拓?fù)淇臻g開(kāi)集閉集閉包聚點(diǎn)鄰域

1、第一章拓?fù)淇臻g與拓?fù)洳蛔兞繑?shù)學(xué)分析中的連續(xù)函數(shù)的定義與和值域都是歐氏空間(直線、平面或空間) 或是其中的一部分.本章將首先把連續(xù)函數(shù)的定義域和值域的主要特征抽象出來(lái) 用以定義度量空間，將連續(xù)函數(shù)的主要特征抽象出來(lái)用以定義度量空間的連續(xù)映 射然后將兩者再度抽象，給出拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射隨后逐步提出拓?fù)淇臻g的一些基本問(wèn)題如鄰域、開(kāi)集、閉集、閉包、聚點(diǎn)、導(dǎo)集、內(nèi)部、邊 界、序列、極限等進(jìn)一步引入緊致性、連通性、可數(shù)性與分離性等重要的拓?fù)?不變性§ 1.1拓?fù)淇臻g、開(kāi)集、閉集、聚點(diǎn)、閉包、鄰域一、問(wèn)題的引入數(shù)學(xué)分析里我們知道，在連續(xù)函數(shù)的定義中只涉及距離這個(gè)概念，定義域是 一維歐

2、氏空間，即實(shí)數(shù)空間，兩點(diǎn)之間的距離d(x,y)=|x-y|,即兩兩實(shí)數(shù)之差的絕對(duì)值，定義域是n維歐氏空間，兩點(diǎn)x=(xi ,X2,，xn),丫=(yi,y2,，yn)之間的距離 d(x,y)=,(花 -)2+(Xn -y.)2 -無(wú)論是幾維空間，它的距離都有下面的性質(zhì)：1. d(x,y) > 0 , - x,y Rn ;2. d(x,y) = 0 二 x = y ;3. d(x,y) = d(y,x) - x,y Rn ;4. d(x,z) < d(x,y) + d(y,z) , - x,y,z 戌；這些性質(zhì)反映了距離的特征.將Rn推廣為一般的集合，我們由距離可以抽象出度量以及度量

3、空間的定義(一 )度量空間1.定義定義1設(shè)X是一個(gè)集合，p XXX -R，如果對(duì)于任何x,y,z X,有 (正定性)p (x,y)> 0 并且 p (x,y) = 0 二 x = y ; (對(duì)稱性)p(x,y) = p(y,x); (三角不等式)p(x,z) < p(x,y) + p(y,z)則稱p是集合X中的一個(gè)度量.如果p是集合X中的一個(gè)度量，則稱偶對(duì)(X，p)是一個(gè)度量空間，或徑稱X是一個(gè)度量空間.而P （x,y）稱為從點(diǎn)X到點(diǎn)丫的距離.2. 度量空間舉例例實(shí)數(shù)空間R對(duì)實(shí)數(shù)集合，定義 p RXR-R如下：P x,y R,令p （x,y） =|x-y|，易知p是R 的一個(gè)度量.

4、因此（R, p）是一個(gè)度量空間.可見(jiàn)，度量空間是實(shí)數(shù)空間的推廣，度量是距離的推廣.例維歐式空間Rn對(duì)實(shí)數(shù)集合R的n重笛卡爾積R1=RXRX-XR，定義p Rn xRn-R如下：對(duì)任意兩點(diǎn) X=(X1 ,X2,，Xn),丫=(y1,y2,，yn) Rn，令 p(x,y) =、 X -yj2，可以驗(yàn)證p是Rn的一個(gè)度量，偶對(duì)（Rn，p）稱為n維歐氏空間.有時(shí)徑稱Rn為 n維歐氏空間.n=2時(shí)，R2常稱為歐氏平面或平面.例空間 H記H是平方收斂的所有實(shí)數(shù)序列構(gòu)成的集合，即H= x=（x 1 ,X2，xn） | xi R, i Z+ , E x；,定義 p: HXH R 如下：對(duì)于任意 x=(X1 ,

