質心系在近似處理中的特殊作用-質量懸殊的兩體問題的近似處理

1、玉林師范學院本科生畢業(yè)論文質心系在近似處理中的特殊作用 質量懸殊的兩體問題的近似處理Special Function of Center-of-Mass Frame in the Approximate Disposal- the Approximate Disposal of Two-Body System with Great Disparity in Mass院 系 物理科學與工程技術學院專 業(yè) 物理學學 生 班 級 2008級 2班姓 名 覃 惠學 號 200805401230指導教師單位 物理科學與工程技術學院指導教師姓名 關小蓉指導教師職稱 副教授質心系在近似處理中的特殊作用質量懸

2、殊的兩體問題的近似處理物理學 2008級 2班 覃惠指導老師 關小蓉摘要質心參考系是一種重要的參照系, 本文主要闡述在實驗室參考系與質心參考系 下對質量懸殊的兩體問題近似處理進行比較,分析在進行近似處理時,質心參考下 的特點以及其特殊作用。關鍵詞:兩體問題,質心系,近似處理,質量懸殊Special Function of Center-of-Mass Frame in the Approximate Disposal -the Approximate Disposal of Two-BodySystem with Great Disparity in MassPhysics Science 2

3、008-2 QinHuiSupervisor Guan XiaorongAbstractThe centroid reference frame is an important reference system. This paper mainly analyzes the characteristics of the reference system and its special effects, By giving approximatr treatment to two bodies of different quality under the Laboratory frame of

4、reference and centroid reference frame.Key words: great disparity in mass, two-body problem, frame of center of mass, approximate disposal目錄1前言 . 12 質心參考系 . 2 2.l 質心的引進及意義 . 22.2質心參考系的定義 . 23 兩體問題的動力學分析 . 2 3.1質點組的相對運動方程 . 23.2質點組的動能和相對運動動能 . 44 實例討論 . 65 質心系的優(yōu)越性分析 . 10 5.1 質心系及其特點 . 105.2質心系的優(yōu)越性 .

5、116 結束語 . 127 致謝 . 12 參考文獻 . 14玉林師范學院本科生畢業(yè)論文1前言自 18世紀以來, 經典力學已逐漸發(fā)展成為一門理論嚴謹、 體系完整的科學, 其中 單體問題通常都能精確求解, 而多體問題中每個質點的運動情況各不相同, 一般不能 精確求解, 而我們研究的多數為兩體問題, 原因是許多實際的力學問題都可近似為兩 體問題。 所謂兩體問題就是指兩個物體也就是兩個質點組成的系統(tǒng), 它們彼此以內力 相互作用, 并不受外力作用而運動的問題。 它包括的范圍較廣, 如單個行星繞太陽的 運動問題; 粒子受原子核的散射問題、 氫原子問題、 雙原子問題以及兩體彈性相互 作用問題等 1。兩體問

6、題是天體力學,衛(wèi)星空間運動理論的基礎,也是粒子碰撞和散 射理論的基礎, 在物理理論和物理方法上處于十分重要的地位, 是基礎物理開向、 通 往近代物理的窗口和橋梁。兩體問題的研究有重要的實際意義, 不但太陽、 行星和天體力學中其它許多天體 的運動屬兩體問題, 而且許多微觀粒子間的相互作用和運動也屬兩體問題, 碰撞問題 也可以看成兩體問題, 同時, 兩體問題為解決多體問題打下了基礎, 具有方法論的意 義 2。實際上,大多數多體問題,往往是其中兩個物體間的相互作用比其它作用要強 得多, 因而就可先將這兩個物體按兩體問題處理, 而把其它物體對它的作用看成擾動 處于微弱外場或受微小外力作用對兩體問題進行

7、修正。近似處理在物理學中用得很普遍, 而且常能突出問題的本質, 簡化運算過程, 使 對問題的闡述變得簡單明了。 對于兩體問題, 可采用一些合理的近似使之簡化, 本文 通過兩種方法來對兩體問題進行近似處理。 方法一是:在質心參考系下對質量懸殊的 兩體問題進行近似處理。 方法二是:在實驗室參考系下對質量懸殊的兩體問題進行近 似處理。在質心參考系下兩體問題屬于質點系問題, 可以把它分解成質心的運動和相對于 質心的運動。由于不受外力,故質心作慣性運動。因而對兩體問題,只需求出兩質點 相對于質心的運動即可。 這在知道了相互作用力之后, 是不難解決的問題。 但對于兩 體問題, 人們希望找出一個質點相對于另

