第五章_單自由度系統(tǒng)的振動

1、補充補充1.1 1.1 研究對象研究對象- -機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)輸入（激勵）:力、力矩、位移等輸出（響應(yīng)）：位移、速度、加速度系統(tǒng)特性：參數(shù)模型：固有頻率、慣量、質(zhì)量、剛度、 阻尼比、極點、留數(shù)、模態(tài)振型等非參數(shù)模型：脈沖響應(yīng)函數(shù)(IRF)、 頻率響應(yīng)函數(shù)(FRF)補充補充1.2 1.2 內(nèi)容內(nèi)容-三大課題三大課題 響應(yīng)予估正問題（監(jiān)測與評價） 已知載荷和結(jié)構(gòu)參數(shù)求結(jié)構(gòu)的響應(yīng)、研究結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性。 研究方法研究方法：模態(tài)分析法、機械阻抗分析法、有限元法等 參辨識或系統(tǒng)辨識第一類逆問題（識別與修改） 已知載荷和結(jié)構(gòu)響應(yīng)求結(jié)構(gòu)參數(shù)和數(shù)學模型。 研究方法研究方法：參數(shù)辨識和系統(tǒng)辨識的各種方法 機械系統(tǒng)

2、動力學問題：模態(tài)參數(shù)辨識方法。 模態(tài)參數(shù)模態(tài)質(zhì)量模態(tài)剛度模態(tài)阻尼模態(tài)振型結(jié)構(gòu)物理參數(shù)質(zhì)量剛度阻尼載荷辨識第二類逆問題（再現(xiàn)和控制）已知結(jié)構(gòu)參數(shù)和響應(yīng)求載荷。研究方法：研究方法：通常先進行第一類逆問題的計算，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)，才能進行載荷識別。內(nèi)容內(nèi)容-三大課題三大課題補充補充2 2 振動基礎(chǔ)知識振動基礎(chǔ)知識 什么是振動？ 振動的分類 振動的表示方法 簡諧振動的基本性質(zhì) 動力學模型 一種特殊形式的運動（質(zhì)點，圍繞其平衡位置作往復(fù)運動）機械振動是物體在一定位置附近所作的周期性往復(fù)的運動。機械振動系統(tǒng)，就是指圍繞其靜平衡位置作來回往復(fù)運動的機械系統(tǒng)，單擺就是一種簡單的機械振動系統(tǒng)。振動系統(tǒng)三要素： 慣性

3、保持動能的特性,能使系統(tǒng)當前運動持續(xù)下去.彈性儲存勢能的特性,能使系統(tǒng)位置恢復(fù)到平衡狀態(tài).阻尼耗散能量的特性,能使系統(tǒng)能量消耗掉.這三個基本要素通常分別由物理參數(shù)質(zhì)量M、剛度K和阻尼C表征。振動的特點：能用力學基本原理解釋的邏輯學科，數(shù)學概念完全與物理現(xiàn)象相協(xié)調(diào)；物理現(xiàn)象是可以體驗和測量得到的補充補充2.12.1 什么是振動什么是振動補充補充2.2 2.2 振動的分類振動的分類 按產(chǎn)生的原因原因分 自由振動自由振動系統(tǒng)僅受到初始條件(初始位移、初始速度)的激勵而引起的振動,初始干擾或外激勵取消后開始振動. 強迫振動強迫振動持續(xù)的外作用力激勵下的振動. 自激振動自激振動系統(tǒng)內(nèi)部激發(fā)及反饋相互作用

4、下，而 產(chǎn)生穩(wěn)定的周期振動（無周期外力作用） 自由振動問題雖然比強迫振動問題單純,但自由振動反映了系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的所有信息，是研究強迫振動的基礎(chǔ)線性 滿足疊加定理疊加定理 11()()ftx t22()()ftx t112 21 12 2()()()()C ft C ft Cx t C x t+=+按結(jié)構(gòu)參數(shù)結(jié)構(gòu)參數(shù)的特性分 l 線性：常系數(shù)線性微分方程 系統(tǒng)內(nèi)彈簧恢復(fù)力、阻尼力和慣性力分別與振動位移、速度、加速度成正比l 非線性：非線性微分方程 自由度自由度全面地描述系統(tǒng)運動所需獨立坐標的最小數(shù)目。 按系統(tǒng)自由度數(shù)自由度數(shù)分： 單度多度無限多常微偏微分 位移函數(shù) 按運動規(guī)律運動規(guī)律 簡諧周期瞬

