一偏導數(shù)的定義及其計算法ppt課件

1、定義定義 設函數(shù)設函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某一鄰的某一鄰域內有定義，當域內有定義，當y固定在固定在0y而而x在在0 x處有增量處有增量x 時，相應地函數(shù)有增量時，相應地函數(shù)有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，則稱存在，則稱此極限為函數(shù)此極限為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對x的的偏導數(shù)，記為偏導數(shù)，記為一、偏導數(shù)的定義及其計算法機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 同理可定義同理可定義函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對y的偏導數(shù)，的偏導數(shù)， 為為yyxfyyxfy )

2、,(),(lim00000 記為記為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在區(qū)區(qū)域域D內內任任一一點點),(yx處處對對x的的偏偏導導數(shù)數(shù)都都存存在在，那那么么這這個個偏偏導導數(shù)數(shù)就就是是x、y的的函函數(shù)數(shù)，它它就就稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對對自自變變量量x的的偏偏導導數(shù)數(shù)， 記記作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定義函數(shù)同理可以定義函數(shù)),(yxfz 對自變量對自變量y

3、的偏導的偏導數(shù)，記作數(shù)，記作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 偏導數(shù)的概念可以推行到二元以上函數(shù)偏導數(shù)的概念可以推行到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例 1 1 求求 223yxyxz 在點在點)2 , 1(處的偏導數(shù)處的偏導數(shù)解解例例 2 2 設設yxz )1, 0( xx， 求求證證 zyzxxzy

4、x2ln1 .例例 3 3 設設22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 偏偏導導數(shù)數(shù)xu 是是一一個個整整體體記記號號，不不能能拆拆分分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求設設例例如如 有關偏導數(shù)的幾點闡明：有關偏導數(shù)的幾點闡明：、 求分界點、不延續(xù)點處的偏導數(shù)要用求分界點、不延續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求；定義求；機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 .),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的的偏偏導導數(shù)數(shù)求求設設yxfyxyxyxxyyxf 例例 5 5解解機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 、偏導

5、數(shù)存在與延續(xù)的關系、偏導數(shù)存在與延續(xù)的關系例例如如,函函數(shù)數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定義義知知在在)0 , 0(處處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函數(shù)在該點處并不延續(xù)但函數(shù)在該點處并不延續(xù). 偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在 延續(xù)延續(xù).一元函數(shù)中在某點可導一元函數(shù)中在某點可導 延續(xù)，延續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在 延續(xù)，延續(xù)，機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 4、偏導數(shù)的幾何意義、偏導數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上上一一點點為為曲曲面面設設yxfzyxfyxM 如圖如圖機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 偏偏導

6、導數(shù)數(shù)),(00yxfx就就是是曲曲面面被被平平面面0yy 所所截截得得的的曲曲線線在在點點0M處處的的切切線線xTM0對對x軸軸的的斜斜率率. 偏偏導導數(shù)數(shù)),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲線線在在點點0M處處的的切切線線yTM0對對y軸軸的的斜斜率率.幾何意義幾何意義: :機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)為為純偏導純偏導混合偏導混合偏導定義：二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高

7、階偏導數(shù)定義：二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù). .二、高階偏導數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例 6 設設13323 xyxyyxz， 求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz . 例例 7 7 設設byeuaxcos ，求求二二階階偏偏導導數(shù)數(shù). 問題：問題：混合偏導數(shù)都相等嗎？混合偏導數(shù)都相等嗎？.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(223的的二二階階混混合合偏偏導導數(shù)數(shù)求求設設yxfyxyxyxyxyxf 例例 8 8解解機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的兩兩個個二二階階混混合合偏偏導導數(shù)數(shù)xyz 2及及yxz 2在在區(qū)區(qū)域域 D D 內內連連續(xù)續(xù)，那那末末在在該該區(qū)區(qū)域域內內這這兩兩個個二二階階混混合合偏偏導導數(shù)數(shù)必必相相等等例例