2018年數(shù)學(xué)2考研真題和答案解析詳解

1、WORD格式WORD資料 . 可編輯絕密啟用前2017 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（二）（科目代碼302 ）考生注意事項(xiàng)1. 答題前，考生必須在試題冊(cè)指定位置上填寫(xiě)考生姓名和考生編號(hào)；在答題卡指定位置上填寫(xiě)報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫(xiě)考生編號(hào)信息點(diǎn)。2. 考生須把試題冊(cè)上的試卷?xiàng)l形碼粘貼條取下，粘貼在答題卡“試卷?xiàng)l形碼粘貼位置”框中。不按規(guī)定粘貼條形碼而影響評(píng)卷結(jié)果的，責(zé)任由考生自負(fù)。3. 選擇題的答案必須涂寫(xiě)在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答案必須書(shū)寫(xiě)在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)。超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題冊(cè)上答題無(wú)效。4. 填（書(shū)）寫(xiě)部分必須使用黑色字跡簽

2、字筆或者鋼筆書(shū)寫(xiě)，字跡工整、筆跡清楚；涂寫(xiě)部分必須使用2B 鉛筆填涂。5. 考試結(jié)束后，將答題卡和試題冊(cè)按規(guī)定一并交回，不可帶出考場(chǎng)。考生姓名：考生編號(hào)：專業(yè)技術(shù) . 整理分享專業(yè)資料整理WORD格式2017 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：1 8小題，每小題4 分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.1cos x（ 1）若函數(shù) f0 在 x( x)ax, x0 處連續(xù)，則（）b, x011(A)ab(B)ab(C) ab0(D) ab222（ 2）設(shè)二階可導(dǎo)函(x)滿足 f且 fff (1) 1, f (0)

3、1 '' ( x)數(shù)(1)0 ，則（）( A11f ( x)0B0f ( x) dxdx11(C01f01)f ( x)dx( x)dxDf (x)dxf (x)dx1010（ 3 ）設(shè)數(shù)列 x n收斂，則（）( A)當(dāng) limsin xn0 時(shí)， lim x n0(B)當(dāng) lim( xnnn(C)當(dāng) lim( x nxn2 ) 0 時(shí)， lim xn0(D )當(dāng) lim( xnnn（ 4 ）微分方程的特解可設(shè)為xn0時(shí)， limn)xn0nsinnxn )0時(shí)， lim x n0n（ A ） Ae 2 xe2x (B cos2xC sin 2x)（ B） Axe 2xe2 x

4、 ( B cos2xC sin 2x)2 x2 x2 x2 x（ C） Aexe ( B cos2xC sin 2x)（ ）Axee (B cos2 xC sin 2x)D（ 5）設(shè) f (x, y)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任f (x, y)f (x, y)意的(x, y)，都有0,0 ，則xyf（ B ） ff（A）f (0,0)(1,1)(0,0)f (1,1)（C）f (0,1)f (1,0)（ ）f (0,1)(1,0)D（ 6 ）甲乙兩人賽跑， 計(jì)時(shí)開(kāi)始時(shí)，甲在乙前10（單位： m）處，圖中實(shí)線表示甲的速度曲v v 1 (t) （單方線位： m / s），虛線表示乙的速度曲線v2 (t)

5、，三塊陰影部分面積的數(shù)值依v次為10,20,3，計(jì)時(shí)開(kāi)始后乙專業(yè)資料整理WORD格式t 0（單位： s ），則追上甲的時(shí)刻記為（）（ A ） t 0（B）1520（ ）（）02510t0025DtC t專業(yè)資料整理WORD格式WORD資料 . 可編輯v(m / s)1020051015202530t (s)0（7）設(shè)A為三階矩陣， P2,3 )為可逆矩陣，使得 P，則 A( 1, 2,(1, 1AP13）)（2（ B（A）12）223（C）23（ D）122200210100（ 8 ）設(shè)矩陣 A021 , B020 , C020,則（）001001002（A）A與C相似,B與C相似（B）A與C

