二次曲線的漸近方向中心漸近線

1、整理ppt15.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線二次曲線的漸近方向、中心、漸近線1. 二次曲線的漸近方向二次曲線的漸近方向我們在我們在5.1 中看到二次曲線中看到二次曲線0222),(33231322212211ayaxayaxyaxayxF00 xxXtyyYt和具有方向和具有方向 的直線的直線YX :（1）（2）210020000(,)2(,)(,)(,)0,X YtF xyXFxyY tF xy的交點參數(shù)滿足的交點參數(shù)滿足整理ppt2或者直線全部在二次曲線上，成為二次曲線的組成部分或者直線全部在二次曲線上，成為二次曲線的組成部分.當(dāng)滿足條件當(dāng)滿足條件02),(22212211YaXY

2、aXaYX（3）210020000(,)2(,)(,)(,)0,X YtF xyXFxyY tF xy時，交點數(shù)目會有三種情況時，交點數(shù)目會有三種情況或者只有一個實交點，或者只有一個實交點， 或者沒有交點，或者沒有交點，這說明這說明, 直線方向會影響其與曲線的交點直線方向會影響其與曲線的交點. 方向方向(3)具具有特殊性有特殊性. 我們將我們將(3)所示的方向定義為二次曲線的漸所示的方向定義為二次曲線的漸近方向近方向.我是我是特殊方向特殊方向整理ppt3定義定義 5.2.1 滿足條件滿足條件 的方向的方向 叫做二次曲線（叫做二次曲線（1）的漸近方向，否則叫做）的漸近方向，否則叫做非漸近方向非漸

3、近方向. 0),(YXYX :02),(22212211YaXYaXaYX（3） 因為二次曲線（因為二次曲線（1）的二次項系數(shù)不能全為零，）的二次項系數(shù)不能全為零，所以漸近方向所以漸近方向 所滿足的（所滿足的（3）總有確定的解）總有確定的解.YX :下面考慮下面考慮(3)存在漸近方向的個數(shù)問題存在漸近方向的個數(shù)問題.如果如果 ，那么把（，那么把（3）改寫成）改寫成011a022212211aYXaYXa整理ppt4得得1121211221121212aIaaaaaaYX如果如果 ，把（，把（3）改寫成）改寫成022a021112222aXYaXYa02),(22212211YaXYaXaYX（

4、3）022212211aYXaYXa如果如果 ，那么把（，那么把（3）改寫成）改寫成011a2221222221121212aIaaaaaaXY得得111221222aaIaa整理ppt50212XYa所以所以1:00:1:或YX這時這時00021212122aaaI02),(22212211YaXYaXaYX（3）02211aa 如果如果 012a那么一定有那么一定有這時（這時（3）變?yōu)椋┳優(yōu)榭偨Y(jié)以上討論的各種情況總結(jié)以上討論的各種情況, 漸近方向的數(shù)目漸近方向的數(shù)目?最多兩個最多兩個! (從比值的角度看從比值的角度看)111221222aaIaa整理ppt602),(22212211YaX

5、YaXaYX（3）如果如果 ，漸近方向滿足，漸近方向滿足011a1121211221121212aIaaaaaaYX如果如果 ，漸近方向滿足，漸近方向滿足022a2221222221121212aIaaaaaaXY11220,aa 如果如果 漸近方向滿足漸近方向滿足1:00:1:或YX這說明漸近方向的數(shù)目最多兩個這說明漸近方向的數(shù)目最多兩個! (從比值的角度看從比值的角度看)有虛方向嗎有虛方向嗎?區(qū)分一下虛實方向區(qū)分一下虛實方向.整理ppt702),(22212211YaXYaXaYX（3）如果如果 ，漸近方向滿足，漸近方向滿足011a1121211221121212aIaaaaaaYX如果如

6、果 ，漸近方向滿足，漸近方向滿足022a2221222221121212aIaaaaaaXY11220,aa 如果如果 漸近方向滿足漸近方向滿足1:00:1:或YX從上我們看到，從上我們看到，02I當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時，時，二次曲線的漸近方向是一對共軛的虛方向；二次曲線的漸近方向是一對共軛的虛方向；111221222aaIaa整理ppt802),(22212211YaXYaXaYX（3）如果如果 ，漸近方向滿足，漸近方向滿足011a1121211221121212aIaaaaaaYX如果如果 ，漸近方向滿足，漸近方向滿足022a2221222221121212aIaaaaaaXY11220,a