8、一個質點的運動, 即用相對運動來描述, 也 就是化為所謂的等效單體運動問題,因而顯示其特殊性。在實驗室參考系下的兩體問題可以直接運用牛頓運動定律來解決就可以了。 研究 發(fā)現(xiàn), 上述這兩種方法對近似處理質量懸殊的兩體問題所得的結果是相同的, 但是質 心參照系在處理問題時比實驗室參考系下更加直觀、簡捷和可靠。12質心參考系2.l 質心的引進及意義物理學的研究,往往是從質點開始的,并由此建立了一系列相應的質點力學規(guī) 律,用以描述質點運動所遵守的規(guī)律 3。但是,在實際問題中,常常會遇到被研究 對象不是一個質點而是共有很多相互之間有著密切聯(lián)系的質點組成的質點組。質點 組是二個以上質點的組合,它的每一個質

9、點都遵循質點的運動規(guī)律,按理來說,質 點組的運動規(guī)律,可以從每一個質點人手,按照質點力學的研究方法逐一分析,然 后根據質點間所存在的聯(lián)系加以綜合、概括、抽象,從而得到整體的規(guī)律。所以質 點組實際上是以質點力學為基礎,是質點力學的發(fā)展,使之不僅能解決單個質點的 力學問題,而且還能使我們認識由多個質點的組合而成的研究對象所遵守的力學規(guī) 律。按照上述討論,在質點組動力學中,原則上可以用隔離體法,寫出質點組中每 一個質點的運動微分方程式,由于每一個質點可以列出三個二階微分方程式,為此 將得出數目繁多的二階微分方程, 解題繁鎖, 難以得到一般解 4。 此外 . 內力一般是 未知量,數目又大,更增加了問題

10、的復雜性。因此對質點組動力學的研究,采取了 整體性的方法。即第一,找出具有反映整體運動特征的物理量,例如總動量、總角 動量總功、總動能、總機械能等,并建立了它們的動力學方程,由這些方程求出系 統(tǒng)作為一個整體的運動特征 5。第二,為了描述質點組的整體的大體位置,我們引 進質心的概念,它是質點組中恒存在的一個特殊點,它的運動是很容易確定的,如 果以這個特殊點作為參考點,又能使問題簡單化。2.2質心參考系的定義在研究質量懸殊的兩體碰撞問題時,人們常運用兩種不同的坐標系 . 一種叫實 驗室坐標系,這時觀測者在靜止坐標系中觀測兩體問題的碰撞過程,常為實驗工作 者所采用 . 另一種是隨著質心運動的坐標系來

11、觀察,叫質心坐標系,常為理論工作 者所采用。下面分別采用兩種參考系解決一些兩體問題,并分析討論運用質心參考 系時的優(yōu)越性 6。3 兩體問題的動力學分析3.1質點組的相對運動方程下面分別運用兩種方法來求出質點組的相對運動方程,一是采用實驗室坐標 系來求出質點組的相對運動方程,二是采用質心坐標系來求出質點組的相對運動方 程。比較通過兩種方法求出的動能,說明采用質心坐標系這一方法更為簡便。設質點 1和質點 2的質量分別為 1m 和 2m ,它們不受外力的作用,只有內力相互作用。設質點 2對質點 1的作用力用 12f 表示,質點 1對質點 2的作用力用 21f表 示。 這是一對作用力與反作用力, 即

12、1221f f =-, 某時刻兩質點的位置和圖 3.1所示, o 為靜止坐標系的原點, 兩質點相對 o 的位置分別由位置矢 1r 和 2r 表示。 相對原點 o 而言,兩點的牛頓運動方程為 7:1112m r f ''=(3.1.1 2221m r f ''= (3.1.21212r r r ''''''=- 212112r r r r ''''''''=-=- (3.1.3 1221f f =-(3.1.4具體計算,還得考慮當兩物體運動時,相互作用

13、12f 、 21f的大小和方向隨時間 的變化, (例如,相互吸引的兩物體 1m 、 2m 之間引力的大小和方向會隨 1r 、 2r 的變 化而改變 ,因而實際上是解算由六個二階微分方程所組成的微分方程組。此外, 內力一般是未知量,更增加了問題的復雜性。但如果利用動力學基本定理,則對兩 個物體組成的質點組來講,?？蓪⑦@些未知的內力消去(動能定理除外 ,而得到兩個物體組成的質點組在外力作用下運動的某些特征。下面就是運用質心坐標系來 求出質量懸殊的兩體問題的相對運動學方程。在質心參考系下處理兩體問題在做等效單體而把物體 1m 相對于實際上 2m 的 運動, 簡化成問題處理后, 把物體 2m 視為靜量

