特殊行列式及行列式計算方法總結

1、特殊行列式及行列式計算方法總結一、 幾類特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、對角行列式（教材P7例5、例6）2. 以副對角線為標準的行列式3. 分塊行列式（教材P14例10）一般化結果： 4. 范德蒙行列式（教材P18例12）注：4種特殊行列式的結果需牢記！ 以下幾種行列式的特殊解法必須熟練掌握！二、 低階行列式計算 二階、三階行列式對角線法則 （教材P2、P3）三、 高階行列式的計算【五種解題方法】1) 利用行列式定義直接計算特殊行列式；2) 利用行列式的性質將高階行列式化成已知結果的特殊行列式；3) 利用行列式的行（列）擴展定理以及行列式的性質，將行列式降階進行計算適用于行列式的某一行或

2、某一列中有很多零元素，并且非零元素的代數(shù)余子式很容易計算；4) 遞推法或數(shù)學歸納法；5) 升階法（又稱加邊法）【常見的化簡行列式的方法】1. 利用行列式定義直接計算特殊行列式例1 （2001年考研題）分析：該行列式的特點是每行每列只有一個元素，因此很容易聯(lián)想到直接利用行列式定義進行計算。解法一：定義法解法二：行列式性質法利用行列式性質2把最后一行依次與第n-1,n-2,2,1行交換（這里n=2001），即進行2000次換行以后，變成副對角行列式。解法三：分塊法利用分塊行列式的結果可以得到解法四：降階定理展開按照每一行分別逐次展開，此處不再詳細計算。2. 利用行列式的性質將高階行列式化成已知結果

3、的特殊行列式例2分析：該行列式的特點是1很多，可以通過和來將行列式中的很多1化成0.解：例3 ，分析：該類行列式特點是每行的次數(shù)遞減，的次數(shù)增加。特點與范德蒙行列式相似，因此可以利用行列式的性質將D化成范德蒙行列式。解：練習：（11-12年 IT專業(yè)期末考試題）若實數(shù)各不相等，則矩陣的行列式_3. 利用行列式的行（列）擴展定理以及行列式的性質，將行列式降階進行計算例4分析：該行列式特點是處于主對角線，在后的一個位置，最后一行中是第一個元素，是最后一個元素。解：按第一列展開：練習：（11-12年期中考試題）4. 行（列）和相等的行列式例5分析：該行列式的特點是主對角線上元素為，其余位置上都是。可

4、將第2,3，n列加到第1列上。（類似題型：教材P12例8，P27 8(2)）解：5. 箭頭形（爪行）行列式例6分析：該類行列式特點是第一行、第一列及主對角上元素不為0，其余位置都為0.解此類行列式方法，是將行列式化成上三角行列式。解：分別從第2,3,n列提出因子2,3，n，然后將第2,3,n列分別乘以-1，再加到第1列上。注：爪形行列式非常重要，很多看似復雜的行列式通過簡單變化以后都可以化成爪形行列式進行計算！練習：1) 教材習題P28: 8(6)2) （11-12年期末考試題）3) （11-12年IT期末考試題）例7分析：該類行列式特點是每一行只有主對角線上的元素與第一個元素不同。解：6.

5、遞推法或數(shù)學歸納法該方法用于行列式結構具有一定的對稱性，教材P15例11就是遞推法的經(jīng)典例題。利用同樣的方法可以計算教材P27 8(4)。7. 升階法通常計算行列式都采用降階的方法，是行列式從高階降到低階，但是對于某些行列式，可以通過加上一行或一列使得行列式變成特殊行列式，再進行計算。例8 （教材P28 8(6)）, 分析：該題有很多解法，這里重點介紹升階法。因為行列式中有很多1，因此可以增加一行1，使得行列式變成比較特殊或者好處理的行列式。注意：行列式是方形的，因此在增加一行以后還要增加一列，以保持行列式的形狀。為了使行列式的值不改變，因此增加的列為1,0,0,0.例9 （教材P27 6(4)）分析：此行列式可以應用性質6將行列式化為上三角行列式，