5、X2, xn）,丫=（y 1,y2,，yn） H,令p （x,y） = 、'、yj2 .這個(gè)定義的合理性及驗(yàn)證憶（Xi-yi）2 <以及驗(yàn)證p是H的一個(gè)度量，可見(jiàn)P49附錄.因此（H, p）是一個(gè)度量空間，稱為 Hilbert空間.例離散的度量空間設(shè)（X, p）是一個(gè)度量空間，稱（X, p）是一個(gè)離散的度量空間或稱 p是一 個(gè)離散的度量，如果對(duì)每一個(gè) x X,存在一個(gè)實(shí)數(shù)r 0使得p （x,y ） >x ,對(duì) 任何y X，y mx成立.女口，設(shè)X是一個(gè)集合，定義p: XXX -R，使得對(duì)于任何x,y X,有0 若 x = y'（x,y）,易知p是X的一個(gè)離散度量，度

6、量空間（X, p）是離散的思考題例令X= C (a,b) = f: a,b -R |f在a,b上連續(xù)，并且對(duì)于任意的f , gb C (a,b),令 d(f,g)= |f(x)-g(x)|dx, d 是 C (a,b)的度量嗎？(答案：d是C (a,b)的度量，因此(C (a,b)，d)是一個(gè)度量空間)3. 鄰域、開(kāi)集度量空間的球形鄰域及其基本性質(zhì)定義2.設(shè)(X, P是一個(gè)度量空間，x X,對(duì)于任意的& >0,B (x, £ ) =y X | p (x,y) < £ 稱為以x為中心，&為半徑的球形鄰域， 也稱為x的一個(gè)£鄰域，也記作Be

7、(x).定理度量空間(X, p)的球形鄰域具有以下性質(zhì)： 每一點(diǎn)xX至少有一鄰域，并且x屬于它的每一個(gè)鄰域； 對(duì)于點(diǎn)xX的任意兩個(gè)球形鄰域，存在x的一個(gè)球形鄰域同時(shí)包含于 兩者； 如果y X屬于x的某個(gè)球形鄰域，則y有一個(gè)球形鄰域包含于x的那個(gè) 球形鄰域.證明： 度量空間的開(kāi)集及其基本性質(zhì)定義3.設(shè)X是一個(gè)度量空間，A X，如果-a，A,都；0,使B(a, £ )X，則稱A是X的一個(gè)開(kāi)集.由定理的知，X的球形鄰域都是開(kāi)集.例實(shí)數(shù)空間R中的開(kāi)區(qū)間都是開(kāi)集，而半開(kāi)半閉區(qū)間、閉區(qū)間都不是開(kāi)集.兩個(gè)開(kāi)區(qū)間的并也是開(kāi)集.可見(jiàn)，度量空間的開(kāi)集是實(shí)數(shù)空間開(kāi)區(qū)間的推廣.定理度量空間X的開(kāi)集具有以下性

8、質(zhì)： 集合X本身和空集都是開(kāi)集； 任何兩個(gè)開(kāi)集的交是開(kāi)集； 任何一個(gè)開(kāi)集族的并是開(kāi)集.證 推論U是度量空間的開(kāi)集的充分必要條件是 U是這個(gè)空間中若干個(gè)球形鄰域的并度量空間中點(diǎn)x的鄰域-球形鄰域的推廣定義4.設(shè)X是一個(gè)度量空間，x X,U X，如果存在開(kāi)集V使x VU ,則稱U是x的一個(gè)鄰域.注：有定義可知，開(kāi)集 V是它的每一點(diǎn)的鄰域，但鄰域卻不一定是開(kāi)集.如0，2是1的鄰域，但它不是開(kāi)集.定理設(shè)X是一個(gè)度量空間，x X,U X，則U是x的一個(gè)鄰域二存 在 B(x, £ ) U.證明：本定理為鄰域提供了一個(gè)等價(jià)說(shuō)法.推論 X是一個(gè)度量空間，U X，則U是X的一個(gè)開(kāi)集=U是其內(nèi)每一 點(diǎn)的