5、態(tài) 只在一定時期內(nèi)存在隨機 非確定函數(shù)（概率統(tǒng)計法） 按振動的位移特性位移特性分為：直線縱坐標橫坐標 圓弧線 （角振動）補充補充2.3 2.3 振動的表示方法振動的表示方法 函數(shù)表示表示振動的某些物理量（位移、速度、加速度）隨時間t變化的規(guī)律。圖象表示以時間為橫橫坐標，以振動物理量為縱坐標周期振動表示 x = x(t + nT) n=1,2. T 周期 (秒/s) f =1/T 頻率（赫茲/Hz） ( )xx t2.3.2 2.3.2 簡諧振動的表示方法簡諧振動的表示方法 是正弦式或余弦函數(shù)最基本的振動形式，最簡單的周期振動，所以，是研究其它振動的基礎(chǔ)。 : : 角（圓）頻率角（圓）頻率 A

6、A: : 振幅振幅tt: : 相位相位更一般：更一般： x =A cost 或 y =A sin t 補充補充2.3 2.3 振動的表示方法振動的表示方法2sin2sinsinttt2T21Tff2周期/秒頻率/赫茲tAysin初相 平面上旋轉(zhuǎn)向量與沿時間軸展開的諧波函數(shù)之間存在嚴格的對應(yīng)關(guān)系 速度超前位移/2相位，加速度超前位移相位。 加速度大小與位移成正比，方向與位移相反， 始終指向平衡位置v(t)= Acos (t+)= Asin(t+/2)x(t)=Asin(t+) a(t)= -A2sin (t+)= A2sin (t+)補充補充2.3 2.3 振動的表示方法振動的表示方法AbaZ2

7、2tZargtAaZcosRe旋轉(zhuǎn)位置可用復(fù)向量來表示可用事先預(yù)定的復(fù)數(shù)的虛部或?qū)嵅縼肀硎竞喼C振動補充補充2.3 2.3 振動的表示方法振動的表示方法AabReImZOtZ = a + j btAbZsinImtjAetjtAZ)sin(cos用復(fù)數(shù)的虛部表示振動則等價于tAxsin補充補充2.3 2.3 振動的表示方法振動的表示方法簡諧振動位移、速度、加速度的復(fù)數(shù)表示簡諧振動位移、速度、加速度的復(fù)數(shù)表示: :ImIm)( :tjXeXtx位移ImImIm)( :tjtjVeXejXtx速度ImImIm)( :2tjtjAeXeXtx 加速度jtjeXXXeX其中初始的復(fù)向量補充補充2.3 2

8、.3 振動的表示方法振動的表示方法因此因此, ,當當t = 0時時, , 復(fù)矢量的初值復(fù)矢量的初值: :jeXX )2()2(jjjeVeXeXjXjV)()(222jjjeAeXeXXAXAVImRe位移、速度、加速度的幅值的大小和相位的關(guān)系。位移、速度、加速度的幅值的大小和相位的關(guān)系。XVXVA2求導(dǎo)乘 j幅值在復(fù)平面上將復(fù)數(shù)矢量逆時針旋轉(zhuǎn) ，即相位增加 ，幅值增大倍。22（除以（除以j則相反）則相反）相位等價于等價于補充補充2.4 2.4 簡諧振動的基本性質(zhì)簡諧振動的基本性質(zhì) 兩個相同方向、相同頻率的簡諧振動合成兩個相同方向、相同頻率的簡諧振動合成2cos1cos2sin1sinarct

9、an2121AAAAA=( A1 cos 1+ A2 cos 2)2+( A1sin 1+ A2sin 2)21/2 x1(t) = A1cos(t+ 1) ；x2(t) = A2cos(t+ 2) ；其中，其中，1. 1. 分振動分振動 : : 2. 2. 合振動合振動 : :x(t)=x1(t)+ x2(t)= A1cos(t+ 1) + A2cos(t+ 2)=(A1cos 1+ A2cos 2) cost- (A1sin 1+ A2sin 2) sintAcos Asin x(t)= Acos cost- Asin sint=Acos(t+ )合振動合振動 x 仍是簡諧振動仍是簡諧振動