6、相似,B與C不相似（C）A與C不相似 ,B與C相似（D）A與C不相似 ,B與C不相似二、填空題：4 分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置914 小題，每小題上 .(9)曲線 yx 1 arcsin2的斜漸近線方程為_(kāi)x設(shè)函數(shù)y(x)由參數(shù)方t e t確定，則 d 2 y(10)y程x_sindx2tyt0(11)ln(1 x) dx_(12x)0(12設(shè) 函 數(shù) f ( x, y)具 有一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) ，且 df0 ，)( x, y)yeydx x(1 y)ey dy ， f (0,0)則f ( x,y)_11 tan x（ 13） dydx_0yx4121（ 14 ）設(shè)矩陣1

7、2a 的一個(gè)特征向量為1 ，則 a_專業(yè)資料整理WORD格式A3112專業(yè)技術(shù) . 整理分享專業(yè)資料整理WORD格式三、解答題：15 23 小題，共94 分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上 .解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 .x（ 15 ）（本題滿x te t dt分10 分）求極限lim0x03x（ 16 ）（本題滿f (u, v)具有 2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，f (e x ,cos x)，求dy， d 2 y分10 分）設(shè)函數(shù)yxdx x 0dx2 0（ 17 ）（本題滿10 分）求k2ln分limn1knk1nn（ 18 ）（本題滿分10 分）已知函數(shù) y(x)由方程 x 3y33x 3y

8、 2 0 確定，求 y( x)的極值（ 19 ）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間 0,12 階導(dǎo)數(shù)，且 f (1) 0,f ( x)0 ，證上具有l(wèi)im明：x0x) 方程 f0在區(qū)間 (0,1)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)(x)根；) 方程 f'( x) ( f'( x) f( x)20在區(qū)間 (0,1)內(nèi)至少存在兩個(gè)不同實(shí)根。11 分）已知平面區(qū)域2（ 20 ）（本題滿x, y | x2y22 y ,計(jì)算二重積分x 1 dxdy 。分DD（ 21 ）（本題滿11分）設(shè) y(x)是區(qū)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，且y(1) 0，點(diǎn) P是曲線y( x)分間0, 3L:y 上2任意一點(diǎn)， L在點(diǎn) P處

9、的切線與y 軸相交，法線與 x軸相交于點(diǎn)XYp ，求于點(diǎn)0, Y p p ,0，若 X pL上點(diǎn)的坐標(biāo)x, y滿足的方程。（ 22 ）（本題滿11 分）設(shè) 3階矩陣 A1,2 ,3 有 3個(gè)不同的特征值，且31 2 2 。分專業(yè)資料整理WORD格式( ) 證明： r ( A)2( )若123，求方程組 Ax的通解。f ( x1 , x 2 , x 3 )2x1 x2 8x1 x3 2x2 x3在（ 23）（本題滿分11分）設(shè)二次型222正交變換2x1x 2ax3，求 a的值及一個(gè)正交矩XQY 下的標(biāo)準(zhǔn)型1y 122 y22 陣Q .專業(yè)資料整理WORD格式WORD資料 . 可編輯參考答案1 x

10、1【答案】 A 【解析】 lim1 cosf ( x)在1.選 A.lim21 ,x01 babx處連續(xù)xx 0ax0ax2a2a22【答案】 B 【解析】 f (x)為偶函數(shù)時(shí)滿足題設(shè)條件，此0f ( x)1.時(shí)dxf ( x) dx，排除 C,D.10112x21 滿足條件，1 f (x)dx12x2 1 dx2取 f (x)則0，選 B.33 【答案】 D【解析】特值法：（ A）取，有1，排除.xnlimsinxn0,limxn， A錯(cuò)；取 x nB,C.nn所以選D.21,2448022i.【答案】 A 【解析】特征方程為：f (x)e2 x (1cos2x) e2 xe2x cos

11、2xy1*Ae2 x, y 2*xe2 x (B cos2x C sin 2x),故特解y*y*y*2x2 x(B cos 2xC sin 2x),選為：C.1Aexe2【答案】【解f (x,f ( x,x的單調(diào)遞增函數(shù)，是關(guān)的單調(diào)5析】y)0y)f ( x,是關(guān)于 于遞.Cx,y0,y)yff (1,0)，故答案選減函數(shù)，所以有(0,1)f (1,1)D.60 到t0t0v1.【答案】 B 【解析】從 t 0這段時(shí)間內(nèi)甲乙的位移分別為(t)dt ,v2 (t) dt,則乙要追上甲，則00t 0v 1 (t)dt10，當(dāng)25時(shí)滿足，故選v2 (t)t0C.07. 【答案】 B 【解析】000P

