圓中的動點問題

1、圓中的動態(tài)問題【方法點撥】圓中的動態(tài)問題實際是圓的分類討論問題，做這種題型重要的是如何將動點轉(zhuǎn)化為固定的點，從而將題型變?yōu)榉诸愑懻摗镜湫屠}】題型一：圓中的折疊問題例題一(2012江西南昌12分)已知，紙片O。的半徑為2,如圖1,沿弦AB折疊操作.(1) 折疊后的AB所在圓的圓心為0時，求0A的長度； 如圖2,當(dāng)折疊后的AB經(jīng)過圓心為0時，求AOB的長度； 如圖3,當(dāng)弦AB=2時，求圓心0到弦AB的距離；(2)在圖1中，再將紙片O0沿弦CD折疊操作.如圖4,當(dāng)AB/CD,折疊后的AB與CD所在圓外切于點P時，設(shè)點0到弦AB.CD的距離之和為d,求d的值；如圖5,當(dāng)AB與CD不平行，折疊后的AB

2、與CD所在圓外切于點P時，設(shè)點M為AB的中點，點N為CD的中點,31SC、圖5【答案】解(1)折疊后的AB所在圓0與O0是等圓，？?？0A=0A=2。當(dāng)AB經(jīng)過圓0時，折疊后的AB所在圓0在O0上，如圖2所示，連接0A.0A.0B,0B,00。?/A0B=/?00A,00B為等邊三角形,A00+/B00=60°+60°=120°。圖?A0B的長度120二2_4二180"3。如圖3所示，連接0A,0B,?/0A=0B=AB=2,?A0B為等邊三角過點0作0E±AB于點E,.0E=0A?sin60°二”3如圖4,當(dāng)折疊后的AB與CD所在圓

3、外切于點P時,過點0作EF，AB交AB于點H、交AEB于點E,交CD于點G、交CD于點F,即點E、H、P、0、G、F在直徑EF上。?/AB/CD,?EF垂直平分AB和CD。11根據(jù)垂徑定理及折疊，可知PH=_PE,PG=PFo22又？?？EF=4,.點0到AB.CD的距離之和d為：111d=PH+PG=PE+PF=(PE+PF)=2。222如圖5,當(dāng)AB與CD不平行時，四邊形是0MPN平行四邊形。證明如下設(shè)0',0為APB和CPD所在圓的圓心，?點0與點0關(guān)于AB對稱，點0于點0關(guān)于CD對稱,?點M為的00中點，點N為00的中點。?浙疊后的APB與CPD所在圓外切，?連心線00必過切點

4、P。?浙疊后的APB與CPD所在圓與O0是等圓,11?0P=0P=2,?PM=00=N,PN=00'0M,22?四邊形0MPN是平行四邊形?！究键c】翻折變換(折疊問題)相切兩圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，垂徑定理，弧長的計算，解直角三角形，三角形中位線定理?！痉治觥?1)折疊后的AB所在圓0與O0是等圓，可得0A的長度。如圖2,過點0作0E，AB交O0于點E,連接0A.0B.AE、BE,可得0AE、0BE為等邊三角形，從而得到A0B的圓心角，再根據(jù)弧長公式計算即可。如圖3,連接0A.0B,過點0'作0E±AB于點E,可得A0B為等邊三角形，根據(jù)三

5、角函數(shù)的知識可求折疊后求A0B所在圓的圓心0到弦AB的距離。(2)如圖4,AEB與CFD所在圓外切于點P時，過點0作EF，AB交AEB于于點E,交CFD于點F,根據(jù)垂徑定理及折疊，可求點0到AB.CD的距離之和。由三角形中位線定理，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得證。BDC變式一如圖是一圓形紙片，AB是直徑，BC是弦，將紙片沿弦BC折疊后，劣弧BC與AB交于點D,得到(1)若BD=CD求證:BDC必經(jīng)過圓心O(2)若AB=8,BD-2CD求BC的長.1變式二如圖，ABC內(nèi)接于OO,AD±BC,0E±BC(2),OE=2BC.求/BAC的度數(shù)；將公ACD沿AC折