10、, ,且保持同樣的振動頻率。且保持同樣的振動頻率。結(jié)論：結(jié)論：討論討論: (1)若兩分振動同相若兩分振動同相,即即 2 1= 2k (k=0,1,2,)(2)若兩分振動反相若兩分振動反相,即即 2 1= (2k+1) (k=0,1,2,)當當 A1=A2 時時, A=0則則 A=A1+A2 , 兩分振動相互加強，兩分振動相互加強，則則A=|A1-A2|, 兩分振動相互減弱，兩分振動相互減弱，旋轉(zhuǎn)矢量法處理諧振動的合成旋轉(zhuǎn)矢量法處理諧振動的合成當當 A1=A2 時時 , A=2A111 A2 A2Ax2x1x21xxxO1221xxx) cos(tA)cos(212212221AAAAA2211

11、2211coscossinsintanAAAA例例 1 1補充補充2.4 2.4 簡諧振動的基本性質(zhì)簡諧振動的基本性質(zhì)；) 5 . 110sin(5)( 1ttx；)25 . 110sin(3)(2ttx)(2)( 1)(txtxtx同方向同頻率同相振動合成同方向同頻率同相振動合成0246810-5050246810-3030246810-808x1 x2 x 0246810-5050246810-3030246810-808x1 x2 x 0246810-5050246810-3030246810-808x1 x2 x 例例 2 2補充補充2.4 2.4 簡諧振動的基本性質(zhì)簡諧振動的基本性質(zhì)

12、；) 5 . 110sin(5)( 1ttx；)5 . 110sin(3)(2ttx)(2)( 1)(txtxtx同方向同頻率反相振動合成同方向同頻率反相振動合成0246810-5050246810-5-30350246810-5-2025x1 x2 x 0246810-5050246810-5-30350246810-5-2025x1 x2 x 0246810-5050246810-5-30350246810-5-2025x1 x2 x 補充補充2.4 2.4 簡諧振動的基本性質(zhì)簡諧振動的基本性質(zhì) 同方向、不同頻率的簡諧振動合成同方向、不同頻率的簡諧振動合成互質(zhì)，、，nmnm21，則2122

13、:nmx1(t)=A1sin(1t+1) ；即 mT1=nT2=T為公共周期。 x (t+T)=x1(t+T)+x2(t+T)= x1(t+mT1)+x2(t+nT2)= x1(t)+ x2(t)= x(t) ，x (t)= x1(t)+ x2(t)合成振動不再是簡諧振動，合成振動不再是簡諧振動，頻率比為有理數(shù)時，合成為周期振動，頻率比為有理數(shù)時，合成為周期振動，頻率比為無理數(shù)時，合成為非周期振動。頻率比為無理數(shù)時，合成為非周期振動。x2(t)=A2sin(2t+2) ； 分振動分振動 : :即頻率比為有理數(shù)。假設(shè)：頻率比 合振動合振動 : :當頻率比為無理數(shù)時，合振動沒有公共的周期T。結(jié)論：

14、結(jié)論：合振動周期為 T=mT1=nT2補充補充2.4 2.4 簡諧振動的基本性質(zhì)簡諧振動的基本性質(zhì)討論討論:t11 A2 At2Ax2x1x21xxxO21t )(12合振動振幅的頻率為合振動振幅的頻率為:12122vvv當當 時時, 2 )(12kt當當 時，時， ) 12( )(12kt21AAAA 有最大值有最大值21AAAA有最小值有最小值0246810-505x10246810-505x20246810-10010 x3例例 3 3補充補充2.4 2.4 簡諧振動的基本性質(zhì)簡諧振動的基本性質(zhì)為有理數(shù)，8 . 010821不同頻率簡諧振動合成，頻率比為有理數(shù)不同頻率簡諧振動合成，頻率比

15、為有理數(shù)；) 5 . 18sin(5)( 1ttx；) 1 . 210sin(3)(2ttx；)(2)( 1)( 3txtxtx0246810-505x10246810-505x20246810-10010 x30246810-505x10246810-505x20246810-10010 x3例例 4 4X3(t)= X1(t)+ X1(2)；補充補充2.4 2.4 簡諧振動的基本性質(zhì)簡諧振動的基本性質(zhì)為無理數(shù)，5 . 010221；) 5 . 12sin(5)( 1ttX；) 1 . 210sin(3)(2ttX0246810-505x10246810-505x20246810-10010