14、止質為 1212( u m m m m =+的物體在靜 止力心的作用下運動,其微分方程為 8:1212m m r r f m m ''''=+(3.1.5式中 1212( u m m m m =+是折合質量 , r為由 2m 向 1m 所作的矢徑,由于這一簡化是 取 2m 為參照系 r 與 12f共線, 這樣計算就簡單很多了, 由于 21m m >>, 則方程可變成 112m r f ''= (3.1.6綜上可以看出,采用質心系來求出兩物體的相對運動方程較實驗室坐標系更為 方便、快鍵。3.2質點組的動能和相對運動動能下面分別運用兩種方

15、法來求出質點組的動能,一是采用實驗室坐標系來求出質 點組的動能,二是采用質心坐標系來求出質點組的動能。比較通過兩種方法求出的 動能,說明采用質心坐標系這一方法更為簡便。已知兩個質點 1m 和 2m , 21m m >>, 1r 是質點 1m 對實驗室參考系坐標原點 o 的 位矢 , 2r 是質點 2m 對同一實驗室參考系坐標原點 o 的位矢 , 4r 是質心 c 對質點 1m 的 位矢, 5r 是質心 c 對質點 2m 的位矢 。 如下圖(3.2.1 134r r r =+(3.2.1 235r r r =+(3.2.2對(3.2.1 、 (3.2.2求一階導134r r r &#

16、39;''=+(3.2.3 235r r r '''=+ (3.2.4令 11v r '= , 22v r '= , 33v r '= , 44v r '= , 55v r '= , 1v 、 2v分別為質點 1m 、 2m 相對靜止參 考系的速度, 4v 、 5v 分別是 1m 、 2m 相對質心的速度, 3v為質心相對于靜止參照系 的速度。在實驗室參考系下求質點組的動能 k E :2211221122k E m v m v =+ 134342353511( ( ( ( 22m v v v v m v v v v

17、 =+ 222213141422525311112222m v m v m v m m v m v v =+ 222123142514253111( ( 222m m v m v m v m v m v v =+2221425314251312111( 222c m v m v m v m v m v m m v m m +=+ (3.2.5 因為質心位置 1122312m r m r r m m +=+ ,所以質心速度 1122312m v m v v m m +=+而 142512m v m v m m + 顯然是質心相對質心的速度,故為零。質點組的動能則為22231425111222c

18、m v m v m v =(3.2.6 由 (3.2.6 式知, 質點組的動能由兩部分組成, 一部分是質心運動動能 2312c c E m v =,另一部分是兩質點相對質心 c 的動能之和 2214251122k E m v m v '=+。在質心參考系下求質點組的動能 k E ': 由于413v v v =- , 523v v v =- , 1122312m v m v v m m +=+所以11224112121m v m v v v v m m m +=-=+11225212122m v m v v v v m m m +=-=-+式中, 1212v v v =-是 1m

19、 對 2m 的速度。則221122121221211( ( 2212kE m v m v m m v '=+-=(3.2.7當 21m m >>時, 1m ,則 211212k E m v '=(3.2.8 從上面式子可以看得出來采用質心參考系來處理質量懸殊的兩體問題的時候 可以忽略質量大的物體的動能變化,而在實驗室參考系下處理質量懸殊的兩體問題 時則不能忽略。 4實例討論下面運用幾個例題來證明上面所討論的內容。例一, 一質量為 M 的貨車車尾載著一質量 m 的小車以速度 v 行駛在比較光滑 (假設車受到路面的作用力可以忽略的路面上,開始時,小車靜止在貨車上,某 一

20、時刻小車向貨車頭駛去,經過一段時間后小車的速度達到 1v (為簡便,設 1v 為小 車相對于貨車與小車質心系的速度大小現(xiàn)分別在實驗室參考系和質心系討論貨車 與小車動能的改變。 (M m >>解法一: 在實驗室參考下解答,由于兩車這一系統(tǒng)所受的合外力為零,所以 其質心的速度 v 將保持不變。 小車動能的增量:22111( 22m E m v v mv =+-整理得:21112M E mv mvv =+ (4.1 貨車動能的增量: 2221122M E Mv Mv =- (4.2 其中 2v 為小車的速度達到 1v時貨車相對地面的速度由動量守恒有: 12( ( m v v Mv m M