7、a 如果如果 漸近方向滿足漸近方向滿足1:00:1:或YX111221222aaIaa從上我們看到，從上我們看到，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時，時，02I二次曲線有一個實漸近方向；二次曲線有一個實漸近方向；整理ppt902),(22212211YaXYaXaYX（3）如果如果 ，漸近方向滿足，漸近方向滿足011a1121211221121212aIaaaaaaYX如果如果 ，漸近方向滿足，漸近方向滿足022a2221222221121212aIaaaaaaXY11220,aa 如果如果 漸近方向滿足漸近方向滿足1:00:1:或YX111221222aaIaa從上我們看到，從上我們看到，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)

8、 時，時，02I二次曲線有兩個實漸近方向二次曲線有兩個實漸近方向.整理ppt10因此二次曲線的漸近方向最多有兩個因此二次曲線的漸近方向最多有兩個.總結(jié)總結(jié):02I當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時，時，二次曲線的漸近方向是一對共軛的虛方向；二次曲線的漸近方向是一對共軛的虛方向；111221222aaIaa當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時，時，02I二次曲線有一個實漸近方向；二次曲線有一個實漸近方向；當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時，時，02I二次曲線有兩個實漸近方向二次曲線有兩個實漸近方向.顯然二次曲線的非漸近方向有無數(shù)多顯然二次曲線的非漸近方向有無數(shù)多.因此因此,可以利用漸近方向?qū)⒍吻€分類可以利用漸近方向?qū)⒍吻€分類整理p

9、pt11定義定義 5.2.2 沒有實漸近方向的二次曲線叫做沒有實漸近方向的二次曲線叫做橢圓型的，有一個實漸近方向的二次曲線叫做拋物橢圓型的，有一個實漸近方向的二次曲線叫做拋物型的，有兩個實漸近方向的二次曲線叫做雙曲線型型的，有兩個實漸近方向的二次曲線叫做雙曲線型的。的。 因此二次曲線（因此二次曲線（1）按其漸近方向可以分為三）按其漸近方向可以分為三種類型，即種類型，即1) 橢圓型曲線：橢圓型曲線： ；02I2) 拋物型曲線：拋物型曲線： ；02I3) 雙曲型曲線：雙曲型曲線： .02I例例1 求下列二次曲線的漸近方向求下列二次曲線的漸近方向,并指出曲線屬于何并指出曲線屬于何種類型種類型.(1)

10、2242210 xxyyxy (2)2234xy整理ppt12解解: (1)漸近方向滿足漸近方向滿足2242210 xxyyxy 02),(22212211YaXYaXaYX即即:2240XXYY2()410XXYY 解得解得:23XY 有兩個實漸近方向有兩個實漸近方向. 是雙曲型曲線是雙曲型曲線.也可以由也可以由111221222aaIaa123021 得到是雙曲型曲線得到是雙曲型曲線.整理ppt132234xy解解: (1)漸近方向滿足漸近方向滿足02),(22212211YaXYaXaYX即即:2230XY23()10XY 解得解得:3XiY 有兩個虛漸近方向有兩個虛漸近方向. 是橢圓型

11、曲線是橢圓型曲線.也可以由也可以由111221222aaIaa303001得到是橢圓型曲線得到是橢圓型曲線.整理ppt14p193. 1.現(xiàn)在請大家做課堂練習(xí)現(xiàn)在請大家做課堂練習(xí)整理ppt152. 二次曲線的中心與漸近線二次曲線的中心與漸近線 我們在我們在5.1 中又看到，當(dāng)直線的方向中又看到，當(dāng)直線的方向 為二次曲線（為二次曲線（1）的非漸近方向時，即當(dāng)）的非漸近方向時，即當(dāng)YX :02),(22212211YaXYaXaYX時，直線與二次曲線總交于兩個點（兩個不同實的，時，直線與二次曲線總交于兩個點（兩個不同實的，兩重合實的或一對共軛虛的）兩重合實的或一對共軛虛的）.00 xxXtyyYt

12、210020000(,)2(,)(,)(,)0,X YtF xyXFxyY tF xy我們把由這兩點決定的線段我們把由這兩點決定的線段叫做二次曲線的弦叫做二次曲線的弦.AB線段線段AB是是弦弦整理ppt16定義定義 5.2.3 如果點如果點 是二次曲線的通過它的是二次曲線的通過它的所有弦的中點（因而所有弦的中點（因而 是二次曲線的對稱中心）是二次曲線的對稱中心）,那那么點么點 叫做二次曲線的中心。叫做二次曲線的中心。CCCC我們這些我們這些弦弦都被都被C平分平分稱稱C為中心為中心根據(jù)這個定義，根據(jù)這個定義，),(00yx當(dāng)點當(dāng)點 為二次曲線（為二次曲線（1）的中心時，）的中心時，),(00yx