16、 x3不同頻率簡諧振動合成，頻率比為無理數(shù)不同頻率簡諧振動合成，頻率比為無理數(shù)0246810-505x10246810-505x20246810-10010 x30246810-505x10246810-505x20246810-10010 x3補充補充2.4 2.4 簡諧振動的基本性質(zhì)簡諧振動的基本性質(zhì)討論討論:振幅相同不同頻率的簡諧振動的合成振幅相同不同頻率的簡諧振動的合成tAtAxxx2121coscostAx11costAx22cos)2cos()2cos(21212ttA 2. 2. 合振動合振動 : :1. 1. 分振動分振動 : :當當 2 1 時時 , 2 - - 1 2 +

17、+ 1 ，令，令其其中，中，)2cos(2)(12tAtA)2cos(cos12tt隨隨 t 緩變緩變隨隨 t 快變快變ttAxcos)(合振動合振動 x 可看作是振幅緩變的簡諧振動?？煽醋魇钦穹徸兊暮喼C振動。結(jié)論：結(jié)論：單位時間內(nèi)單位時間內(nèi)合振動振幅強弱變化的次數(shù)，即合振動振幅強弱變化的次數(shù)，即 12122)(vv/v3. 3. 拍的現(xiàn)象拍的現(xiàn)象 x1tOx2tOxtO補充補充2.4 2.4 簡諧振動的基本性質(zhì)簡諧振動的基本性質(zhì)拍頻拍頻 :A(t)cos( tttAxcos)(補充補充2.5 2.5 機械振動系統(tǒng)的動力學模型機械振動系統(tǒng)的動力學模型1.1.機械振動系統(tǒng)的基本元素機械振動系統(tǒng)

18、的基本元素 慣性保持動能的特性, ,能使系統(tǒng)當前運動持續(xù)下去，用質(zhì)量M表示。彈性儲存勢能的特性,能使系統(tǒng)位置恢復(fù)到平衡狀態(tài)，用剛度K表示。阻尼耗散能量的特性,能使系統(tǒng)能量消耗掉，用阻尼C表示。2.2.動力學模型動力學模型 按復(fù)雜程度和簡化方法分為：按復(fù)雜程度和簡化方法分為： 集中參數(shù)模型:用常微分用常微分方程表示方程表示用偏微分用偏微分方程表示方程表示由慣性元件、彈性元件和阻尼元件組成。有限個離散單元組成，每個單元內(nèi)部連續(xù)。質(zhì)量和剛度均勻分布或按簡單規(guī)律分布。有限模型：連續(xù)彈性體模型： ，用牛頓定律，用牛頓定律可建立系統(tǒng)的運動方可建立系統(tǒng)的運動方程如下：程如下：5.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單

19、自由度系統(tǒng)的自由振動1、理論分析、理論分析 如圖，是單自由度線性振動系統(tǒng)的模型，其中如圖，是單自由度線性振動系統(tǒng)的模型，其中m是振動是振動物體的質(zhì)量，物體的質(zhì)量，k是彈簧剛度，是彈簧剛度，c是阻尼器的阻尼系數(shù)，是阻尼器的阻尼系數(shù)，F(xiàn)（t）是外加激振力，是外加激振力， 是在重力作用下彈簧的靜變形，是在重力作用下彈簧的靜變形，x是從靜是從靜力平衡位置力平衡位置O-O量起的位移。根據(jù)質(zhì)量量起的位移。根據(jù)質(zhì)量m的受力圖，注意到的受力圖，注意到一、無阻尼自由振動一、無阻尼自由振動st)(tFkxxcxm mgkst 能用線性微分方程能用線性微分方程來描述的振動系統(tǒng)即來描述的振動系統(tǒng)即稱為稱為線性振動系統(tǒng)

20、線性振動系統(tǒng)。5.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動一、無阻尼自由振動一、無阻尼自由振動 當不存在外加激振力，且不考慮阻尼時，上式可簡化為當不存在外加激振力，且不考慮阻尼時，上式可簡化為無阻尼自由振動方程無阻尼自由振動方程0kxxm 這是振動的最簡單情況。令這是振動的最簡單情況。令mk則無阻尼自由振動方程可改寫為則無阻尼自由振動方程可改寫為0 xx 為正實數(shù)，根據(jù)微分方程的理論，這一齊次線性微分為正實數(shù)，根據(jù)微分方程的理論，這一齊次線性微分方程的解具有如下形式：方程的解具有如下形式：tAtAxnnsincos21式中式中mkn稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的圓頻率圓頻率，單位為，單位為rad

