講義等差數(shù)列教師匯總

1、【答案】【解析】試題分析：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，則，所以，故該數(shù)列的首項(xiàng)為，所以答案應(yīng)填：考點(diǎn)：等差中項(xiàng)2（15年湖南理科）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且成等差數(shù)列，則.【答案】.考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.3.（15年江蘇）數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和為【解析】試題分析：由題意得：所以考點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)，裂項(xiàng)求和4.（15北京文科）已知等差數(shù)列滿足，（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)等比數(shù)列滿足，問(wèn)：與數(shù)列的第幾項(xiàng)相等？【答案】（1）；（2）與數(shù)列的第63項(xiàng)相等.【解析】試題分析：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，利用

2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將轉(zhuǎn)化成和d，解方程得到和d的值，直接寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；第二問(wèn)，先利用第一問(wèn)的結(jié)論得到和的值，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，將和轉(zhuǎn)化為和q，解出和q的值，得到的值，再代入到上一問(wèn)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中，解出n的值，即項(xiàng)數(shù).試題解析：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為d.因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，?所以.（）設(shè)等比數(shù)列的公比為.因?yàn)?，所以?所以.由，得.所以與數(shù)列的第63項(xiàng)相等.考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.（15年廣東理科）在等差數(shù)列中，若，則=【答案】【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，即，故應(yīng)填入【考點(diǎn)定位】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及簡(jiǎn)單運(yùn)算，屬于容易題6（15北京理科）

3、設(shè)是等差數(shù)列. 下列結(jié)論中正確的是A若，則 B若，則C若，則 D若，則【答案】C等差數(shù)列等差數(shù)列特殊的一次函數(shù)本質(zhì)特征為“均勻變化”和“平均數(shù)”（1）本質(zhì)：一次函數(shù)和均勻變化，只能進(jìn)行加減運(yùn)算（2）通項(xiàng)公式，···1，2，3，4，···n（n1）1，類比一次函數(shù)的斜率所以d就是變化率，并且是一個(gè)均勻變化的，變化率恒定例如：數(shù)列2,4,6,8,10,···這一個(gè)數(shù)列顯然是均勻變化的，位置每增加一個(gè)，相應(yīng)位置上的數(shù)就增加2，故變化率即公差為2，是一個(gè)常數(shù)，也就是說(shuō)變化率是恒定的；而當(dāng)位置增加2個(gè)時(shí)，相應(yīng)的數(shù)就

4、增加4，也就是增加了2個(gè)變化率，同理，當(dāng)位置增加3個(gè)時(shí)，相應(yīng)的數(shù)就增加6，也就是增加了3個(gè)變化率···數(shù)列1,3,5,7,9,···這個(gè)數(shù)列也是均勻變化的，位置每增加一個(gè)，相應(yīng)位置上的數(shù)就增加2，所以變化率也是一個(gè)常數(shù)，是恒定不變的.而當(dāng)位置增加2個(gè)時(shí)，相應(yīng)的數(shù)就增加4，也就是增加了2個(gè)變化率，位置增加3個(gè)時(shí)，相應(yīng)的數(shù)就增加6，也就是增加了3個(gè)變化率···數(shù)列5,10,15,20,25,···這個(gè)數(shù)列也是均勻變化的，位置每增加一個(gè)，相應(yīng)位置上的數(shù)就增加5，即變化率為常數(shù)5，是

5、一個(gè)定值.而當(dāng)位置增加2個(gè)時(shí)，相應(yīng)位置上的數(shù)就增加10，也就是增加了2個(gè)變化率，位置增加3個(gè)時(shí)，相應(yīng)位置上的數(shù)就增加15，也就是增加了3個(gè)變化率由此可見，位置增加了幾個(gè)，變化率即公差d也就增加了幾個(gè)，也可以說(shuō)是兩個(gè)數(shù)之間差了幾個(gè)數(shù)就差幾個(gè)公差d，而與之間差了n1個(gè)數(shù)，所以就差了n1個(gè)公差d，故等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（n1）d，即+（n1）ddn+d就相當(dāng)于函數(shù)y=kx+b，其中kd，bd.同理，與之間差了nm個(gè)數(shù)，所以就差了nm個(gè)公差d同，所以有還可以理解為位置相同，項(xiàng)數(shù)相同例如：數(shù)列n，當(dāng)即1+42+3時(shí)對(duì)應(yīng)的位置也滿足1+42+3；當(dāng)即2+53+4時(shí)對(duì)應(yīng)的位置也滿足2+53+4例如：數(shù)列3n+