9、鄰域.證 由定義和定理(二 )度量空間之間的連續(xù)映射定義5設(shè)X和Y是兩個(gè)度量空間，f: X-Y，以及xo X，如果對(duì)于f (xo) 的任何一個(gè)球形鄰域B(f(x o),£ )，存在xo的某一個(gè)球形鄰域B(xo, S )使得f (B(x o, S )B(f(xo), & )，貝U稱映射f在xo處是連續(xù)的.如果映射f在X的每一點(diǎn)連續(xù)，則稱f是一個(gè)連續(xù)函數(shù).顯然這個(gè)定義是數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)定義純粹形式上的推廣 .定理設(shè)X和Y是兩個(gè)度量空間，f: X-Y，則 f在xo點(diǎn)處連續(xù):二f (xo)的每一個(gè)鄰域的原像是xo的一個(gè)鄰域； f是連續(xù)的二丫中每個(gè)開(kāi)集的原像是X中的開(kāi)集.證明：”若f

10、在xo點(diǎn)處連續(xù)，設(shè)U為f (xo)的一個(gè)鄰域，據(jù), 有B(f(xo), & ) U,因?yàn)閒在xo點(diǎn)處連續(xù)，所以存在B(xo, S )使得f (B(xo，S )B(f(xo), & )，然而 f-1 B(f(xo),£ ) f-1(U)，而 B(xo, S ) f -1 B(f(x°), & ), 所以B(xo, S ) f-1(U)，這說(shuō)明f-1(U)是xo的一個(gè)鄰域.設(shè)f (xo)的每一個(gè)鄰域的原像是xo的一個(gè)鄰域，任給f (xo)的一個(gè)鄰 域 B(f(Xo), & )，則 f-1 B(f(Xo), & )是 xo 的一個(gè)鄰域，據(jù)

11、, X。有一個(gè)球形 鄰域 B(xo，S ) f -1 B(f(xo), £ )，因此 f B(xo，S )B(f(xo), £ )，所以 f在xo點(diǎn)處連續(xù) ”設(shè)f連續(xù)，令V為丫中一開(kāi)集，U= f -1(V),對(duì)于每一個(gè)x U， 則f(x) V，由于V是開(kāi)集，所以V是f(x)的一個(gè)鄰域，由于f在每一點(diǎn)x連 續(xù)，故由知U是x的一個(gè)鄰域，由上面的推論知，U是開(kāi)集.”設(shè)丫中每個(gè)開(kāi)集的原像是X中的開(kāi)集，下證f在任一點(diǎn)x X連續(xù). 設(shè)U是f(x)的一個(gè)鄰域，即存在開(kāi)集 V使f(x) V U,從而x f-1(V) f-1(U),由條件f-1(V)是X中的開(kāi)集，所以f-1(U)是x的一個(gè)鄰

12、域，于是中必 要條件成立所以f在點(diǎn)x X連續(xù).由于x的任意性，所以f是連續(xù)映射.二、拓?fù)淇臻g、開(kāi)集、閉集參照度量空間中開(kāi)集的基本性質(zhì)()建立拓?fù)淇臻g 定義設(shè)X是一個(gè)集合，T是X的一個(gè)子集族，如果T滿足如下條件： X , T ;若 A,B T,則 AH B T ; 若 T1T ，則 Uat!a T -則稱T是X的一個(gè)拓?fù)?若T是X的一個(gè)拓?fù)?，則稱偶對(duì)(X, T )是一個(gè)拓?fù)淇臻g，或稱集合X是 相對(duì)于拓?fù)銽而言的拓?fù)淇臻g；或T不需指出時(shí)，徑稱集合X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.T 中每一個(gè)元素叫做拓?fù)淇臻g(X, T )或X中的一個(gè)開(kāi)集；開(kāi)集的補(bǔ)集稱為閉集.說(shuō)明：條件蘊(yùn)含著：當(dāng)n > 1時(shí)若A1，A，An