6、疊為ACF,將公ABD沿AB折疊為ABG,延長FC和GB相交于點H;求證：四邊形AFHG是正方形；(3)若BD=6,CD=4,求AD的長.題型二：圓中的旋轉(zhuǎn)問題例題二(2011湖南常德，25.10分)已知ABC分別以AC和BC為直徑作半圓0"0,P是AB的中點。如圖8,若公ABC是等腰三角形，且AC=BC在AC、BC上分別取點E、F,使NAOiBOzF,則有結(jié)論POwFO2P.四邊形PO1CO2是菱形。請給出結(jié)論的證明;1)中的兩個結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明(2)如圖9,若(1)中公ABC是任意三角形，其它條件不變，則(3)如圖10,若PC是OOi的切線，求證：AB2工BC23

7、AC2A（1 ） T BC是0 02直徑，則02是BC的中點又 P是AB的中點.，1P 02是A ABC的中位線二 P 02 = 2 AC1又AC是O01直徑？P02=01C=2AC1同理P01=02C=2BC?/AC=BC?P02=01C=P01=02C?四邊形P°1C02是菱形(2)結(jié)論P01EAAP02F成立，結(jié)論不成立證明：在(1)中已證P02=2AC,又01E=2AC?P02=01E同理可得P01=02F?/P02>aABC的中位線?P02/ACP02B=ZACB同理 / P 01A=ZACB即 / P 01E =/ F 02 P、P02B= Z P 01A v/ A

8、01E = Z B02F E01PA A P02F;P 01A+Z A01E = ZP02BVB02F又PC是O01的切線，則/ ACP= 90（3）延長AC交O02于點D,連接BD.?/BC是002的直徑，則/D=90?/ACP=/D又/PAC=/BAD?APSABAD又P是AB的中點ACAP1AD一AB2?AC=CD2222?在RtABCD中，BC=CD+BD=AC2+BD222在RtAABD中，AB=ADBDAB2=4AC2BD2二AC2BD23AC2222?AB二BC3AC評析：要證一個四邊形是菱形，可證它的四條邊相等，也可證明它是有一組鄰邊相等的平行四邊形或?qū)蔷€互相垂直的平行四邊形

9、；要證兩三角形全等，可通過SSSSASASA或AAS來加以判斷；當(dāng)待證式中出現(xiàn)多個平方的形式時，應(yīng)首先考慮勾股定理及等量代換.變式一閱讀下列材料，然后解答問題。經(jīng)過正四邊形（即正方形）各頂點的圓叫作這個正四邊形的外接圓。圓心是正四邊形的對稱中心，這個正四邊形叫作這個圓的內(nèi)接正四邊形。如圖（十三），已知正四邊形ABCD的外接圓O0,00的面積為S1,正四邊形ABCD的面積為S2,以圓心0為頂點作/M0N使/M0N=90，將/M0N繞點0旋轉(zhuǎn)，0M、0N分別與O0相交于點E、F,分別與正四邊形ABCD的邊相交于點G、H。設(shè)0E、0F、EF及正四邊形ABCD的邊圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為S（

10、1）當(dāng)0M經(jīng)過點A時（如圖），貝US、S2之間的關(guān)系為：S=（用含S2的代數(shù)式表示）；(2) 當(dāng)0M，AB時(如圖)，點G為垂足，則(1)中的結(jié)論仍然成立嗎？請說明理由(3)當(dāng)ZMON旋轉(zhuǎn)到任意位置時(如圖，)則(1)中的結(jié)論仍然成立嗎？請說明理由【答案】解：(1)24(2)成立。理由：連OB,可證圖中的兩個陰影部分的面積之和等于圖的陰影部分的面積(3)成立。過點O分別作ABBC的垂線交ABBC于點PQ,交圓于點X、Y,可證直角三角形OPG全等于直角三角形OQH可說明兩陰影部分面積之和等于圖的陰影部分面積.變式二(2012?杭州)如圖，AE切O。于點E,AT交O。于點M,N,線段OE交AT于點

