參數(shù)方程與極坐標(biāo)小結(jié)與復(fù)習(xí)

1、參數(shù)方程與極坐標(biāo)小結(jié)與復(fù)習(xí)一. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別與聯(lián)系： 在求曲線的方程時(shí)，一般地需要建立曲線上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)x，y之間滿足的等量關(guān)系F（x，y）0，這樣得到的方程F（x，y）0就是曲線的普通方程；而有時(shí)要想得到聯(lián)系x，y的方程F（x，y）0是比較困難的，于是可以通過引入某個(gè)中間變量t，使之與曲線上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x，y間接地聯(lián)系起來，此時(shí)可得到方程組 顯然，參數(shù)方程與普通方程的最明顯的區(qū)別是其方程形式上的區(qū)別，更大的區(qū)別是普通方程反映了曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)x，y的直接關(guān)系，而參數(shù)方程則反映了x，y的間接關(guān)系。 盡管參數(shù)方程與普通方程有很大的區(qū)別，但他們之間又有著密

2、切的聯(lián)系，這種聯(lián)系表現(xiàn)在兩方面：（1）這兩種方程都是同一曲線的不同的代數(shù)表現(xiàn)形式，是同一事物的兩個(gè)方面；（2）這兩種方程之間可以進(jìn)行互化，通過消參可以把參數(shù)方程化為普通方程，而通過引入?yún)?shù)，也可把普通方程化為參數(shù)方程。需要注意的是，在將兩種方程互化的過程中，要注意兩種方程（在表示同一曲線的）等價(jià)性，即注意參數(shù)的取值范圍對x，y的取值范圍的影響。 實(shí)質(zhì)上，參數(shù)的思想方法就是在運(yùn)動(dòng)變化的哲學(xué)思想指導(dǎo)下的函數(shù)的思想方法，因此也可認(rèn)為引入?yún)?shù)就是引入函數(shù)的自變量。參數(shù)法在求曲線的軌跡方程，以及研究某些最值問題時(shí)是一種常用的甚至是簡捷的解題方法。 2. 化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消

3、參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式（三角的或代數(shù)的）消去法。 3. 化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t，先確定一個(gè)關(guān)系x=f(t)（或y=j(t)），再代入普通方程F（x，y）0，求得另一關(guān)系y=j(t)（或x=f(t)）。一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率，某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）。 4. 常見曲線的參數(shù)方程的一般形式： （1）經(jīng)過點(diǎn)P0（x0，y0），傾斜角為的直線的參數(shù)方程為 利用直線的參數(shù)方程，研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及弦長計(jì)算，有時(shí)比較方便。方法是： 則（1）當(dāng)<0時(shí)，l與C無交點(diǎn)；（2）當(dāng)=0時(shí)，l與C有一公共點(diǎn)；（3）當(dāng)&g

4、t;0時(shí)，l與C有兩個(gè)公共點(diǎn)；此時(shí)方程at2+bt+c=0有兩個(gè)不同的實(shí)根t1、t2，把參數(shù)t1、t2代入l的參數(shù)方程，即可求得l與C的兩個(gè)交點(diǎn)M1、M2的坐標(biāo)；另外，由參數(shù)t的幾何 （2）橢圓、雙曲線、拋物線的參數(shù)方程 5. 極坐標(biāo)系與點(diǎn)的極坐標(biāo)： 極坐標(biāo)系是用距離和角來表示平面上的點(diǎn)的位置的坐標(biāo)系，它由極點(diǎn)O與極軸Ox組成。對于平面內(nèi)任一點(diǎn)P，若設(shè)½OP=，以O(shè)x為始邊，OP為終邊的角為，則點(diǎn)P可用有序數(shù)對（，）表示，（由于角表示方法的多樣性，故（，）的形式不唯一，即一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有多種表達(dá)形式）。對于極點(diǎn)O，其極坐標(biāo)為（0，），為任意值，但一般取=0，即極點(diǎn)的極坐標(biāo)為（0，0）