13、T ,則AH AHH An T .(但對(duì)無(wú)限交不一定成立，見(jiàn)后面的例)、兩條常被稱為關(guān)于有限交、無(wú)限并封閉； 當(dāng)T1 =時(shí)，UaTiAT ,這一點(diǎn)在中已有規(guī)定，因此以后驗(yàn)證成立只需對(duì)T 1工驗(yàn)證即可；有拓?fù)淇臻g的定義和度量空間開(kāi)集的基本性質(zhì)知，度量空間都是拓?fù)淇?間.關(guān)于這一點(diǎn)還有下面的定義：定義設(shè)（X, p）是度量空間.令T p是由X中的所有開(kāi)集構(gòu)成的集族，據(jù), T p是X的一個(gè)拓?fù)湮覀兎QTp為X的由度量p誘導(dǎo)出來(lái)的拓?fù)?約定：說(shuō)度量空間（X, p）的拓?fù)鋾r(shí)，如果沒(méi)有另外說(shuō)明，就指T p ,稱其為拓?fù)淇臻g時(shí)就指（X, Tp）.因此，實(shí)數(shù)空間R, n維歐氏空間R （特別，歐氏平面FHilber

14、t空間H都可以叫做拓?fù)淇臻g，其拓?fù)渚褪瞧涓髯缘耐ǔ６攘空T導(dǎo)出來(lái)的拓?fù)?在實(shí)數(shù)空間中，（a -l,a -）是開(kāi)集，但 （a -,a）二a不是開(kāi)集. nn何+ nn這說(shuō)明無(wú)限個(gè)開(kāi)集的交不一定是開(kāi)集.定理設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，記F為所有閉集構(gòu)成的集族.則： X,F ;如果A,B F ，則A,BU F ; 如果工F 1F ，則A F1A，F(xiàn) .證明由于X, T ，所以=乂，X=© ' F . 當(dāng)A,B F時(shí)，有A ,B ' T，從而A'G B' T，因此AU B = A U B = （A'G B'）' F . 令T 1 =A |A 

15、9; F 1 ,于是T 1 T ，因此U U T U T ，從而 ）,=幣尸4"=（匕尸八）=（Ut1U） F證畢.注： 蘊(yùn)含著，n>1時(shí)，A1，A2，An是閉集，則A1 U A2 U-UAn 也是閉集.即閉對(duì)有限并封閉；（2）中要求F 1工，因?yàn)镕 1 =時(shí)，A F1A無(wú)意義.例1.平庸空間設(shè)X是一個(gè)集合，令T =X ,，容易驗(yàn)證T是X的一個(gè)拓?fù)洌Q為X的平庸拓?fù)?，稱（X,T ）為平庸空間.在平庸空間中，有且只有兩個(gè)開(kāi)集：X ,； 有且只有兩個(gè)開(kāi)集：X ,.例2.離散空間設(shè)X是一個(gè)集合，令T =P （X），易知T是X的一個(gè)拓?fù)洌Q為X的離散拓 撲，稱（X, T ）為離散空間在

16、離散空間中，每一個(gè)子集都是開(kāi)集，每一個(gè)子 集都是開(kāi)集離散空間可以記作（X，P （X）.例3. 設(shè)X=a,b,c,令T =，a ,a,b,X,可以驗(yàn)證T是X的一個(gè)拓?fù)?，因此（X，T ）為一個(gè)拓?fù)淇臻g.它既不是平庸拓?fù)?，又不是離散拓?fù)?說(shuō)明：對(duì)X=a,b,c，可以為其構(gòu)造出29個(gè)拓?fù)?，其中平庸拓?fù)渥钚?，離 散拓?fù)渥畲?可見(jiàn)對(duì)同一個(gè)集合，它可以有不同的拓?fù)?例4.有限補(bǔ)拓?fù)淇臻g設(shè)X是一個(gè)集合，令T =U X | U'是X的一個(gè)有限子集 U . 易驗(yàn)證T是X的一個(gè)拓?fù)洌Q其為X的有限補(bǔ)拓?fù)?，（X，T ）稱為有限補(bǔ)拓?fù)?空間.下面驗(yàn)證T滿足拓?fù)涠x中的成立設(shè) Ti T ，若 Ti =，則 U a