13、YX :那么過那么過 以任意非漸近方向以任意非漸近方向為方向為方向 的直線的直線00 xxXtyyYt與二次曲線交于兩點與二次曲線交于兩點21,MM整理ppt17點點 就是弦就是弦 的中點的中點.),(00yx21MMC(x0,y0)M1M2),(00yxYX :那么過那么過 以任意非漸近方向以任意非漸近方向為方向為方向 的直線的直線00 xxXtyyYt與二次曲線交于兩點與二次曲線交于兩點21,MM設(shè)交點設(shè)交點M1與與M2對應(yīng)的參數(shù)分對應(yīng)的參數(shù)分別為別為t1, t2.則有則有121200,22xxyyxy注意注意101101xxXtyyYt202202xxXtyyYt(a)所以所以(a)意味

14、著意味著021tt整理ppt180),(),(),( 2),(000020012yxFtyxYFyxXFtYX由前面所得由前面所得021tt而另一方面而另一方面, 直線直線00 xxXtyyYt與二次曲線的交點與二次曲線的交點21,MM對應(yīng)的參數(shù)對應(yīng)的參數(shù), 可以由下列方程解得可以由下列方程解得從韋達(dá)定理得從韋達(dá)定理得0),(),(002001yxYFyxXF（4）因為因為 為任意非漸近方向，所以（為任意非漸近方向，所以（4）式是關(guān)于）式是關(guān)于 的恒等式，從而有的恒等式，從而有YX :YX，整理ppt190),(),(002001yxYFyxXF（4）0),(, 0),(002001yxFyx

15、F 反過來，適合上面兩式的點反過來，適合上面兩式的點 ，顯然是二，顯然是二次曲線的中心次曲線的中心.),(00yx這樣我們就得到了下面的定理：這樣我們就得到了下面的定理：定理定理 5.2.1 點點 是二次曲線的中心，是二次曲線的中心，其充要條件是其充要條件是),(00yxC0),(0),(2302201200213012011001ayaxayxFayaxayxF（5）整理ppt20 所以，二次曲線的中心坐標(biāo)由下列方程組決定所以，二次曲線的中心坐標(biāo)由下列方程組決定0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF（5）0222),(33231322212211ayax

16、ayaxyaxayxF解解:例例1 求曲線求曲線的中心的中心.223246370 xxyyxy二次曲線的中心坐標(biāo)由下列方程組決定二次曲線的中心坐標(biāo)由下列方程組決定1( , )330,F x yxy23( , )402F x yxy解得解得:2715,2222xy 整理ppt21二次曲線的中心坐標(biāo)由下列方程組決定二次曲線的中心坐標(biāo)由下列方程組決定0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF（5）0222),(33231322212211ayaxayaxyaxayxF推論推論 坐標(biāo)原點是二次曲線的中心，其充要坐標(biāo)原點是二次曲線的中心，其充要條件是曲線方程里不含條件是

17、曲線方程里不含 與與 的一次項。的一次項。xy由上面的方程容易得到推論由上面的方程容易得到推論例如例如22261xy(0, 0)為中心為中心.整理ppt22練習(xí)：練習(xí)：p193. 3.p193. 3.作業(yè)：作業(yè)： P194. 4.P194. 4.整理ppt23定義定義 5.2.2 沒有實漸近方向的二次曲線叫做橢圓型的沒有實漸近方向的二次曲線叫做橢圓型的，有一個實漸近方向的二次曲線叫做拋物型的，有一個實漸近方向的二次曲線叫做拋物型的，有兩個實漸近方向的二次曲線叫做雙曲線型的。有兩個實漸近方向的二次曲線叫做雙曲線型的。 因此二次曲線（因此二次曲線（1）按其漸近方向可以分為三）按其漸近方向可以分為三

18、種類型，即種類型，即1) 橢圓型曲線：橢圓型曲線： ；02I2) 拋物型曲線：拋物型曲線： ；02I3) 雙曲型曲線：雙曲型曲線： .02I復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)0222),(33231322212211ayaxayaxyaxayxF整理ppt24二次曲線的中心坐標(biāo)由下列方程組決定二次曲線的中心坐標(biāo)由下列方程組決定0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF（5）下面將利用中心把二次曲面分類下面將利用中心把二次曲面分類.0222),(33231322212211ayaxayaxyaxayxF整理ppt25下面將利用中心把二次曲面分類下面將利用中心把二次曲面分類.先考慮中心最

