創(chuàng)知路解析幾何滿分攻略

1、精品面積問題（弦長）特征： 題目中出現(xiàn)面積/ 弦長方法： S1 底 高 ，底弦長公式，高點到直線的距離公式。2公式： AB(1k 2 ) x1x2(1k 2 )( x2x1) 24x2 x1 例： 已知橢圓 x2y21 ，斜率為 k 的直線 l 交橢圓于 A ， B 兩點，若原點O 到直線 l 的距3離為3AOB 面積的最大值。，求2感謝下載載精品23例： 已知橢圓 xy21 ，直線 l 交橢圓于 A ， B 兩點，若原點O 到直線 l 的距離為，32求 AOB 面積的最大值。解析：應該首先考慮斜率不存在的時候。感謝下載載精品垂直（夾角）問題特征： OAOB / RT方法：（ 1 ） OAOB

2、OA OB0 （ 2）夾角為銳角 / 鈍角數(shù)量積為正 / 負。（ 3 ）以 AB 為直徑的圓經(jīng)過點OOAOB0注意： 排除共線情況例： 已知橢圓 x2y21 ，直線 l 過點（ 1 ，0 ）且與橢圓交于A ，B 兩點，問是否存在這樣43的直線 l ，使得以AB 為直徑的圓經(jīng)過橢圓的左頂點D ？感謝下載載精品例： 直線 y3(x1) 與 y4x2 交于 A， B 兩點， C 是拋物線準線上的動點，（ 1 ） ABC 能否為正三角形？（ 2 ）若 ABC 為鈍角三角形，求點 C 的縱坐標的取值范圍。弦中點問題（點差法）感謝下載載精品特征： OAOB / RT方法： 點差法優(yōu)勢： 設而不求缺點： 假

3、設有交點，默認了0 ，必須聯(lián)立，驗證x2y21(ab 0)與直線 l 交于 A ，B 兩點，弦 AB 的中點為 C x0, y0例：已知橢圓 a 2b2，求直線 l 的方程。2答案： y y0b2 x0 ( xx0 )a y0例： 已知橢圓 x2y214 3（ 1 ）求斜率為 2 的平行弦中點的軌跡方程；（ 2 ）過點 A （ 2， 1）的直線 l 與橢圓相交，求被 l 截得的弦中點的軌跡方程；（ 3 ）過點 P 1 , 1 且被 P 點平分的弦所在的直線方程。2 2感謝下載載精品感謝下載載精品定點定值問題思想：題目怎么說，我就怎么做（從要證明的結論出發(fā)，一步一步反演到最初的已知條件）要點：（

4、 1 ）存在性（ 2 ）對稱性： 橢圓關于 x 軸， y 軸對稱，所以定點多半落在x 軸或者 y軸上。3在橢圓x2y2kAEkAF例： 已知點 A 1,41 上， E， F 是橢圓上兩個定點，且23證明： kEF 為定值。答案： 設直線 AE ： y3k( x1) ，聯(lián)立方程2得： (3 4k2 )x24k(3 2k) x 4( 3k )212 024( 3k)2123xE22， yEk( xE1)34k24( 3k )2123同理： xF2， yFk (xF34k 21)2kEFyEyF1xExF2例： 已知橢圓x2y21(a2，且過定點M (1,2C:2b2b 0) 的離心率為)a22（1

5、 ）求橢圓 C 的方程；（2 ）已知直線 l： y kx1 (kR) 與橢圓 C 交于 A ，B 兩點，試問在y 軸上是否存在定3點 P，使得以弦AB 為直徑的圓恒過P 點？若存在， 求出 P 點的坐標； 若不存在， 說明理由。感謝下載載精品向量問題1. 向量加減法：坐標運算列等式2. 向量數(shù)乘：ABBC, BDCD（一般來說更方便）方法：（ 1）向 x/y軸作投影（ 2 ）利用向量相等例： 已知 F 是橢圓 x2y21(a b 0) 的左焦點， A 是橢圓短軸上的一個頂點，橢圓的離a 2b21心率為，點 B 在 x 軸上， ABAF ，A，B，F(xiàn) 三點確定的圓C 恰好與直線x3y302相切，

6、（1 ）求橢圓的方程；（ 2）是否存在過F 且斜率為 k(k0) 的直線 l 與橢圓交于M ，N 兩點，P 為 MN 中點，射線OP 交橢圓于Q ，且 OMONOQ ?感謝下載載精品感謝下載載精品思考： 若把 OMONOQ 改為四邊形NOMQ 為平行四邊形，該如何解決？（一樣的）22例：已知直線 l ：xmy 1與橢圓 xy1 交于 A ，B 兩點，若 l 交 y 軸于 M 點，交 x 軸43于 F，且 MA1AF ， MB2 BF ，求證：12 為定值。解： 設 A(x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， F (1,0)，M(0,1 )mMA1AF ，MB2 BFx11 (1 x

7、1 ) ， x22 (1 x2 )(x1x2 ) 2x1x2812x2 ) x1x231 (x1感謝下載載精品對稱問題（其實是垂直平分線問題）1. 垂直平分線的求法： （ 1 ）斜率乘積為-1（ 2 ）中點在垂直平分線上不需要條件就能求l 的中垂線2. 對稱問題的變形221例： 在平面直角坐標系 xoy 中，已知橢圓xy1(ab 0) ，長軸長為a2b24，離心率為2（1）求橢圓的標準方程；（2）若點 E(0,1) ，問是否存在這樣的直線l 與橢圓交于M，N，且 MENE ?如果有，求直線 l 的斜率 k 的取值范圍。感謝下載載精品思考： 若把 MENE 改為 MN 在圓 E 上或者改為EMN