21、/s。稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的頻率頻率，單位為，單位為Hz（赫茲）。（赫茲）。 和和f的單位雖不的單位雖不同，但他們只和系統(tǒng)的固有參數(shù)有關(guān)，因此也均稱為系統(tǒng)同，但他們只和系統(tǒng)的固有參數(shù)有關(guān)，因此也均稱為系統(tǒng)的的固有頻率固有頻率。 振動的周期振動的周期T為為mkfn2121nnfT121單位為單位為s。齊次線性微分方程的解還可表示為。齊次線性微分方程的解還可表示為)sin(tAxn式中：式中：A稱為稱為振幅振幅； 稱為稱為初相位初相位，單位為，單位為rad。無阻尼自由振動是一個以固有頻率為頻率的無阻尼自由振動是一個以固有頻率為頻率的簡諧振動簡諧振動。設(shè)初始時刻設(shè)初始時刻t=0時的位移為時的位移為x0

22、、速度為、速度為v0，則可得，則可得00020020arctan)/(xxvxA2、工程實例、工程實例 機器或結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件受一靜負荷后要產(chǎn)生變形，其內(nèi)機器或結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件受一靜負荷后要產(chǎn)生變形，其內(nèi)部要產(chǎn)生應(yīng)力，分別稱為靜變形和靜應(yīng)力。而當受沖擊或部要產(chǎn)生應(yīng)力，分別稱為靜變形和靜應(yīng)力。而當受沖擊或產(chǎn)生振動時，構(gòu)件要產(chǎn)生動變形和動應(yīng)力。產(chǎn)生振動時，構(gòu)件要產(chǎn)生動變形和動應(yīng)力。例題例題 在一般的質(zhì)量在一般的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)中，都認為彈簧是一個沒有質(zhì)彈簧系統(tǒng)中，都認為彈簧是一個沒有質(zhì)量的彈性體。如果要計算的精確一些，也應(yīng)計入彈簧的質(zhì)量的彈性體。如果要計算的精確一些，也應(yīng)計入彈簧的質(zhì)量（如圖）。在彈簧坐標為

23、量（如圖）。在彈簧坐標為x處取一微元長度處取一微元長度dx，則此微元，則此微元長度的動能為長度的動能為dxxqdE221式中式中q為彈簧單位長度的質(zhì)量。彈簧上端的為彈簧單位長度的質(zhì)量。彈簧上端的速度即為質(zhì)量塊的速度速度即為質(zhì)量塊的速度 ，彈簧下端的速，彈簧下端的速度為零，可以認為彈簧沿高度方向的速度度為零，可以認為彈簧沿高度方向的速度呈線性分布，即呈線性分布，即XLxx 彈簧的動能為彈簧的動能為220)3(21)(21XqLdxXLxqEL 物體表面間的摩擦力、周圍介質(zhì)的阻力、材料的內(nèi)摩物體表面間的摩擦力、周圍介質(zhì)的阻力、材料的內(nèi)摩擦等，這類阻力統(tǒng)稱為擦等，這類阻力統(tǒng)稱為阻尼阻尼。 阻尼的性質(zhì)

24、可能很復(fù)雜，通常把它簡化為所謂的阻尼的性質(zhì)可能很復(fù)雜，通常把它簡化為所謂的粘性粘性阻尼阻尼。粘性阻尼的特點是阻尼力的大小與速度成正比，阻。粘性阻尼的特點是阻尼力的大小與速度成正比，阻尼力的方向與速度相反。采用粘性阻尼使得在數(shù)學處理上尼力的方向與速度相反。采用粘性阻尼使得在數(shù)學處理上大為簡化。有阻尼自由振動的運動微分方程為大為簡化。有阻尼自由振動的運動微分方程為二、有阻尼自由振動二、有阻尼自由振動0kxxcxm 令令mca 2則有則有022xxaxn 則該方程的特征根為則該方程的特征根為22naar引入量綱一的量引入量綱一的量na 稱為阻尼比或相對阻尼系數(shù)。下面根據(jù)特征根的取值，分三種稱為阻尼比

25、或相對阻尼系數(shù)。下面根據(jù)特征根的取值，分三種情況討論：情況討論：1、大阻尼、大阻尼當當 或或 時稱為時稱為大阻尼大阻尼。此時特征根為兩個不等的負實根。此時特征根為兩個不等的負實根。方程的解為方程的解為na1sinhcosh21tAtAexat式中，式中， 。此式所標示的運動是一個非周期性的運動而不。此式所標示的運動是一個非周期性的運動而不是一個振動。是一個振動。2、臨界阻尼、臨界阻尼當當 或或 時稱為時稱為臨界阻尼臨界阻尼。此時特征根為二重根，方程解。此時特征根為二重根，方程解為為22nana1)(21tAAexat此式所表示的運動也是一個非周期性的運動。此式所表示的運動也是一個非周期性的運動