19、多有多少先考慮中心最多有多少?由于二次曲線的中心坐標(biāo)由下列方程組決定由于二次曲線的中心坐標(biāo)由下列方程組決定0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF（5）1112212220,aaIaa如果系數(shù)行列式如果系數(shù)行列式那么那么(5)有唯一的解有唯一的解.此時此時,二次曲線有唯一的中心二次曲線有唯一的中心.如果系數(shù)行列式如果系數(shù)行列式1112212220,aaIaa即即 ，22121211aaaa整理ppt26231322121211aaaaaa二次曲線沒有中心；二次曲線沒有中心；而當(dāng)而當(dāng) 時，時，231322121211aaaaaa那么當(dāng)那么當(dāng)0),(0),(23

20、221221312111ayaxayxFayaxayxF如果系數(shù)行列式如果系數(shù)行列式1112212220,aaIaa即即 ，22121211aaaa時，時，（5）（5）無解，）無解，（5）有無數(shù)多解）有無數(shù)多解, 換句話說換句話說,直線直線0131211ayaxa（或（或 0232212ayaxa）上的所有點都是二次曲線的中心，上的所有點都是二次曲線的中心，整理ppt27這時這條直線叫做中心直線這時這條直線叫做中心直線.定義定義 5.2.4有唯一中心的二次曲線叫做中心二次曲線，有唯一中心的二次曲線叫做中心二次曲線，沒有中心的二次曲線叫做無心二次曲線，沒有中心的二次曲線叫做無心二次曲線，有一條中

21、心直線的二次曲線叫做線心二次曲線，有一條中心直線的二次曲線叫做線心二次曲線，無心二次曲線與線心二次曲線統(tǒng)稱為非中心二次曲線無心二次曲線與線心二次曲線統(tǒng)稱為非中心二次曲線.例例2橢圓橢圓22221xyab拋物線拋物線22ypx一對平行直線一對平行直線22ya整理ppt28 根據(jù)這個定義，我們得二次曲線按其中心得分類：根據(jù)這個定義，我們得二次曲線按其中心得分類：; 0221212112aaaaI0221212112aaaaI1） 中心曲線：中心曲線：2） 非中心曲線：非中心曲線： ，22121211aaaa0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxFo1 無心曲線：

22、無心曲線： ，231322121211aaaaaao2 線心曲線：線心曲線： 。231322121211aaaaaa即即整理ppt29由前面關(guān)于曲線按漸近方向的分類由前面關(guān)于曲線按漸近方向的分類二次曲線按其漸近方向可以分為三種類型，即二次曲線按其漸近方向可以分為三種類型，即1) 橢圓型曲線：橢圓型曲線： ；3) 雙曲型曲線：雙曲型曲線： .2) 拋物型曲線：拋物型曲線： ；02I02I02I因此因此橢圓型橢圓型曲線與曲線與雙曲型雙曲型曲線都是曲線都是中心曲線中心曲線.拋物型拋物型曲線是曲線是非非中心曲線，中心曲線，它包括它包括無心無心曲線與曲線與線心線心曲線曲線.整理ppt30定義定義 5.2

23、.5 通過二次曲線的中心，而且以漸通過二次曲線的中心，而且以漸近方向為方向的直線叫做這二次曲線的漸近線近方向為方向的直線叫做這二次曲線的漸近線.而拋物型曲線而拋物型曲線二次曲線的漸近線二次曲線的漸近線顯然，顯然， 橢圓型曲線只有橢圓型曲線只有 兩條虛漸近線而無實漸近線兩條虛漸近線而無實漸近線 ，雙曲型曲線有兩條實漸近線，雙曲型曲線有兩條實漸近線，中的無心曲線卻無漸近線，中的無心曲線卻無漸近線，至于線心曲線它有一條實漸近線，就是它的中心直線至于線心曲線它有一條實漸近線，就是它的中心直線.整理ppt31定理定理 5.2.2 二次曲線的漸近線與這二次曲二次曲線的漸近線與這二次曲線或者沒有交點，或者整條直線在這二次曲線上，線或者沒有交點，或者整條直線在這二次曲線上，成為二次曲線的組成部分。成為二次曲線的組成部分。漸近線與二次曲線的位置關(guān)系漸近線與二次曲線的位置關(guān)系證證設(shè)直線設(shè)直線00 xxXtyyYt是二次曲線的漸近線是二次曲線的漸近線.0222),(33231322212211ayaxayaxyaxayxF),(00yx這里這里 為二次曲線的中心，為二次曲線的中心，漸近方向漸近方向.那么我們有那么我們有YX :為二次曲