5、。 6. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化：互化的前提條件：（1）極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；（2）極軸與x軸正方向重合；（3）取相同的單位長度。 設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（x，y），它的極坐標(biāo)為（，），則 若把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，求極角時(shí)，應(yīng)注意判斷點(diǎn)P所在的象限（即角的終邊的位置），以便正確地求出角。 利用兩種坐標(biāo)的互化，可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。 7. 特殊位置的直線與圓的極坐標(biāo)方程： 利用圓錐曲線的極坐標(biāo)方程可以簡捷地解決與焦點(diǎn)弦、焦半徑有關(guān)的問題。 注：本章的重點(diǎn)是（1）參數(shù)方程與普通方程的互化；一般要求是把參數(shù)方程化為普通方程；較高要求是利用設(shè)參求曲線的軌跡方程或研究某些最值問題；（2）極坐標(biāo)與直角

6、坐標(biāo)的互化，重點(diǎn)方法：<1>消參的種種方法；<2>極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法；<3>設(shè)參的方法?！镜湫屠}】例1. 分析與解：的變化范圍對應(yīng)相同，按照這一標(biāo)準(zhǔn)逐一驗(yàn)證。 例2. A. 雙曲線B. 雙曲線的上支C. 雙曲線下支D. 圓 分析與解：把方程化為我們熟悉的普通方程，再去判斷它表示的曲線類型。注意到2t與2-t互為倒數(shù)，故將參數(shù)方程的兩個(gè)等式兩邊分別平方，再相減，即可消去含t的項(xiàng)： 顯然它表示焦點(diǎn)在y軸上，以原點(diǎn)為中心的雙曲線的上支，選B。 例3. 分析與解：方法之一可把直線的參數(shù)方程化為普通方程，與雙曲線方程聯(lián)立，消元，再結(jié)合韋達(dá) 例4. 分析

7、一：注意到變量（x，y）的幾何意義，故研究二元函數(shù)x+2y的最值時(shí)，可轉(zhuǎn)化為幾何問題。若設(shè)x+2y=t，則方程x+2y=t表示一組直線（t取不同的值，方程表示不同的直線），顯然（x，y）既滿足2x2+3y2=12，又滿足x+2y=t，故點(diǎn)（x，y）是方程 解法一： 分析二：由于研究二元函數(shù)x+2y相對困難，因此有必要消元，但由x，y滿足的方程2x2+3y2=12表出x或y，會(huì)出現(xiàn)無理式，這對進(jìn)一步求函數(shù)最值依然不夠簡潔，能否有其他途徑把二元函數(shù)x+2y轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)呢？ 解法二： 注以上兩種解法都是通過引入新的變量來轉(zhuǎn)化問題，解法一是通過引入t，而把x+2y幾何化為直線的縱截距的最值問題；解法

8、二則是利用橢圓的參數(shù)方程，設(shè)出點(diǎn)P的坐稱為“參數(shù)法”。 例5. 已知線段BB=4，直線l垂直平分BB，交BB于點(diǎn)O，在屬于l并且以O(shè)為起點(diǎn)的同一射線上取兩點(diǎn)P，P，使OP·OP9，求直線BP與直線BP的交點(diǎn)M的軌跡方程。解：以O(shè)為原點(diǎn)，BB為y軸，l為x軸建立直角坐標(biāo)系，則B（0，2）， B（0，-2）， 注這是一道參數(shù)法（引入a作為參數(shù)）求軌跡方程的典型題，注意體會(huì)參數(shù)在解決問題中的作用。 例6. A. 圓B. 橢圓C. 雙曲線的一支D. 拋物線 分析與解： 顯然該方程表示拋物線，故選D。 若直接由所給方程是很難斷定它表示何種曲線，因此通常要把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，加以研究。