26、。na13、小阻尼、小阻尼當當 或或 時稱為小阻尼。此時特征根為一對共軛復(fù)根。令時稱為小阻尼。此時特征根為一對共軛復(fù)根。令na1nnda2221此時方程的解為此時方程的解為)sincos(21tAtAexddat 式中的待定系數(shù)式中的待定系數(shù)A1、A2根據(jù)初始條件確定。設(shè)振動物體具有初根據(jù)初始條件確定。設(shè)振動物體具有初位移位移x0何處速度何處速度 ，則系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)為，則系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)為0 x )sincos(000taxxtxexdddat也可改寫為也可改寫為)sin(tAexdat式中式中20020)(daxxxA000arctanaxxxd 從上面的式子可以看出，這時系統(tǒng)的運

27、動為周期性的振動。其從上面的式子可以看出，這時系統(tǒng)的運動為周期性的振動。其振動圓頻率為振動圓頻率為 ，稱為，稱為有阻尼振動的固有頻率有阻尼振動的固有頻率，它比無阻尼自由振，它比無阻尼自由振動的固有頻率動的固有頻率 略小。振幅略小。振幅Ae-at隨時間成指數(shù)形式衰減。如圖給隨時間成指數(shù)形式衰減。如圖給出了這種衰減振動的響應(yīng)曲線。出了這種衰減振動的響應(yīng)曲線。dn1、理論分析、理論分析在簡諧激振力在簡諧激振力 的作用下，系統(tǒng)的運動方程為的作用下，系統(tǒng)的運動方程為5.2 單自由度系統(tǒng)的受迫振動單自由度系統(tǒng)的受迫振動一、簡諧激振動作用下的受迫振動一、簡諧激振動作用下的受迫振動)cos()(0tFtF)c

28、os(0tFkxxcxm 或?qū)憺榛驅(qū)憺?cos(22thxxxnn 式中：式中：mFhmkmcann02,22 根據(jù)微分方程的理論，非齊次方程的全解由兩部分組成：與之對應(yīng)的齊次根據(jù)微分方程的理論，非齊次方程的全解由兩部分組成：與之對應(yīng)的齊次方程的通解方程的通解x1和非齊次方程的特接和非齊次方程的特接x2。則通解為。則通解為)sincos(211tCtCexddtn式中式中C1、C2為積分常數(shù)。為積分常數(shù)。設(shè)特解具有下列形式：設(shè)特解具有下列形式：)sin()cos(212tBtBx由以上式子可解得由以上式子可解得B1、B2，特，特x2可改寫為可改寫為)cos(2tBx式中：式中：B受迫振動的振幅

29、受迫振動的振幅 受迫振動的響應(yīng)和激振動的相位差受迫振動的響應(yīng)和激振動的相位差 st靜變形靜變形 頻率比，激振頻率與固有頻率之比頻率比，激振頻率與固有頻率之比22224)1 (stB212arctan2200nnsthmFkFn方程的全解為方程的全解為)cos()sincos(2121tBtCtCexxxddtn取初始條件為取初始條件為x(0)=x0， ，則可求得全解為，則可求得全解為0)0(vxsin)sin()cos(cos)cos()sincos()cos(000ttBetxvtxetBxddndtddndtnn 上式就是在簡諧振力作用下有阻尼受迫振動的完全響應(yīng)。它由三部分組上式就是在簡諧

30、振力作用下有阻尼受迫振動的完全響應(yīng)。它由三部分組成，對應(yīng)著式中的三項。第二項是與激振力無關(guān)的有阻尼自由振動，它完全成，對應(yīng)著式中的三項。第二項是與激振力無關(guān)的有阻尼自由振動，它完全取決于初始條件，在零初始條件下它不存在。第三項的振幅與激振力有關(guān)，取決于初始條件，在零初始條件下它不存在。第三項的振幅與激振力有關(guān)，頻率等于有阻尼自由振動的頻率，這一項稱為伴隨自由振動，在零初始條件頻率等于有阻尼自由振動的頻率，這一項稱為伴隨自由振動，在零初始條件下它也存在。只有第一項是純粹的受迫振動，它是一個穩(wěn)態(tài)的簡諧振動，其下它也存在。只有第一項是純粹的受迫振動，它是一個穩(wěn)態(tài)的簡諧振動，其頻率等于激振力的頻率，而