17、TiA=： T ;若存在 AoF, Ao Ti , 則（LLAUriAm + uA；是X的有限子集，所以U Amf壬T所以成立.問(wèn)題：當(dāng)X是一個(gè)有限集合時(shí)，X的有限補(bǔ)拓?fù)淇臻g又是已知的什么拓?fù)?空間？例5.可數(shù)補(bǔ)拓?fù)淇臻g設(shè)X是一個(gè)集合，令T =U X | U'是X的一個(gè)可數(shù)子集 U . 易驗(yàn)證T是X的一個(gè)拓?fù)洌Q其為X的可數(shù)補(bǔ)拓?fù)?，（X，T ）稱為可數(shù)補(bǔ) 拓?fù)淇臻g.（課下驗(yàn)證）問(wèn)題：當(dāng)X是一個(gè)可數(shù)集合時(shí)，X的可數(shù)補(bǔ)拓?fù)淇臻g又叫做什么拓?fù)淇臻g？（離散拓?fù)淇臻g）.當(dāng)X是有限時(shí)，與什么空間是同一個(gè)空間？（有限拓?fù)淇臻g）三、鄰域與鄰域系、聚點(diǎn)、導(dǎo)集，閉集，閉包1. 鄰域鄰域系的定義定義設(shè)（X,

18、T ）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x X,U X,如果存在開(kāi)集V T使得x V U ,則稱U是x的一個(gè)鄰域.點(diǎn)x的所有鄰域構(gòu)成的集族 稱為點(diǎn)x的鄰域系.由定義，若U是包含x的開(kāi)集，那么它一定是x的一個(gè)鄰域，稱U是點(diǎn)x 的一個(gè)開(kāi)鄰域.說(shuō)明：由于X的子集A是X作為度量空間的開(kāi)集與A是X作為拓?fù)淇臻g 的開(kāi)集是一回事，所以包含x的集合U是X作為度量空間x的鄰域二U是X作 為拓?fù)淇臻gx的鄰域.定理X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，U X，則U是X的一個(gè)開(kāi)集二U是其內(nèi)每一點(diǎn)的鄰域證明：“=”顯然.“u ”若U二，則結(jié)論成立.若U工由條件對(duì)每一個(gè)x U，存在開(kāi)集Vx使x VxU ,因此U x Vx U，所以UVx為開(kāi)集.X印X田X申推

19、論U是X的一個(gè)開(kāi)集 = U可以表示為開(kāi)鄰域之并2. 導(dǎo)集，閉集，閉包的概念定義設(shè)X是拓?fù)淇臻g，A X, x X,如果對(duì)x的每一個(gè)鄰域U都有Un (A-x)工,則稱點(diǎn)x是集合A的一個(gè)聚點(diǎn).集合A的所有聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為 A的導(dǎo)集，記作d(A).如果x A，并且x不是 A的凝聚點(diǎn)，既存在x的一個(gè)鄰域U使得Un (A-x)=，則稱點(diǎn)x是集合A的 一個(gè)孤立點(diǎn).集合A與A的導(dǎo)集d(A)的并AU d(A)稱為集合A的閉包，記作A或A：即A =AU d(A).說(shuō)明(1)A的孤立點(diǎn)一定的屬于A,但A的極限點(diǎn)不一定屬于A;(2) 凝聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)、導(dǎo)集都是相對(duì)于X的某個(gè)拓?fù)涠缘?，它與拓?fù)溆嘘P(guān).因此在談這些問(wèn)題時(shí)

