何體的結構特征（1）多面體由若干個平面多邊形圍成的幾何體. 旋轉體把一個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉形成的封閉幾何體。其中，這條定直線稱為旋轉體的軸。（2）柱，錐，臺，球的結構特征有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐。用一個平行于底面的平

2、面去截棱錐，我們把截面與底面之間的部分稱為棱臺.用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球.（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖1.投影：區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。正視圖；側視圖；俯視圖；是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形；畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等3.直觀圖：直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。4.斜二測法：在坐標系中畫直觀圖時，已知圖形中平行于坐標軸的線段保持平行性不變，平行于x軸（或在x軸上）的線段保持長度不變，平行于y軸（或在y軸上）的線段

3、長度減半。 重點記憶：直觀圖面積=原圖形面積(三)空間幾何體的表面積與體積1、空間幾何體的表面積棱柱、棱錐的表面積： 各個面面積之和圓柱的表面積 圓錐的表面積圓臺的表面積球的表面積扇形的面積公式（其中表示弧長，表示半徑）2、空間幾何體的體積柱體的體積 錐體的體積 臺體的體積 球體的體積DCBA第二章 直線與平面的位置關系2.1空間點、直線、平面之間的位置關系1 平面含義：平面是無限延展的2 平面的畫法及表示（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）（2）平面通常用希臘字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點

4、或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。3 三個公理：（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內符號表示為LA·ALBL => L ABC·B·A·公理1作用：判斷直線是否在平面內（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。符號表示為：A、B、C三點不共線 => 有且只有一個平面，使A、B、C。公理2作用：確定一個平面的依據。（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號表示為：P =>=L，且PLP·L公理3作用：判定

5、兩個平面是否相交的依據 空間中直線與直線之間的位置關系1 空間的兩條直線有如下三種關系：共面直線 相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點。2 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設a、b、c是三條直線=>acabcb強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。3 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補4 注意點： a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關，

6、為簡便，點O一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角(0， )； 當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系1、直線與平面有三種位置關系：（1）直線在平面內 有無數個公共點（2）直線與平面相交 有且只有一個公共點（3）直線在平面平行 沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來表示a a=A a2.2.直線、平面平行的判定及其性質 直線與平面平行的判定1、直線

7、與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：a b =>aab 平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。符號表示：a b ab = P ab2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：aa ab= b作用：利用該定理可解決直線

8、間的平行問題。2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：直線與直線的位置關系= a ab = b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質直線與平面垂直的判定1、定義如果直線L與平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面互相垂直，記作L，直線L叫做平面的垂線，平面叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。 L p2、判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”

9、互相轉化的數學思想。平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形A 梭 l B2、二面角的記法：二面角-l-或-AB-3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2.2.、平面與平面垂直的性質1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2性質定理： 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。本章知識結構框圖平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空間直線、平面的位置關系平面與平面的位置關系直線與平面的位置關系第三章 直線與方程一、公式：，則直線的斜率=。的直線的斜率為：，則=；若兩直線，則=-1；4.直線的點

10、斜式方程：5.直線的斜截式方程：6.直線的兩點式方程：7.直線的截距式方程：8.直線的一般式方程：，此時，斜率為，截距為.和（1）若，兩直線相交；（2）若，兩直線平行或重合；（3）若，若兩直線垂直。，則：二、基本注意點：，且平行于軸的直線方程是：；，且平行于軸的直線方程是：；三、典型習題：，并且在兩軸上的截距相等的直線方程。解：截距不為0時，設兩軸上的截距都為,則有直線方程為：， 將帶入上式可得：，所以直線方程為：，即：；兩軸上的截距都為0時，則直線過原點，由兩點式可得：，即：綜上所述：滿足條件的直線方程為：或.（注：做本題時要分截距為0和截距不為0兩種情況，切不可直接將方程設為，因為用該方程

11、時，要求截距不為0。），求滿足下列條件的m值：（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1），即： 解得:（2），即： 解得：（3）（4）,即： 解得:檢驗：此時，兩直線平行，所以， 此時，兩直線重合綜上所示：時兩直線平行；時兩直線重合.第四章 圓與方程圓與方程2、1圓的標準方程：以點為圓心，為半徑的圓的標準方程是.特例：圓心在坐標原點，半徑為的圓的方程是：.2、2點與圓的位置關系：1. 設點到圓心的距離為d，圓半徑為r： (1)點在圓上d=r； (2)點在圓外dr； (3)點在圓內dr 2.給定點及圓.在圓內在圓上在圓外2、3 圓的一般方程：.當時，方程表示一個圓，其中圓心，半徑.當時，方程表示

12、一個點.當時，方程無圖形（稱虛圓）.注：（1）方程表示圓的充要條件是：且且.圓的直徑或方程：已知2、4 直線與圓的位置關系： 直線與圓的位置關系有三種（1）若，；（2）； （3）。還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組求解，通過解的個數來判斷：（1）當方程組有2個公共解時（直線與圓有2個交點），直線與圓相交；（2）當方程組有且只有1個公共解時（直線與圓只有1個交點），直線與圓相切；（3）當方程組沒有公共解時（直線與圓沒有交點），直線與圓相離；即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設它的判別式為，圓心C到直線的距離為d,則直線與圓的 位置關系滿足以下關系：相切d=r0（2）相交d<r>0； （3）相離d>r<0。2、5 兩圓的位置關系設兩