31、相位教激振力滯后角頻率等于激振力的頻率，而相位教激振力滯后角。從此式可以看出，由于。從此式可以看出，由于阻尼存在，自由振動和伴隨自由振動隨著時間的延續(xù)而逐漸消失，最后只剩阻尼存在，自由振動和伴隨自由振動隨著時間的延續(xù)而逐漸消失，最后只剩下穩(wěn)態(tài)的受迫振動。式中的后兩項之和表示的振動稱為下穩(wěn)態(tài)的受迫振動。式中的后兩項之和表示的振動稱為穩(wěn)態(tài)振動穩(wěn)態(tài)振動，而式中的，而式中的第一項稱為第一項稱為穩(wěn)態(tài)振動穩(wěn)態(tài)振動。從開始振動到達受迫振動的穩(wěn)態(tài)需要一個實踐過程，。從開始振動到達受迫振動的穩(wěn)態(tài)需要一個實踐過程，這個過程稱為過渡過程。過渡過程的長短與阻尼的大小有密切的關(guān)系。這個過程稱為過渡過程。過渡過程的長短與

32、阻尼的大小有密切的關(guān)系。令令22224-11）（則則stB 式中，式中，稱為動力放大系數(shù)，它是頻率比和阻尼比兩個變量的函數(shù)。若稱為動力放大系數(shù)，它是頻率比和阻尼比兩個變量的函數(shù)。若將阻尼比將阻尼比 視為參量，則可繪出對一系列視為參量，則可繪出對一系列 值的值的 曲線，如圖曲線，如圖a所示。所示。因為它反映了振幅隨激振力頻率變化的關(guān)系，故稱之為因為它反映了振幅隨激振力頻率變化的關(guān)系，故稱之為幅頻特性曲線幅頻特性曲線。-從上圖可以看出：從上圖可以看出：1）當）當 ，即，即 時，時， ， ，此頻率段稱為，此頻率段稱為準靜準靜態(tài)態(tài)。2）當）當 ，即，即 時，時， ，此頻率段稱為，此頻率段稱為慣性慣性區(qū)

33、區(qū)。3）當）當 ，即，即 時，動力放大系數(shù)迅速增大，阻尼對動力時，動力放大系數(shù)迅速增大，阻尼對動力放大系數(shù)的影響最為顯著。此頻率段稱為放大系數(shù)的影響最為顯著。此頻率段稱為共振區(qū)（或阻尼區(qū)）共振區(qū)（或阻尼區(qū)）。 此外，由于阻尼的存在，使得受迫振動的位移影響與激振力不此外，由于阻尼的存在，使得受迫振動的位移影響與激振力不同步，它們之間存在一個相位角同步，它們之間存在一個相位角 角。角。 值也與值也與 和和 有關(guān)，這有關(guān)，這種關(guān)系曲線稱為相頻特性曲線，如圖種關(guān)系曲線稱為相頻特性曲線，如圖b所示。所示。2、工程實例之一：不平衡旋轉(zhuǎn)質(zhì)量引起的振動、工程實例之一：不平衡旋轉(zhuǎn)質(zhì)量引起的振動 在通風機、電動機

34、、水泵、離心壓縮機、汽輪機等旋轉(zhuǎn)機械中，在通風機、電動機、水泵、離心壓縮機、汽輪機等旋轉(zhuǎn)機械中，由于偏心質(zhì)量而引起受迫振動是很普遍的現(xiàn)象。由于偏心質(zhì)量而引起受迫振動是很普遍的現(xiàn)象。n11stBn10/12n1例題例題系統(tǒng)的四個彈簧為并聯(lián)，總剛度為系統(tǒng)的四個彈簧為并聯(lián)，總剛度為K=4k=3320N/cm，固有頻率為，固有頻率為sradn/14. 3602sradMKn/88.12頻率比為頻率比為44. 2n這說明此時超過共振點較遠，不會發(fā)生共振。則振幅為這說明此時超過共振點較遠，不會發(fā)生共振。則振幅為cmMmeB382. 04)1 (22222 在這個例題中，造成振動的原因是衣物不可避免地要偏離