21、 v +=+ 整理得:2mvv v M=- (4.3 由(4.3代入(4.2并整理得1M E mvv =- (4.4很顯然, (4.4與(4.1比較不能被忽略,也就是說貨車的動能變化不能忽略。解法二: 在質心系中解答,設 3v 為小車以速度 1v 相對于兩者質心系運動時, 貨車相對于質心系的速度,則有 小車動能的增量21102m E m v =- 2112mv = (4.5貨車的動能增量23102M E Mv =- 2312Mv = (4.6 由動量守恒有130mv Mv += 得13mv v M=- (4.7 把(4.7代入(4.6并整理得 2112M m E mv M =m mE M= (

22、4.8 所以/1M m E E M =<<所以在質心系下貨車的動能變化可以忽略。例二,下面我們來分析地球繞太陽運動,我們可以將太陽和地球看著一個兩體 問題,太陽的質量是地球質量的 33萬倍,分別采用用兩種方法討論地球繞太陽運 動的動力學方程 10。首先討論由行星和太陽組成的兩體相對于靜止參考系的動力學問題。 如圖 1所示,令 S 代表太陽, P 代表某一行星。 并設 p r是行星 P 對某一慣性坐標系原點 O 的位矢, 而 s r 是太陽對同一慣性坐標系原點 O 的位矢。以 M 及 m 分別代表太陽和行星的質量。 圖 4.1 兩體系統(tǒng)Fig. 4.1 two-body system

23、解法一: 運用實驗室坐標系來力求地球對太陽的相對運動方程,則有r rGMm dt r d M s322= (4.9式中 r =, G 為萬有引力常數,而行星對同一坐標系的動力學方程為: r r GMm dt r d mp322-=(4.10 求地球對太陽的相對運動方程,由方程(4.9 、 (4.10得: r m M rGMmdt r d dt r d Mm s p( (32222+-=- (4.11代入固有關系 r r r s p=-,得;r r GMm dt r d m M Mm322-=+ (4.12 令 mM Mm+=, 叫做折合質量,則(4.12可寫成: r rGMm dt r d32

24、2-= (4.13由于太陽的質量是地球質量的 33萬倍,則 M m >>,所以 m 。則地球對太陽的 動力學方程為:223d r GMm m r dt r=-(4.14解法二: 在質心系來求地球對太陽的相對運動方程 . 在做等效單體處理后, 可 直接得出方程:r rGMm dt r d322-= (4.15由于 M m >>,所以m ,則地球對太陽的動力學方程為: 223 d r GMm m r dt r=-(4.16 由于質心的性質 , 使得質心參照系在解決質量懸殊的天體組成的兩體問題中具 有重要的地位 , 這是上述所討論的。 . 此外 , 在近似處理這類的兩體碰撞問

25、題時 , 質心系 仍發(fā)揮特殊的作用 , 是實驗室參考系系所不及的 . 下面從實例出發(fā)對質量懸殊的兩體 碰撞問題進行討論。例三, 一質量為 M 的大球與一質量為 m 的小球在水平方向發(fā)生完全彈性正碰 , 碰前 , 大球的速度為 v (相對于地 , 小球處于靜止狀態(tài) . 現(xiàn)分別在實驗室參考系和質 心系討論大球和小球的能量改變情況 11。 在實驗室參考系下討論大球能量的變化:設碰后大球的速度為 M v , 大球的速度改變量為 m v ,大球的能量改變量為k E 。則2211( 22k M M M E M v v Mv =+- 212M M M M v M v v =+ (4.17 在質心系參考下討論

26、大球能量的變化:在質心系來看大球幾乎是靜止的,而小球是以速度為 v 朝大球碰來的,設碰撞前大球的速度為 M v ,碰撞后大球的速度改變量 M v ,則大球的能量改變量為 K E '. 則2211( 22kM M M E M v v Mv '=+- 212KM M M E M v Mv v '=+ 212M M v = =0 (4.18上式(4.17中 M v 一般不為零且不一定是數值小,而式(4.18中的 0M v ,0M M v v =。在 K E 中,第一項與 K E '相同,為一高階小量,可以忽略。第二項 則由于 M 較大,一般不可以忽略。綜上幾道例題可以