6、2，當(dāng)即5+148+11時(shí)對(duì)應(yīng)的位置也滿足1+42+3；當(dāng)即8+1711+14時(shí)對(duì)應(yīng)的位置也滿足2+53+4故在等差數(shù)列中，若位置滿足m+n=p+q，則相應(yīng)的項(xiàng)就滿足（3）前n項(xiàng)和公式例如：做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的物體的末速度是關(guān)于時(shí)間t的一次函數(shù)，速度是均勻變化的，所以平均速度平均數(shù)個(gè)數(shù)n事實(shí)上，這里邊又含有一個(gè)均勻變化1,2,3,4,···，n1，它們的和等于平均數(shù)乘以個(gè)數(shù)，即所以又，類比（）例如：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)也就是數(shù)列而，當(dāng)葉，函數(shù)g(x)也是數(shù)列，而且是均勻變化的，所以是一個(gè)等差數(shù)列.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是，則，···也

7、成等差數(shù)列例如：，···因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)數(shù)之間都差3項(xiàng)，所以都差3個(gè)公差d，它們也構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列；同理，差的項(xiàng)數(shù)相同，所以差的公差d也相同，也構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列；也構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列，而等差數(shù)列的和仍然是等差數(shù)列.由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等于平均數(shù)乘以個(gè)數(shù)以及相差幾項(xiàng)就差幾個(gè)公差d，可知（1）2013·廣東卷在等差數(shù)列 中，已知10，則_解讀題目：看到“等差數(shù)列”想兩句話：一次函數(shù)和均勻變化（角標(biāo)相同，項(xiàng)數(shù)相同）10：當(dāng)位置滿足3+811時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)滿足10.故有若m+n11，則求的值：因?yàn)?，位置滿足5+5+5+722，所以對(duì)應(yīng)的項(xiàng)滿足2（）20.分析題目：對(duì)

8、誰(shuí)運(yùn)算對(duì)位置n進(jìn)行運(yùn)算運(yùn)算法則位置n與該位置相應(yīng)的項(xiàng)之間的關(guān)系運(yùn)算結(jié)果該位置對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值解析題目：在等差數(shù)列中，因?yàn)?0且3+811又且5+5+5+722所以2（）20.（2）2013年高考課標(biāo)卷（文）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足,.()求的通項(xiàng)公式;()求數(shù)列的前n項(xiàng)和.分析：對(duì)誰(shuí)運(yùn)算：位置n運(yùn)算法則：運(yùn)算結(jié)果：解方程()0，平均數(shù)為，30，即0同理，5，平均數(shù)為，55，即1d1012n()由(I)知注意：應(yīng)用通分的逆運(yùn)算從而數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（3）2013浙江在公差為d的等差數(shù)列中, 已知=10, 且, ,成等比數(shù)列.() 求d,;() 若d< 0, 求.分析：對(duì)誰(shuí)運(yùn)算：正整數(shù)n運(yùn)算法則

9、：+（n1）d運(yùn)算結(jié)果：解方程() 由題意得·，即故d=-1或d=4.所以=n+11, nN*或=4n+6, nN*.() 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為因?yàn)閐< 0, 由() 得d=1, =n+11, 則當(dāng)n11時(shí),|=當(dāng)n12時(shí),=+2=綜上所述, （分段函數(shù)，情況不同結(jié)果不同）（4）2012江西理設(shè)數(shù)列, 都是等差數(shù)列，若，則_.分析：對(duì)誰(shuí)運(yùn)算：位置n運(yùn)算法則：+（n1）d，+（m1）d運(yùn)算結(jié)果：解方程3是1和5的平均數(shù)，（差幾項(xiàng)差幾個(gè)公差d）（等差數(shù)列+等差數(shù)列等差數(shù)列）故35.（5）2013四川理科數(shù)列的首項(xiàng)為3，為等差數(shù)列且.若則，則（A）0 （B）3 （C）8 （D）11分析