35、旋轉(zhuǎn)中心。在在這個例題中，造成振動的原因是衣物不可避免地要偏離旋轉(zhuǎn)中心。在水泵、磨床、內(nèi)燃機等機器中，高速旋轉(zhuǎn)的葉輪、砂輪軸、曲軸必須進行水泵、磨床、內(nèi)燃機等機器中，高速旋轉(zhuǎn)的葉輪、砂輪軸、曲軸必須進行平衡，就是為了盡量地減小質(zhì)心相對旋轉(zhuǎn)中心的偏移量。平衡，就是為了盡量地減小質(zhì)心相對旋轉(zhuǎn)中心的偏移量。3、工程實例之二：隔振問題、工程實例之二：隔振問題 一些機器本身是振源，要采取一些措施將機器與地基隔離開來，以減少一些機器本身是振源，要采取一些措施將機器與地基隔離開來，以減少振動對周圍環(huán)境的影響，稱為振動對周圍環(huán)境的影響，稱為主動隔振主動隔振。還有一種情況，振源來自外界，要。還有一種情況，振源來

36、自外界，要使外界的振動較少地傳到機器中來，以保持機器（例如精密磨床）的加工精使外界的振動較少地傳到機器中來，以保持機器（例如精密磨床）的加工精度而采取的隔振措施，稱為度而采取的隔振措施，稱為被動隔振被動隔振。例題：例題： 在上例中加了彈簧和阻尼來減振，從而使洗衣機的振動較少地傳播到周在上例中加了彈簧和阻尼來減振，從而使洗衣機的振動較少地傳播到周圍環(huán)境中去。試分析未采取隔振措施時和采取隔振措施后洗衣機傳遞到地基圍環(huán)境中去。試分析未采取隔振措施時和采取隔振措施后洗衣機傳遞到地基的作用力。的作用力。解：解： 當未加隔振時（如圖當未加隔振時（如圖a），作用于地基的力就是離心慣性力，其最大值），作用于地

37、基的力就是離心慣性力，其最大值為為 在采取隔振措施后（如圖在采取隔振措施后（如圖b），洗衣機傳遞到地基的力有兩部分：通過彈），洗衣機傳遞到地基的力有兩部分：通過彈簧傳遞到地基的力簧傳遞到地基的力和通過阻尼器傳遞的力為和通過阻尼器傳遞的力為這兩部分的頻率相同，均為這兩部分的頻率相同，均為，用旋轉(zhuǎn)矢量表示如圖，用旋轉(zhuǎn)矢量表示如圖c所示。它們的合力的最所示。它們的合力的最大值為大值為2meF )sin(1tKBKxF)cos(22tBMxcFn1、疊加原理、疊加原理 線性微分方程描述的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)滿足線性微分方程描述的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)滿足“疊加原理疊加原理”。所謂疊加原理就是說，

38、如果系統(tǒng)在激振力所謂疊加原理就是說，如果系統(tǒng)在激振力F1（t）的作用下的響應(yīng)是）的作用下的響應(yīng)是x1（t），），在激振力在激振力F2（t）作用下的響應(yīng)是）作用下的響應(yīng)是x2（t），則當以），則當以F1（t）、）、F2(t)的線性組的線性組合合c1F1(t)+c2F2(t)激勵系統(tǒng)時，系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)為激勵系統(tǒng)時，系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)為c1x1（t）+c2x2（t）。其）。其中，中，F(xiàn)1（t）、）、F2（t）是任意函數(shù)）是任意函數(shù)c1、c2為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。2、用傅里葉級數(shù)法求解振動響應(yīng)、用傅里葉級數(shù)法求解振動響應(yīng)設(shè)激振力設(shè)激振力F（t）是一個任意的周期函數(shù)，周期為）是一個任意的周期函數(shù)，周期為T

39、，圓頻率為，圓頻率為 。只要函數(shù)只要函數(shù)F（t）滿足狄利克雷的充分條件，就能展成傅里葉級數(shù)）滿足狄利克雷的充分條件，就能展成傅里葉級數(shù)式中式中a0、ak、bk為傅里葉系數(shù)，其表達式為為傅里葉系數(shù)，其表達式為二、周期激振力作用下的受迫振動二、周期激振力作用下的受迫振動T/210)sincos(21)(kkktkbtkaatF2/2/2/2/,.)2 , 1(sin)(2,.)2 , 1 , 0(cos)(2TTkTTkktdtktFTbktdtktFTa上式也可改寫為上式也可改寫為式中式中10)cos()(kkktkcctFkkkkkkabbacacarctan2/2200若系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼分別為若系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼分別為M、K和和C，則此時受迫振動的微分方程為，則此時受迫振動的微分方程為c0相當于一個靜