圓錐曲線題型總結(jié)

1、直線和圓錐曲線?？碱}型運(yùn)用的知識:1、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：Xx2,yY/2,其中x,y是點(diǎn)A(Xi,y)B(x2,y2)的中點(diǎn)坐標(biāo)。222、弦長公式：若點(diǎn)A(xi,yi),B(X2,y2)在直線ykxb(k0)上,則yikxib,y2kx2b,這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，AB«xx2)2(%y2)2J(xx2)2(4kx?)2"(1k2)(x%)2,(1k2)(xix2)2422或者AB,(xi x2)2 (yi y2)2dxii 2 kx2)(yi y2)2.(i1k，2)(yiy2)2(iJ)(yi一 2y2 )4 yi y2。3、兩條直線l,：ykixbi

2、,l2:yk2xb2垂直：則k1k2i兩條直線垂直，則直線所在的向量v,?v20，一一，.一.、一12,一、,一*_bc4、韋達(dá)te理：右一兀二次萬程axbxc0(a0)有兩個(gè)不同的根xl,則x,x2-,x,x2一。aa常見的一些題型：題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動弦過定點(diǎn)的問題題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題題型五：共線向量問題題型六：面積問題題型七：弦或弦長為定值問題題型八：角度問題問題九：四點(diǎn)共線問題問題十：范圍問題(本質(zhì)是函數(shù)問題)問題十一、存在性問題：(存在點(diǎn)，存在直線y=kx+m,存在實(shí)數(shù)，存在圖形：三角形(等比、等腰、直角)，四

3、邊形(矩形、菱形、正方形)，圓)題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系22例題1、已知直線l:ykx1與橢圓C:匚1始終有交點(diǎn)，求m的取值范圍2_1過動點(diǎn)(0, Jm),且m 4 ,如 m4mx2解：根據(jù)直線l:ykx1的方程可知，直線恒過定點(diǎn)(0,1),橢圓C：一422_果直線l:ykx1和橢圓C:1始終有交點(diǎn)，則Vmi,且m4,即1mHm4。4m規(guī)律提示：通過直線的代數(shù)形式，可以看出直線的特點(diǎn):kx 1過定點(diǎn)(0,1)k(x 1)過定點(diǎn)(1, 0)2 k(x1) 過定點(diǎn)(1, 2)題型二：弦的垂直平分線問題例題2、過點(diǎn)T(-1,0)作直線l與曲線N : y2x交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上

4、是否存在一點(diǎn) E(x0,0),使得 ABE是等邊三角形，若存在，求出x0;若不存在，請說明理由。解：依題意知,直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線k(x1),k0,A(x,y1,B(X2,y2)。k(x1),也,消y整理，得k2x2(2k21)xk20由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得(2k21)24k44k2由韋達(dá)定理，得：x1x22k21,2，x1x2k1。則線段AB的中點(diǎn)為(2k2112k2,2k)°L2k2111一,則 E(1 ,0)22k2 2線段的垂直平分線方程為:_211,12k、人/口y一(x2)令y=0,得x2kk2k21QABE為正三角形，E(2k21-、一，一,0)到直線

5、AB2的距離d為乎|AB。QAB；(x22x?)(y1v2,1k22k.3.14k22k2g1k2J1k22k解得k.39滿足式此時(shí)x0132y2 1(a b b20)的離心率為 ，且在24,j題型三：動弦過定點(diǎn)的問題2x例題3、已知橢圓C:一a上的頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0)。(I)求橢圓的方程；(II)若直線l:xt(t2)與x軸交于點(diǎn)點(diǎn)P為直線l上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論解：(I)由已知橢圓C的離心率eca2a2,則得cJ3,b1。從而橢圓的方程為4(II)設(shè)M(不，%),N(x2,y2),直