11、C,OB，AT于點B,已知ZEAT=30°AE=八3,MN=2V八?(1)求/COB的度數(shù)；(2)求0O的半徑R；用(3)點F在OO上一是劣弧)，且EF=5,把OBC經(jīng)過平移、/八、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點E,F重合.在EF的J7同一側(cè)，這樣的三角形共有多少個？你能在其中找出另一個頂點在OO上的三角形嗎？請在圖中畫出這個三角形，弁求出這個三角形與公OBC的周長之比.J考點：切線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂徑定理；平移的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；相-一一似三角形的判定與性質(zhì)。專題：計算題。分析：(1)由AE與圓O相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AE與CE垂直，又OB與A

12、T垂直，可得出兩直角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形AEC與三角形OBC相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得出所求的角與ZA相等，由ZA的度數(shù)即可求出所求角的度數(shù)；(2)在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出CE的長，再由OB垂直于MN,由垂徑定理得到B為MN的中點，根據(jù)MN的長求出MB的長，在直角三角形OBM中，由半徑OM=R,及MB的長，利用勾股定理表示出OB的長，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用銳角三角函數(shù)定義表示出OC,用OE-OC=EC列出關(guān)于R的方程，求出方程的解得到半徑R的值；

13、(3) 把公OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點E,F重合.在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有6個，如圖所示，每小圖2個，頂點在圓上的三角形，延長EO與圓交于點D,連接DF,由第二問求出半徑，的長直徑ED的長，根據(jù)ED為直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到三角形EFD為直角三角形，由ZFDE為300利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長，表示出三角形EFD的周長，再由第二問求出的三角形OBC的三邊表示出三角形BOC的周長，即可求出兩三角形的周長之比.解答：解：(1)?AE切OO于點E,?AE±CE,又OB±AT,?ZAEC=ZCBO=90°又ZBCO

14、=ZACE,?AECOBC,又ZA=30?ZCOB=ZA=30°(2)vAE=3二,ZA=30°?在RtAAEC中,tanA=tan30AE即EC=AEtan30°3,?/OB±MN,?B為MN的中點，又MN=2RMB=MN=",2連接OM,在'MOB中,OM=R,MB=",在公COB中,/BOC=30/cos/BOC=cos30°-一=J_,?BO='OC,2OC22L OC+EC=OM=R整理得：R+18R - 115=0,即(R+23)(R-5)=0,解得：R= - 23 （舍去）或R=5,則 R=5;

15、（3）在EF同一側(cè)， COB經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，這樣的三角形有 如圖，每小圖2個，頂點在圓上的三角形，如圖所示：6個,延長EO交圓O于點D,連接DF,如圖所示,?/EF=5,直徑ED=10,可得出/FDE=30?FD=5:,則Caefd=5+10+5'=15+5",由（2）可得04cob=3+W3,二Caefd:Cacob=（15+5逅）：（3+丘）=5:1.30°直角三角形的性質(zhì)，平移及點評：此題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，含旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵題型三：圓中的動點例題三（201

16、2江蘇南京10分）如圖，A、B為OO上的兩個定點，P是OO上的動點位不與人、B重合），我們稱/APB為OO上關(guān)于A、B的滑動角。（1）已知/APB是LO上關(guān)于點A、B的滑動角。若AB為OO的直徑，則/APB=若OO半徑為1,AB=.2,求/APB的度數(shù)（2）已知。2為L01外一點，以02為圓心作一個圓與L01相交于A、B兩點，/APB為LO1AN,試探索/ APB上關(guān)于點A、B的滑動角，直線PA、PB分別交L02于點M、N（點M與點A、點N與點B均不重合），連接與/MAN、/ANB之間的數(shù)量關(guān)系【答案】解:(1)90。如圖，連接AB、OA、OB.之間,如圖之間,如圖之間,如圖在公 AOB 中，

17、TOA=OB=1 . AB= 2 , ? OA2+OB2=AB2。?/ AOB=90當(dāng)點P在優(yōu)弧 AB上時(如圖1) , / APB= 1 / AOB=452當(dāng)點P在劣弧AB上時(如圖2),1/ APB= ( 360 / AOB) =1352(2)根據(jù)點P在O Oi上的位置分為以下四種情況.第一種情況：點 P在O O2夕卜，且點A在點P與點M之間，點B在點P與點?/ MAN = ZAPB+ / ANB ,?/ APB= / MAN-/ ANB。第二種情況：點 P在O。2外，且點A在點P與點M之間，點N在點P與點?/ MAN=?/ APB=第三種情況:?/ APB+ / APB+ / ANP=