8、 是以 MN 為底邊的等腰三角形，該如何解決？（一樣的）解析的本質1. 六類問題：面積（弦長） ，垂直（夾角） ，定點定值，中點弦，向量，對稱2. 本質：函數(shù)（一般來說 k 為驅動項，其他的隨著它的變化而變化）感謝下載載精品2例： 已知橢圓 xy2，斜率為 k 的直線 l 交橢圓于 A ， B 兩點，若原點O 到直線 l 的距13離為3AOB 面積的最大值。，求2感謝下載載精品x2y23例：設橢圓 a2b 2 1( a> b >0) 的左焦點為 F，離心率為3，過點 F 且與 x 軸垂直的直線被43橢圓截得的線段長為.3(1) 求橢圓的方程；(2) 設 A， B 分別為橢圓的左、右

9、頂點，過點F 且斜率為 k 的直線與橢圓交于C， D 兩點，若AC ·DB AD ·CB 8，求 k 的值c 3【解】 (1) 設 F( c,0) ，由，知 a3 c.a 3過點 F 且與 x 軸垂直的直線為x c，代入橢圓方程有c 2y 2 1 ，解得 y ±6ba2b 2，32 6 b43b2.又a2 2 b2a3 ， 1，所以橢圓的方程為x2于是，得，從而33cc3y2 1.2(2) 設點C(x1 ， y1) ， D(x2 ， y 2)，由 F( 1,0) 得直線CD 的方程為y k (x 1) ，由方程組y k x 1 ，x2y2消去 y ，整理得 (2

10、3k 2 )x2 6 k2 x 3k 2 6 0. 1326 k 23 k2 6由根與系數(shù)的關系可得x1 x22 3 k2 ，x 1x22 3 k2.因為A( 3，0)， (3，0)，B 所以 AC·DB AD ·CB( x1 3 ，y1 )·(3 x2 ，y 2) (x2 3 ，y 2)·(3 x1， y1 ) 6 2x1x2 2 y 1y2 6 2 x1 x 22 k2 (x 11)( x2 1) 6 (2 2k 2 )x1 x22 k2 (x1x 2) 2 k2感謝下載載精品2k 2122k 2 12 62 3 k2 .由已知得6 2 3 k2 8

11、 ，解得 k± 2.韋達定理的理解（搭建橋梁的工具）x1 x2by1y2?ay1 y2?cx1x2x1x2?a感謝下載載精品22例 1 ：已知橢圓 xy1 ，直線 l 過右焦點 F，與橢圓交于A ， B 兩點，若 l 交 y 軸于 M43點，若 MA1AF ， MB2BF ，求 12 的值。解： 設 A(x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， F (1,0) ， M ( 0, 1 )mMA1AF ，MB2 BFx11 (1 x1 ) ， x22 (1 x2 )(x1x2 ) 2x1x28（韋達定理）1231 (x1 x2 ) x1x2例 2 ：仍為上題直線，若CA CB0

12、 ，點 C（ -2,0 ），求直線方程。解析綜合1. 方程與未知數(shù)匹配求值方程感謝下載載精品求 1 個未知數(shù)的值需要 1 個方程求 2 個未知數(shù)的值需要 2 個方程取值范圍不等式求 1 個未知數(shù)的取值范圍需要1 個不等式有兩個未知數(shù)，要求1 個未知數(shù)的取值范圍需要1 個不等式 + 一個方程（消元）x2y23例：設橢圓 a2 b 2 1( a> b >0) 的左焦點為F，離心率為3，過點 F 且與 x 軸垂直的直線被43橢圓截得的線段長為.3(1) 求橢圓的方程；(2) 設 A， B 分別為橢圓的左、右頂點，過點F 且斜率為 k 的直線與橢圓交于C， D 兩點，若AC ·D

13、B AD ·CB 8，求 k 的值c 3【解】 (1) 設 F( c,0) ，由，知 a3 c.a 3c 2y 26b過點 F 且與 x 軸垂直的直線為x c，代入橢圓方程有a2b 2 1 ，解得 y ±3，26 b432.又 a2 c2 b2 ，從而 a3 ，c 1，所以橢圓的方程為x2于是33，得 b 3y2 1.2(2) 設點(1，1) ，(2 ，y2)，由F( 1,0) 得直線CD的方程為y( 1) ，由方程組C xyD xk xy k x 1 ，x2y2消去 y ，整理得 (2 3k 2 )x2 6 k2 x 3k 2 6 0. 1326 k 23 k2 6由根與

14、系數(shù)的關系可得x1 x22 3 k2 ，x 1x22 3 k2.感謝下載載精品因為 A ( 3， 0) ，B(3，0)， x1 ，y1· x2 ，y 2x2 ，y 2· x1， y1所以 AC· AD· 3)3)DBCB() ( 3() ( 3 6 2x1x2 2 y 1y2 6 2 x1 x 22 k2 (x 11)( x2 1) 6 (2 2k 2 )x1 x22 k2 (x1x 2) 2 k22k 212.由已知得6 2k 2 12 8 ，解得 k± 2. 62 3 k22 3 k2例： 求上題中 S COD 的最大值 .例：已知橢圓x2y2 1( a> b >0)的離心率為22)，直線a2b 2，且過點(2,2l ： y kx m (k0) 與橢圓交于不同的兩點A，B。（1 ）求