6、線AM的斜率為ki,則直線AM的方程為ki(x2),ki(x4y22)消y4整理得222(i4ki)x16k2xi6kiQ2和xi是方程的兩個(gè)根，i4kiXi8ki22，14ki4kiyi214ki228k24k,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(21,M14ki214ki24kl同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2,則得點(diǎn)N，8k；24k2、的坐標(biāo)為(2,2)14k；14k2Qypki(t2),ypk2(t2)kik2kik22，、土2,Q直線MN的方程為:tyyixxiy2yix2xix2yi為丫2,將點(diǎn)M、yiy2的坐標(biāo)代入，化簡后得：x又Qt2,4-2Q橢圓的焦點(diǎn)為t(.3,0)44.3，3,即tt3MN過橢

7、圓的焦點(diǎn)。題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題例題4、已知點(diǎn)A、B、C是橢圓E:uuuruuur過橢圓白中心。，且ACgBC02xauurBC2y_b2(ab0)上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A(2j3,0)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線BCuuurAC,如圖。(I)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；(II)若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q,使得直線PC與直線QC關(guān)于直線J3對稱，求直線PQ的斜率。解：(I),且BC過橢圓的中心OuuurOCuuuruuuruuurACQACgBC0QA(273,0)是橢圓的右頂點(diǎn),ACO又QA(273,0)2a2石，則橢圓方程為：占八、C的坐標(biāo)為(再拘。B得:(II)Q直線PC與直線QC關(guān)于直線0

8、2x12b2將點(diǎn)C(J3,J3)代入方程，得b224,橢圓E的方程為人12設(shè)直線PC的斜率為k,則直線QC的斜率為k,從而直線y氏k(x73),即ykxV3(ik),由ykx<3(ix23y2i2PC的方程為:k)消y,整理0J3是方程的一個(gè)根,(13k2)x26、,3k(1k)x9k218k30Qx2xpg39k218k32一即xP13k229k18k3日同理可得：xQ,3(13k2)29k218k3,3(13k2)QyPyQkxP>/3(1k)kxQ73(1k)=k(xPxQ)23k12k,3(13k2)229k18k39k18k3_36kyPyQ1xPxQ3(13k2)-3(

9、13k2)3(13k2)kPQxPxQ3八一，、一1則直線PQ的斜率為定值-。3題型五：共線向量問題22例題5、設(shè)過點(diǎn)D(0,3)的直線交曲線M:士L94uuuuuu1于P、Q兩點(diǎn)，且DP=lDQ，求實(shí)數(shù)l的取值范圍。uuuuuir解：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),QDP=lDQ(x1,y1-3)=l(x2,y2-3)即?x1=lx2?y=3+l(y2-3)判別式法、韋達(dá)定理法、配湊法ykx3,j口設(shè)直線PQ的方程為：ykx3,k0,由y,消y整理后，得4x29y236(49k2)x254kx450QP、Q是曲線M上的兩點(diǎn)2(54k)445(4_229k)=144k800一_2即9k由

10、韋達(dá)定理得:x254k2邛249k24549k2x2)2x1x2x1x2&x12254k45(49k2)(1)2即二65(1)29k249k249k2，1由得019k1一,代入，整理得53615(1)2解之得當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即x0時(shí)，易知總之實(shí)數(shù)l的取值范圍是1,55題型六：面積問題2x例題6、已知橢圓C:9a2yb2一、一，,6,1(a>b>0)的離心率為一6,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為,3。3(I)求橢圓C的方程;(n)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為求AOB面積的最大值。解：(I)設(shè)橢圓的半焦距為c5依題意a尋b1,a.3,2一,、

11、一X2所求橢圓方程為一y1。3(n)設(shè)A(。y3B(x2,丫2)。(1)當(dāng)AB'x軸時(shí),AB(2)當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為ykxm。由已知4(k21)。把ykxm代入橢圓方程,整理得(3k21)x26kmx3m26kmXiX2-23k123(m21)o23k21AB2(1k)(x2Xi)2(1k2)36k2m2(3k21)2212(m21)3k2112(k21)(3k21m2)(3k21)23(k21)(9k2I22(3k1)1)12k29k46k21129k2J/12(k0尸323664。當(dāng)且僅當(dāng)9k21-2,即kk2史時(shí)等號成立。當(dāng)k0時(shí),3AB|V3,綜上所述AB