9、 例7. 分析：對于求一點(diǎn)到一條直線的距離問題，我們聯(lián)想到的是直角坐標(biāo)系中的距離公式，因此應(yīng)首選把極坐標(biāo)平面內(nèi)的問題化為直角坐標(biāo)問題的解決方法，這需把極點(diǎn)，直線的方程化為直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方程。 解：極點(diǎn)的直角坐標(biāo)為O（0，0） 例8.角形ABC的形狀，并求出它的面積。 分析：判斷ABC的形狀，就需要計(jì)算三角形的邊長或角，在本題中計(jì)算邊長較為容易，不妨先計(jì)算邊長。 解： 由余弦定理，得： 例9. 如圖，點(diǎn)A在直線x=5上移動(dòng)，等腰OPA的頂角OPA為120°（O，P，A按順時(shí)針方向排列），求點(diǎn)P的軌跡方程。 分析一：若設(shè)A（5，t），即引入變量t，則可求點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方

10、程。為此，只需尋找兩個(gè)等量關(guān)系：（1）½PO½½PA½；（2）ÐAPO120° 解法一： 設(shè)A（5，t），P（x，y） 由<1><2>，消去t，可得點(diǎn)P的軌跡方程（此時(shí)發(fā)現(xiàn)：消去t顯得多么繁雜，甚至不可能。因此此法應(yīng)放棄，該選擇新的方法）。分析二： 若建立極坐標(biāo)系，也許求點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程更簡明些。只需以O(shè)作為極點(diǎn)，Ox軸的正方向?yàn)闃O軸建立極坐標(biāo)系。再尋找點(diǎn)P（，）與點(diǎn)A（0，0）的坐標(biāo)之間的關(guān)系，可分別尋求與0的關(guān)系以及與0的關(guān)系。解法二：取O為極點(diǎn)，x正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，則直線x=5的極坐標(biāo)方程

11、為 cos=5。 設(shè)A（0，0），P（，） 把<2>代入<1>，得點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程為： 【習(xí)題】1. 已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，下列所給出的四個(gè)坐標(biāo)中不能表示點(diǎn)M的坐標(biāo)為 A. B. C. D. 2. 點(diǎn)的極坐標(biāo)為（ ） 3. 圓心為C，半徑為3的圓的極坐標(biāo)方程為（ ） 4. 極坐標(biāo)方程為表示的圓的半徑為（ ） 5. 若A，B，則|AB|=_，_。（其中O是極點(diǎn)） 6. 極點(diǎn)到直線的距離是_。 7. 極坐標(biāo)方程表示的曲線是_。 8. 若圓C的方程是，則它關(guān)于極軸對稱的圓心方程為_，它關(guān)于直線對稱的圓的方程為_。 9. 方程表示的曲線是_。 10. 直線（t為參數(shù)）上任一

12、點(diǎn)P到的距離為_。 11. 直線，則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為_。 12. 的軌跡方程為_。 13. 求橢圓。 14. 若方程 15. ，若A、B是C上關(guān)于坐標(biāo)軸不對稱的任意兩點(diǎn)，AB的垂直平分線交x軸于P（a，0），求a的取值范圍?！驹囶}答案】 1. A. 能表示點(diǎn)M的坐標(biāo)有（三）個(gè)，分別是B、C、D。 2. 由，得位于第四象限且或，故點(diǎn)的極坐標(biāo)為或?qū)懗伞?3. 如下圖，設(shè)圓上任一點(diǎn)為P（），則 4. 方法一：方程變形為，該方程表示的圓的半徑與圓的半徑相等，故所求的圓的半徑為r=1 方法二：把方程化為 化為直角坐標(biāo)方程為 即 可見所求圓的半徑r=1 5. 在極坐標(biāo)系中畫出點(diǎn)A、B，易得 6. 極點(diǎn)為（0，0），直線的直角坐標(biāo)方程為 極點(diǎn)到直線的距離。 7. 方程兩邊同乘以，則 8. 關(guān)于極軸對稱的圓方程為，關(guān)于直線對稱的圓的方程為。 9. 方程表示的曲線為雙曲線（可把