20、一般都需要明確是相對(duì)于那個(gè)拓?fù)鋪?lái)說(shuō)的.同時(shí)也可知：(3) 歐氏空間中有關(guān)這幾個(gè)概念的結(jié)論在一般拓?fù)淇臻g中不見(jiàn)得的成立.若A d(A)，則稱A為自密集，若A=d(A)，則稱A為完全集若d(A)nA=，則稱a為孤立點(diǎn)集(5)在離散空間中，由于d(A)=，既沒(méi)有任何極限點(diǎn)，所以任何子集都是閉集.(我們已知任何子集是開(kāi)集).而在平庸空間中，d(x.)=X-x.，若A多于 一個(gè)點(diǎn)，則d(A)=X，所以在平庸空間中任何真子集都不是閉集3. 導(dǎo)集，閉集，閉包的性質(zhì)定理設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻gA X,則 d()=若A B,貝U d(A) d(B) d(A U B) =d(A) U d(B)d(d(A)AU d(A)

21、證明由于對(duì)于每一點(diǎn)x X和點(diǎn)x的任何一個(gè)鄰域U有Un (-x)=,所以x "(),因此d()=. 如果x d(A),U是x 一個(gè)鄰域,由于Un (A-x)工,所以Un (B-x) 工，因此x d(B).這證明了 d(A) d(B). 據(jù)及 A,B A U B得知 d(A)，d(B) d(A U B)，所以 d(A) U d(B)d(A U B)，下證 d(A U B) d(A) U d(B).設(shè) x d(A U B)，則對(duì) x 的任何一個(gè)鄰 域 u 有 Un (A u b -x)工，即卩 Un (a-x)u(b-x)= u n(a-x) u un (B-x) 工，所以Un (A-x)

22、工或Un (B-x)工，所以x d(A)或x d(B)，所以 x d(A) U d(B)，所以 d(A U B) = d(A) U d(B). 設(shè)x一 A U d(A)，則x A且x - d(A)，所以存在x的一個(gè)鄰域U使Un (A-x)=，任意選取x的一個(gè)開(kāi)鄰域v,使得v u，這是我們也有 vn (A-x)=,由于xA，所以vnA =，這也就是說(shuō)，V中的任何一個(gè)點(diǎn)都不 是A中的點(diǎn)，因此對(duì)于任何y V,有Vn (A-y)=，由于V是y的一個(gè)鄰域， 因此y不是A的凝聚點(diǎn)，即y-d(A).這說(shuō)明V中沒(méi)有A的任何一個(gè)凝聚點(diǎn).于是 x有一個(gè)鄰域V與A的導(dǎo)集d(A)無(wú)交，即Vn d(A)=，所以Vn (

23、d(A)-x)二， 所以x - d(d(A).將以上給出的論證概括起來(lái)便是：只要x A U d(A)，便有x 'd(d(A)，這就是說(shuō) d(d(A) AU d(A).證畢.注：d(d(A)二 d(A) ， d(A)二 d(d(A)定理設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A X,則A是閉集二d(A) A證明設(shè)A是閉集，則A'是開(kāi)集，如果xT,則x A'，則A'是x的一個(gè)鄰域，它滿足條件：A n A'=，因此x d(A).于是我們有d(A) A.設(shè)d(A) A.如果x A'，則x-A，所以x - d(A)，由聚點(diǎn)的定義x有一個(gè)鄰域u使un(a-x)=，從而una=o

24、，也即ua，這證明，對(duì)于任何x A，A是x的一個(gè)鄰域，因此A是開(kāi)集.定理拓?fù)淇臻gX的子集A是閉集=A二A .證 A 為閉集二 d(A) A= A U d(A)=A,即 A = A.定理是拓?fù)淇臻g，對(duì)于任意的集合 A,B X ,有宅沖；a A ；aUb二AUB ；A二a證明 用到 d(A U B) =d(A) U d(B) 和 d(d(A) AU d(A)定理拓?fù)淇臻gX的任何一個(gè)子集A的閉包都是閉集.定理設(shè)X是拓?fù)淇臻g，F(xiàn)是由空間X中所有的閉集構(gòu)成的族，則對(duì) 于X的每個(gè)子集A，有AB .即集合A的閉包等于包含A的所有閉集B 在，B=A之交.證明 由于A包含于B，然而后者是一閉集，所以AB;B.F