12、max2。1當(dāng)AB|最大時(shí)，ZXAOB面積取最大值S-題型七：弦或弦長為定值問題例題7、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C(0,p)作直線與拋物線x2=2py(p>0)相交于A、B兩點(diǎn)。ANB面積的最小值;(n)是否存在垂直于y軸的直線1,使得l若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。(I)依題意,(I)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，求4被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值？點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0,-p),可設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得2py消去kxp.0,、_O_1_y得x?-2pkx-2P2=0.由韋達(dá)te理得x1+x2=

13、2pk,x1X2=-2p2.于是SabnSbcnSacn一2Pxix22=px1乂2pv(x1x2)24x2=p，4p2k28p22p%k22.當(dāng)k0時(shí)，(Sabn)min22p2.(n)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點(diǎn)為O,t與AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P、Q,PQ的中點(diǎn)為H,則OHPQ,O點(diǎn)的坐標(biāo)為(，y12P)10Pl2aci2x2(yip)=ppyp20Hay1-p12ayiP,|PH|20P2|0H2=1(yi2p2)1(2ayip)22244PQ2(2PH)2=4(a手及令a-p0,得ap,此時(shí)PQ在，其方程為yP,2即拋物線的通徑所在的直線.a(Pa).p為定值，

14、故滿足條件的直線解法2：(I)前同解法1,再由弦長公式得AB71k2|xi刈由k2J(x1x2)24xix2<1k2J4p2k28p2=2p1k2、k22.又由點(diǎn)到直線的距離公式得2p.1k2從而，SABN1d|AB-2pJ'1k2Jk22產(chǎn)2p2Jk22,22.1k2當(dāng)k0時(shí)，(SABN)max2%;2p2.(n)假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a,則以AC為直徑的圓的方程為(x0)(xx1)(yp)(yy-)0,將直線方程y=a代入得2xxx(ap)(ay1)0,則=x；4(ap)(a%)4(a9y1a(pa).設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P(x2,y2),Q(x

15、4,y4),則有f1PQ|x3x444(a熱a(pa)2、(a扣a(pa).令a艮0,得aE,此時(shí)PQp為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y-p.222即拋物線的通徑所在的直線。P滿足：PM PN| 6. (I)求點(diǎn)P的題型八：角度問題例題8、(如圖(21)圖，M(-2,0)和N(2,0)是平面上的兩點(diǎn)，動點(diǎn)(n)若PMPN1cosMPN求點(diǎn)P的坐標(biāo).軌跡方程;解：(I)由橢圓的定義，點(diǎn)P的軌跡是以MN為焦點(diǎn)，長軸長2a=6的橢圓.因此半焦距c=2,長半軸a=3,從而短半軸22b=Ja2c2J5所以橢圓的方程為1.95(n)由PMgPN2cosMPN，得PMgPNcosMPNPMgPN2

16、.因?yàn)閏osMPN1,P不為橢圓長軸頂點(diǎn)，故P、MN構(gòu)成三角形.在PM曲，|MN4,由余弦定理有222MNPM|PN|2PMgPNcosMPN.一222將代入，得4PM|PN2(PMgPN2).2故我P在以MN為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2，3的雙曲線y21上.3由(I)知，點(diǎn)P的坐標(biāo)又滿足_22由方程組5x9y45,x23y23.解得xy3.3r_5.2即P點(diǎn)坐標(biāo)為(迪，亞卜(晅叵八晅嶼或晅色).22222222問題九：四點(diǎn)共線問題22例題9、設(shè)橢圓C:441(ab0)過點(diǎn)M(72,1),且著焦點(diǎn)為F1(J2,0)ab(i)求橢圓C的方程；uuruur(n)當(dāng)過點(diǎn)P(4,1)的動直線l與橢圓C相交與兩不