10、：對(duì)誰(shuí)運(yùn)算：位置n運(yùn)算法則：+（n1）d運(yùn)算結(jié)果：解方程由為等差數(shù)列（一次函數(shù)），且，可得對(duì)應(yīng)直線上的兩個(gè)點(diǎn)（3，2）和（10,12），故可確定該直線的斜率即等差數(shù)列的公差d2，故由直線的點(diǎn)斜式方程可得2n-8（累加法）（6）2013廣東等差數(shù)列前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和若，則分析：對(duì)誰(shuí)運(yùn)算：正整數(shù)n運(yùn)算法則：，+（n1）d運(yùn)算結(jié)果：解方程由得，即，即，即注意：平均數(shù)（7）2012高考已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和為105,且.()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()對(duì)任意,將數(shù)列中不大于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為.求數(shù)列的前m項(xiàng)和.分析：對(duì)誰(shuí)運(yùn)算：正整數(shù)n運(yùn)算法則：+（n1）d運(yùn)算結(jié)果：解方程()由前5項(xiàng)和為105可知，=10

11、5，即=21=+2d注意平均數(shù)又，故+19d=2（+4d）聯(lián)立方程得=7，d=7所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是=7+（n-1）7=7n()由,得,即.,是公比為49的等比數(shù)列,.（8）2013·山東卷 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S44S2，a2n2an1.()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；()設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，且Tn(為常數(shù))，令cnb2n(nN*)，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Rn.分析：對(duì)誰(shuí)運(yùn)算：正整數(shù)n運(yùn)算法則：運(yùn)算結(jié)果：解方程()設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.由S44S2，a2n2an1得解得a11，d2，因此an2n1，nN*.()由題意知Tn，所以n2時(shí)，bnTnTn1.

12、故cnb2n(n1)，nN*.所以Rn0×1×2×3×(n1)×，則Rn0×1×2×(n2)×(n1)×，兩式相減得Rn(n1)×(n1)×，整理得Rn4.所以數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Rn4.（9）2012·廣東已知遞增的等差數(shù)列an滿足a11，a3a4，則an_.分析：對(duì)誰(shuí)運(yùn)算：正整數(shù)n運(yùn)算法則：運(yùn)算結(jié)果：解方程設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知得即解得由于等差數(shù)列an是遞增的等差數(shù)列，因此所以ana1(n1)d2n1.（10）全國(guó)大綱理設(shè)數(shù)列滿足且，求的通項(xiàng)公式.分析：

13、對(duì)誰(shuí)運(yùn)算：正整數(shù)n運(yùn)算法則：運(yùn)算結(jié)果：解方程不妨令，則由已知得，且故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，即（11）2013遼寧數(shù)學(xué)（理）下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題:其中的真命題為(A) (B) (C) (D) 分析：對(duì)誰(shuí)運(yùn)算：正整數(shù)n運(yùn)算法則：運(yùn)算結(jié)果：運(yùn)算設(shè)，所以正確；如果，則滿足已知，但并非遞增，所以錯(cuò)；如果若，則滿足已知，但，是遞減數(shù)列，所以錯(cuò)；，所以是遞增數(shù)列，正確,選D.（12）2010·安徽高考文科設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為( )（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64分析：對(duì)誰(shuí)運(yùn)算：正整數(shù)n運(yùn)算法則：，運(yùn)算結(jié)果：運(yùn)算（13）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為

14、Sn，滿足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差數(shù)列()求a1的值；()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；()證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有<.分析：對(duì)誰(shuí)運(yùn)算：正整數(shù)n運(yùn)算法則：，運(yùn)算結(jié)果：解方程()a1，a25，a3成等差數(shù)列，2(a25)a1a3.又2a12S1a2221,2(a1a2)2S2a3231，a22a13，a36a113.因此4a1167a113，從而a11.()由題設(shè)條件知，n2時(shí)，2Sn1an2n1，2Snan12n11.2anan1an2n，于是an13an2n(n2)而由(1)知，a22a1353a12，因此對(duì)一切正整數(shù)n，有an13an2n，所以an12n13(an2n)又a1213，an2n是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列故an2n3n，即an3n2n.()an3n2n3·3n12n3n12(3n12n1)3n1，.1<.（14）2013大綱版全國(guó)卷理科等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，