27、看出:質量懸殊的兩體問題,在質心坐標系下,大質量物體 M 的動能改變量近似為零, 而在實驗室坐標系下, 盡管大質量物體的速度改變一小 量,但其動能的改變不可忽略。5 質心系的優(yōu)越性分析5.1 質心系及其特點在質心系中,質點組受到的合外力不管是否為零,對于質點組總存在如下 12:11220m r m r ''+=11220m v m v ''+= (5.1 表明在質心坐標系中,兩質點對質心的位矢方向總是相反,速度方向也總是相 反,動量也總是等值反向。通過上文的推導看出,質點組的能量守恒定律與實驗室坐標系具有相同的形式。但對于質心而言,不管其是否做慣性運動,力學規(guī)律

28、形式不變。而實驗室參考 系則不具有這一點, 由此可見質心是一特殊點, 質心參考系就是一個特殊參考系 13。 5.2質心系的優(yōu)越性質心系在處理力學問題上表現(xiàn)出的優(yōu)越性很多, 下面僅列出其在處理質量懸殊 的兩體問題時表現(xiàn)出的優(yōu)越性的幾個重要物理量 14質量懸殊的兩體問題相對于實驗室參考系下的運動微分方程為:11( m r f r ''=22( m r f r ''=-(5.2.1 上面兩式就是在實驗室參考系下求解兩體問題的基本方程, 而兩體系統(tǒng)對于該 慣性系的質心位置矢量為:112212( /( c R m r m r m m=+(5.2.2 由(5.2.1 、 (

29、5.2.2兩式得( r f r ''=(5.2.3其中 1212/( m m m m =+為折合質量, 12r r r =-是 1m 相對于 2m 的位置矢量。這就是 兩體問題的動力學方程。下面來求出兩質點的相對質心坐標系的動量表達式:質心是一個特殊點,不管它是否作慣性運動,在質心中的質點組相對于質心的 總動量恒等于零 15。由定義求出兩質點相對質心坐標系的動量表達式,則有:1122c p m r m r ''=+(5.2.4由于在質心坐標系中(5.2.2恒為零,兩邊再對時間求導得:11220m r m r ''+= 則 11220c p m r

30、 m r ''=+=(5.2.5所以兩質點對質心坐標系的動量恒為零。對于質量懸殊的兩體問題可作等效一體問題處理,處理后把一物體 2m 視為靜 止 , 而 把 另 一 物 體 1m 相 對 于 實 際 上 運 動 的 物 體 的 運 動 , 簡 化 成 質 量 為覃惠 質心系在近似處理中的特殊作用質量懸殊的兩體問題的近似處理 u = m1 m 2 ( m1 = m 2 的物體在靜止力心 m 2 的作用下運動。則兩物體相對質心坐標系 的動能表達式為： v2 v 2 Tc = ( m1 r1¢ + m 2 r2 ¢ / 2 = ( m1 m 2 / m1 + v2

31、 m 2 v / 2 = 1 2 mv v2 （5.2.6） 上式就是兩體系統(tǒng)相對坐標系的動能表達式。 總的來說，在近似處理質量懸殊的兩題問題時，質心系較實驗室坐標系特殊在 于在計算質量懸殊的兩體動能時，在質心系中可以被忽略的大質量物體的動能改 變，在實驗室坐標系中一般是不能忽略的。質心系較實驗室坐標系的另一特殊性在 于求質量懸殊的兩體相對運動方程時，在質心系中可以把兩體問題轉化為簡單的單 體問題來解答，而實驗室坐標系則不能。所以在解決質量懸殊的兩體問題時，采用 質心系來更為方便、簡捷。 6 結束語 一般來說，質心系是非慣性系，牛頓定律以及它的結論都不成立，由于質心系 的獨特性，使得許多力學規(guī)

32、律與慣性中的規(guī)律在形式上能夠保持一致，這給我們解 決問題帶來很多方便，實際上，質心系的優(yōu)越性不僅僅是我上面討論的那些，在研 究粒子的散射問題，微觀粒子的對碰問題等，質心系都起了很重要的作用，隨著人 們對質心系理解的不段加深，人們會對質心系的運用會更加靈活，質心系在科學研 究中也將發(fā)揮更大作用。 7 致謝 四年的學習生活即將結束，回首往事，自己一生最寶貴的時光能于這樣的校園 之中，能在眾多學富五車、才華橫溢的老師們的熏陶下度過，實是榮幸之極。在這 四年的時間里， 我在學習上和思想上都受益匪淺。 這除了自身努力外， 與各位老師、 同學和朋友的關心、支持和鼓勵是分不開的。 論文的寫作是枯燥艱辛而又富有挑戰(zhàn)的，然而在老師