25、 ,B_AB.F ,B_A另一方面，因?yàn)锳是閉集，并且A A，所以B A，所以AB .B 旺，BZAB 守，BZZA說(shuō)明 因A是包含A的閉集，而由定理，又包含于任何一個(gè)包含 A的閉集之 中.因此我們有結(jié)論：一個(gè)集合的閉包是包含著這個(gè)集的最小閉集.定理設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A X,則 x A= - U Ux,有；若A B,則 A B(Td(A) d(B)；麗B Ap|B ，由可得.一個(gè)令人關(guān)心的問(wèn)題是，是否拓?fù)淇臻g真的要比度量空間的范圍更廣一點(diǎn)？ 換句話說(shuō)，是否每一個(gè)度量空間都可以由某一個(gè)度量誘導(dǎo)出來(lái)？定義設(shè)(X，T )是拓?fù)淇臻g.如果存在X的一個(gè)度量P使得拓?fù)銽 就是由p誘導(dǎo)出來(lái)的拓?fù)銽 p，則

26、稱(X，T )是一個(gè)可度量化空間.注：是否每一個(gè)拓?fù)淇臻g都是可度量化空間？回答是否定的.因?yàn)橛?#167; 2.1習(xí)題2可知，每一個(gè)只含有限點(diǎn)的度量空間作為拓?fù)淇臻g都是離散空間 . 然而一個(gè)平庸空間如果含有多于一個(gè)點(diǎn)的話， 它肯定不是離散空間，因此它不是 可度量的.例給出的拓?fù)淇臻g含三個(gè)點(diǎn)，但不是離散空間，就不是可度量化的； 由此看來(lái)，拓?fù)淇臻g確實(shí)比度量空間范圍更廣；拓?fù)淇臻g在什么條件下可度量化？后面將由專門討論二拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射及同胚1.拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射及性質(zhì)定義224 設(shè)X、Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X f Y ,如果Y中每個(gè)開(kāi)集U的原 像f-1(U)是X中的一個(gè)開(kāi)集，則稱f是從X

27、到丫的一個(gè)連續(xù)映射，或簡(jiǎn)稱映射f 連續(xù)問(wèn)題：常值映射連續(xù)嗎？一一連續(xù)可見(jiàn)連續(xù)映射不一定是一一映射注設(shè)X、丫是兩個(gè)度量空間，f:X f Y連續(xù).由于視X,Y為拓?fù)淇臻g時(shí)，其開(kāi) 集與X,Y作為度量空間時(shí)的開(kāi)集一樣，所以由該定義和 知，X,Y都作為 拓?fù)淇臻g時(shí)，f：X f Y也連續(xù).可見(jiàn)拓?fù)淇臻g的連續(xù)是度量空間之間連續(xù)的推廣 .定理設(shè)X、Y、Z是拓?fù)淇臻g，則 恒同映射ix： XfX是一個(gè)連續(xù)映射； 如果f:X f Y連續(xù)，g:Yf Z連續(xù)，則g.f : Xf Z也連續(xù).證明 如果U是X的一個(gè)開(kāi)集，則iX1(U)=U，當(dāng)然也是X的開(kāi)集，所以iX 連續(xù) 設(shè)f:X f Y連續(xù)，g:Yf Z連續(xù)，設(shè)W是 Z

28、的開(kāi)集,由于g連續(xù)，所以g-1 (W) 是丫中開(kāi)集；又因?yàn)閒連續(xù)，所以f-1 g-1 (W)是X中的開(kāi)集.因此(g.f ) -1 (W =f-1g -1(w)是X中的開(kāi)集.這證明g.f連續(xù).2. 拓?fù)淇臻g之間的同胚及性質(zhì)在數(shù)學(xué)的許多學(xué)科中都涉及兩類基本對(duì)象.例如在線性代數(shù)中我們考慮線性 空間和線性變換，在群論中我們考慮群和同態(tài)，在集合論中我們考慮集合與映射， 在不同的幾何學(xué)中考慮各自的圖形和各自的變換等等.并且對(duì)于后者都要提出一類予以重視，例如線性代數(shù)中的(線性)同構(gòu)，群論中的同構(gòu)，集合論中的一一 映射，以及初等幾何中的剛體運(yùn)動(dòng)(即平移加旋轉(zhuǎn))等等，我們現(xiàn)在已經(jīng)提出了 兩類基本對(duì)象，即拓?fù)淇臻g