18、/ APB+ ( 180 / ANB),/ MAN + / ANB 180°點 P在O 02外，且點M在點P與點A之間，點B在點P與點ANB+ / MAN=180?/ APB=180 / MAN / ANB。第四種情況：點 P在O02內(nèi)，如圖6,/ APB=/ MAN+ / ANB。圓周角定理，勾股定理逆定理，三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)。(1 根據(jù)直徑所對的圓周角等于90° 即可得 / APB=90 0oOAB上兩種情況討論即可。根據(jù)勾股定理的逆定理可得/AOB=90 ,再分點P在優(yōu)弧AB上；點P在劣弧(2)根據(jù)點P在OOi上的位置分為四種情況得到/APB與/MAN、/AN

19、B之間的數(shù)量關(guān)系。變式一如圖12-1所示，在ABC中，AB=AC=2，/A=90,O為BC的中點，動點E在BA邊上自由移動,動點F在AC邊上自由移動.(1)點E,F的移動過程中，AOEF是否能成為/EOF=45的等腰三角形？若能，請指出AOEF為等腰三角形時動點E,F的位置.若不能，請說明理由.(2)當(dāng)/ EOF =45 時，設(shè) BEx , CFy,求y與x之間的函數(shù)解析式，寫出 x的取值范圍.明你的結(jié)論.解：如圖,A1B(圖 12- 1)(1)點E,F移動的過程中，AOEF能成為.EOF=45的等腰三角形.此時點EF的位置分別是：,E是BA的中點，F(xiàn)與A重合.BE二CF=、.2.E與A重合，

20、F是AC的中點(2)在公OEB和公FOC中，NEOB+NFOC=135,AEOB+NOEB=135BEBO?FOC二OEB.又T?B=C,OEBFOC.?COCFTBE二x,CF=y,OB=OC=1-23,當(dāng)點P運動到CPLAB時，求/ BCD的度數(shù).2212,?八-(1<x<2).2x(3)EF與LO相切.？?OEBFOC,二匹二匹.？匹二匹.即COOFBOOFBEBOOE又TNB=NEOF=45,?BEOOEF.?NBEO=NOEF.?點O到AB和EF的距離相等.TAB與LO相切，？?點O到EF的距離等于LO的半徑.二EF與LIO相切.1變式1如圖，在O過0上位于直徑AB的異側(cè)

21、有定點C和動點P,AC=2AB,點P在半圓弧AB上運動(不與AB兩點重PB的垂線一點如防便遭線CD交PB于D點.合)，=1不求證：PCDAABC一、如圖一，一，一.圖(1)P運動到什么位置時，PCDAABC?請在圖2中國出PCD弁說明理由；【課后練習(xí)】1、（2012?湘潭）如圖，在OO上位于直徑AB的異側(cè)有定點C和動點P,AC=AB,點P在半圓弧AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作直線PB的垂線CD交PB于D點.P圖1圖2(1)如圖1,求證：PCDABC;PCD弁說明理由;（2）當(dāng)點P運動到什么位置時，PCDABC?請在圖2中畫出如圖3,當(dāng)點P運動到CP±AB時，求/BCD的度

22、數(shù).考點：圓周角定理；全等三角形的性質(zhì)；垂徑定理；相似三角形的判定。專題：幾何綜合題。分析：（1）由AB是OO的直徑，根據(jù)直徑對的圓周角是直角，即可得/ACB=90°又由PD±CD，可得/D=/ACB,又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得/A=/P,根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，即可判定：PCDABC;（2）由公PCDABC,可知當(dāng)PC=AB時，PCDABC,利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；（3）由/ACB=90AC=AB,可求得/ABC的度數(shù)，然后利用相似，即可得/PCD的度數(shù)，又由垂徑定理，求得：=-1，然后利用圓周角定理求得/ACP的度數(shù)，繼而求得答案.解答：（1）證明：TAB是OO的直徑，？?/ACB=90°?/PD±CD,?/D=90°D=/ACB,?/A與/P是對的圓周角，A=/P,.APCDsAABC;(2)解：