17、同點(diǎn)A,B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足APgQBuuiruuuAQgPB證明：點(diǎn)Q總在某定直線上解(1)由題意：c2221.一22一一、一x2y21，解得a24,b22,所求橢圓方程為一上-1ab42222cab(2)方法一設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為(x,y),(為，y1),(x2,y?)。0且1由題設(shè)知uuruuuAP,PBiUUUuuu,AQ,QB均不為零，記uuuAPuuuPBuurAQuuup，則QB4uuu uuruuuPB, AQQBuur又A,P,B,Q四點(diǎn)共線，從而APXiX2yiy2J4,1XiX2yiy2xy11從而2X12 2X2"2-4x, L L (1)22

18、 2yy2又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即2_2-X1 2y14,L L (3)2_2X2 2y24,L L (1) + (2) X 2并結(jié)合(3),(4)得4s2y 4即點(diǎn)Q(x,y)總在定直線2xy20上方法uuuuuu設(shè)點(diǎn) Q(x, y), A(X1, y1), B(x2, y?),由題設(shè),uuur uuuPA , PB , AQ , QB均不為零。uur PA uuur AQuurr PB uuu QB又P, A,Q,B四點(diǎn)共線，可設(shè)uuuPAuuuruuuAQ,PBuuirBQ(0, 1)，于4X114X21X一，y2£111(1)(2)由于 A(X1,y1), B(X2, y2)

19、在橢圓C上，將1),分別代入C的方程x2 2y2 4,整理得,22(X 2y4)4(2x2)14 0(3)/ 22(X 2y4)4(2x2)14 0(4)(4)(3)8(2xy 2)0,：2x即點(diǎn)Q(x,y)總在定直線2xy20上問題十：范圍問題(本質(zhì)是函數(shù)問題)設(shè)F1、F2分別是橢圓y21的左、右焦點(diǎn)。(l)若P是該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，求PF1-PF2的最大值和最小值;(n)設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B,且/AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的斜率k的取值范圍。解：(I)解法一：易知2,b1,c,3所以Fi73,0,F273,0，設(shè)Px,y，則uuuuuur_

20、PF1PF2、,3x,、3x,yx2y23x211233x284因?yàn)閤2,2,故當(dāng)0,即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),uuurPF1uuinPF2有最小值2uuir當(dāng)x2,即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，PF1uiuuiPF2有最大值1解法二：易知a2,b1,cJ3,所以F1.3,0下2,3,0，設(shè)Px,y,則uuuuuurPF1PF2uurPF1uuuuPF2cosF1PF2uuurPF1uuuuPF2uuur2PFiuuur2PF2unruuur2F1F2mr2PFiPF2x3y2123(以下同解法一)(D)顯然直線0不滿足題設(shè)條件,可設(shè)直線i：ykx2,A為佻，Bx2,y?,聯(lián)立y2x4kx消去整理得:

21、k22x4kx3xix24k,21k-4,xix24k2-4k230得:又00A0B900cosA0B0uuuOAuuuOBuuuOAuuuOBx1x2%丫202kx2k2x1x22kx1x23k2,21k4k2k24k2k20,即k24故由、得2k史或堂k222問題十一、存在性問題:（矩形、菱形、正方形）（存在點(diǎn)，存在直線y=kx+m,存在實(shí)數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角）,圓）2x設(shè)橢圓E：-2a（a,b>0）過M（2,拒），N（76,1）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),（I）求橢圓E的方程;（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓uuuuuuE恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且OAOB?若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍,若不存在說明理由。解：（1）因?yàn)闄E圓E:2x2a2yb2(a,b>0)過M(2,N(J6,1)兩點(diǎn),4所以a26a2b1b1解得1-2a1b218所以142ab22橢圓E的方程為8(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)UUUA,B,且OAuurOB，設(shè)該圓的切線方程為ykxm解方程組kx2y4m得x212222(kxm)8，即(12k)x,c24kmx2m0,則=16