29、和連續(xù)映射.下面將從連續(xù)映射中挑出一類予以關(guān)注. 這就是同胚映射.定義225 設(shè)X和丫都是拓?fù)淇臻g，如果f:X -丫是一個(gè)一一映射，并且f 和f-1都連續(xù)，則稱f是一個(gè)同胚映射或同胚注： 直觀上說(shuō)，f連續(xù)表示不撕裂，f-1連續(xù)表示不粘連.f:X-丫是一個(gè) 同胚，表示X到丫不撕裂、不粘連. 映射f是一一映射，一定連續(xù)嗎？不見(jiàn)得連續(xù)如，設(shè)f:Q Z+是映射（因?yàn)橛袕?QZ+的單射，也有從Z+ -Q的單射，據(jù)定理有這樣的一一映射f）若取Q的拓?fù)錇槠接雇負(fù)洌琙+的拓?fù)錇殡x散的拓?fù)?，則f不連續(xù). 連續(xù)的一一映射一定同胚嗎？不一定.如，令X=Rn，取它的拓?fù)錇殡x散拓?fù)?，? Rn，取它的拓?fù)錇橥ǔ６?量誘

30、導(dǎo)的拓?fù)?映射iRn ： X丫是連續(xù)的、的，但iRn不連續(xù).；aEX,a為開(kāi)集，但（洛）*）=2在丫中是閉集.所以iRn：XT 丫不是同胚.定理設(shè)X、Y、Z是拓?fù)淇臻g，則 恒同映射ix： X-X是一個(gè)同胚； 如果f:X -丫是一個(gè)同胚，則f-1: 丫-X也是一個(gè)同胚； 如果f:X -丫和g:Y-Z都是同胚，貝U g.f : X-Z也是一個(gè)同胚.證明：（以下證明中的根據(jù)，可見(jiàn)定理 ，定理，定理） 恒同映射i x是一個(gè)一一映射，并且i x =i x1都是連續(xù)的，從而i x是一 個(gè)同胚. 設(shè)f:X -丫是同胚，因此f是一個(gè)一一映射，并且f和f-1都是連續(xù)的. 于是f-1也是一個(gè)一一映射并且f-1和（

31、f -1）-1=f也都連續(xù)，所以 廣：丫 -X也是一 個(gè)同胚. 如果f:X -丫和g:Y-Z都是同胚，因此f和g是一個(gè)一一映射,并且f 和f-1, ,g和g-1都是連續(xù)的，因此g.f也是一一映射，并且g.f和（g.f ）-1 = f-1 .g-1 都是連續(xù)的，所以g.f : X-Z也是一個(gè)同胚.定義設(shè)X、丫是拓?fù)淇臻g，如果存在一個(gè)同胚f:X -Y,則稱拓?fù)淇臻gX與拓?fù)淇臻g丫是同胚的，或稱X與丫同胚，或稱X同胚與丫 定理 設(shè) X、Y、Z 是拓?fù)淇臻g，則 X與X同胚； 若X與丫同胚,則丫與X也同胚； 若X與丫同胚,則丫與Z同胚，則X與Z也同胚.證明：從定理 直接可得 .說(shuō)明： 在拓?fù)淇臻g組成的族中，同胚關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系因此同胚關(guān) 系將拓?fù)淇臻g族分成互不相交的等價(jià)類，使得屬于同一類的拓?fù)淇臻g彼此同胚， 屬于不同類的拓?fù)淇臻g彼此不同胚 .拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì) P,如果為某一拓?fù)淇臻g所具有，則與其同胚的拓 撲空間也具有，則稱性質(zhì)P是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)或拓?fù)洳蛔兞亢?jiǎn)言之，拓?fù)洳?變性是同胚的拓?fù)?/p>