(完整版)向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、教學(xué)要求：1. 理解向量（平面向量、空間向量）的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念，掌握向量的加法、減法，掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件。 了解向量的基本定理， 掌握向量的數(shù)量積及其幾何意義， 了解用向量的數(shù)量積處理有關(guān)長(zhǎng)度、 角度和垂直問(wèn)題， 理解直線的方向向量、 平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念。2. 理解向量（平面向量、空間向量）的坐標(biāo)的概念，掌握向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算及兩點(diǎn)間的距離公式。3. 掌握線線的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并掌握平移公式。二、知識(shí)串講：平面向量及其運(yùn)算（一）向量的基本運(yùn)算1. 有關(guān)概念（1）向量既有大小又有方向的量叫做向

2、量。常用有向線段表示向量方向向量二要素長(zhǎng)度（ 2）向量的模有向線段的長(zhǎng)度| AB|， | a |長(zhǎng)度等于 1的向量叫做單位向量，aa0| a |零向量0 （ 0 的方向不定），| 0|0（3）共線向量（平行向量）方向相同或相反的向量叫做平行向量或共線向量。（ 4）相等的向量長(zhǎng)度相等ab方向相同規(guī)定：00向量可以在平面（或空間）平行移動(dòng)而不變。規(guī)定：零向量與任一向量平行。2. 向量有三種形式（或三種表示）幾何表示幾何運(yùn)算 代數(shù)表示代數(shù)運(yùn)算1坐標(biāo)表示坐標(biāo)運(yùn)算3. 向量的加法、減法與數(shù)乘（1）向量的加法三角形法則或平行四邊形法則如圖：向量加法的多邊形法則如圖，求 abc（2）向量的減法：a ba (

3、 b ) ，即向量 a 加上 b 的相反向量。（ ab 的箭頭指向被減向量）（3）實(shí)數(shù)與向量的乘積長(zhǎng)度 |a | | |· | a |方向：時(shí)與a同向a0時(shí)與a反向aa0時(shí)，a 002 b a （ a0 ）存在唯一實(shí)數(shù)，使 ba4. 向量的運(yùn)算法則（加、減、數(shù)乘）設(shè)向量 a ， b ， c 及實(shí)數(shù) ， ，則： abba ( ab )ca ( b c ) () aaa ( ab )ab | a | |· | a | | a | | b | | ab | | a | | b |（此不等式表示三角形兩邊之和大于第三邊， 兩邊之差小于第三邊， 也稱為三角不等式。）5. 平面向量基本

4、定理（向量的分解定理）e1 ， e2 是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)任一向量a ，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)1，2 ，使得 a1 e12 e2 。（這個(gè)定理表明： 平面內(nèi)的任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量分解為唯一一對(duì)向量的和。1 e12 e2 叫做向量 e1 ， e2 的線性組合，e1 ， e2 叫做表這一平面內(nèi)所有向量的一組 基底?；撞晃ㄒ唬P(guān)鍵是不共線基底給定，分解形式唯一應(yīng)用：設(shè) OA ， OB 不共線，點(diǎn) P在直線 AB上（即 A、 B、 P三點(diǎn)共線）OPOAOB且1（，R）（二）向量的坐標(biāo)運(yùn)算31. 在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸， y軸同方向的兩個(gè)單位向量i ，j 作為基底，則該平面

5、內(nèi)任一向量a ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x， y，使得ax iy j ，稱（ x， y）叫做向量a 的（直角）坐標(biāo)，記作a( x， y)，即為向量的坐標(biāo)表示。（如圖，當(dāng)把向量a 的起點(diǎn)移至原點(diǎn)時(shí)，（x， y）是向量aOA 終點(diǎn) A的坐標(biāo)，即 A x， y ，x， y 是向量a 在 x， y軸上的射影，與a 相等的向量的坐標(biāo)也相同。）2. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算已知 a(x1， y1 )， b( x2 ， y2 )，R則：（ 1） a b (x1 iy1j )( x2iy2 j )x1x2iy1y2jx1x2 ， y1y2（ 2） a bx1x2 ， y1y2 ，設(shè) A x1 ， y1 ， B x2 ， y2B

6、A a bx1x2 ， y1y2| AB|x12y1 y22x24（ 3）ax1， y1x1 ，y1（三）平面向量的數(shù)量積1. 數(shù)量積的概念設(shè)向量 OAa ， OBb ， AOB叫做向量a 與 b 的夾角。記作a ， b， 0a ， b180（ 1）數(shù)量 | a |· | b |cos叫做 a 與 b 的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a · b即 a · b| a |· | b |cos（ 2）數(shù)量積的幾何意義：a · b 等于 a 的模 | a |與 b 在 a 的方向上的射影| b |cos的乘積。2. 數(shù)量積的運(yùn)算法則（1） a · b

7、b · a ， a · 00 · a0（ 2） (a ) · b( a · b )a · (b )R（ 3） ( ab )· ca · cb · c注意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律?。?a · b ）· ca ·（ b · c ）（ 4） a( x1， y1 ) ， b( x2 ， y2 ) ，則a · bx1， y1 · x2 ， y2x1 x2y1 y23. 重要性質(zhì)（1）設(shè)e 是單位向量，a ， e，則 e · aa · e|

8、a |· cos（ 2） a ba · b0x1 · x2y1· y20（ 3） a ba · b| a |· | b |或 a · b| a |· | b |5a b （ b0 ）（ 唯一確定）x1， y1x2 ， y2x1 y2x2 y102（ 4） a| a |2 ，即 | a |x2y2 ，| a · b | | a |· | b |a · b（ 5） cos| a |· | b |（四）定比分點(diǎn)與平移1. 線段的定比分點(diǎn)設(shè) P1 x1 ， y1 ， P2 x2 ， y2 ，分點(diǎn) P x， y ，設(shè) P1 ， P2 是 l上兩點(diǎn)， P點(diǎn)在 l上且不同于 P1、 P2 ，若存在一實(shí)數(shù)，使 P1PPP2 ，則 叫做 P分有向線段P1P2 所成的比。（0，P在線段 P1 P2 內(nèi)；0，P在P