12、 1AP1AP P1A(1, 2, 3) ( 1, 2, 3)1223,222因此 B 正確。8. 【答案】 B 【解析】0可知 A的特征值為 2,2,1,因?yàn)?3 r1， A 可相似對(duì)角由EA (2EA)化，100即A 0可知 B特征值為 2,2,1.因?yàn)?3 r (220由 E B0E B)2，B不可相似對(duì)角化，專業(yè)資料整理WORD格式002顯然 C 可相似對(duì)角化，A C ，但 B 不相似于 C.lim ylim(1 arcsin2) 1,lim y xlim x arcsin2 2,xxxx9. 【答案】xxxx 2 【解析】yy x2專業(yè)技術(shù) . 整理分享專業(yè)資料整理WORD格式110

13、.【答案】【解析】8dycost ,dxtdycost1 edtdtdx1et'costd2y1 etsin t(1et)coste td 2y1dx2tdx2dx1 e t208dt11. 【答案】 1 【解析】ln(1x2) dxln(1x)d10 (1 x)01 xln(1x)11 x00 (1x)2 dx1(12 dx1.0 x)12.【答案】【解析】xye yf xyey , fyx(1y)e y , f ( x, y)fc( y) 0，即yxeyxye y ( y)xeyxyey，因此 cc( y)f (x, y) xyey .13. 【答ln cos1dydx案】. 【解

14、析】交換積分次序：11 tan x0yx114. 【答案】 -1【解析】設(shè)1 ，由題設(shè)知 A，故2412111故 a12a 1132a1 .3112222xte t15. 【答案】2【解析】xxdt ，令lim 0x t u，則有3x 0x30xxuex u duexueuduyeydx xyeyc( y),故(0,0)0，可C ，再由f得dxdytan xdx ln cos11x tan x1000x0xx tet dtuex u duuex u dux0專業(yè)資料整理WORD格式原式 = lim03lim0 3x0x 2x0x2xulim0ue dulimxex2xx 030313x2x22

15、專業(yè)資料整理WORD格式WORD資料 . 可編輯16. 【答案】dy'd2 y''f1 (1,1),f 1(1,1),【解析】dx1x 0dx2 x 0x0yf (e x,cos x)y(0)f (1,1)dy f1 ' ex dx x 0'(1,1) 1 f'(1,1) 0''2f 2sin xf 1 f 1(1,1)x 02sinf 21'' ex ( sin x) f22'' sin 2 xd y''2 x''xf 1' ex f'f 11ef

16、12e ( x)2dx2d2 y''''dx2xf0f11(1,1)f 1 (1,1)2 (1,1)結(jié)論：cosxdyf 1' (1,1)dx x0d 2 y''''(1,1)11f1( 1,1) f2dx2f (1,1)x 017. 【答案】 1 【解析】42nkk11121(ln(1 x)11lim2 ln(1)x ln(1 x)dxln(1x)dxx0nk0001nn222x1 11dx )1x418. 【解析】?jī)蛇吳髮?dǎo)得：3x23y 2 y ' 3 3y '0（1）令 y'0 得 x1對(duì)（

17、1 ）式兩邊關(guān)2x 求導(dǎo)得6 x 6 y y '3y2 y '' 3y ''0（ 2 ）于x1x1將 x1 代入原題給的等式中，得or，y1y0代入（ 2 ）得 y代入（ 2 ）得 y將 x1,y 1''(1)10將 x1,y0 ''( 1)2 01 為極小值點(diǎn)，故 x1 為極大值點(diǎn)，y(1)1； xy(1)019. 【解析】（ I） f (x)二階導(dǎo)f數(shù)，f (1) 0, lim( x)0x 0x專業(yè)資料整理WORD格式f0 ，根據(jù)極限的保號(hào)性(0, ) 有 f ( x)0 ，即 f ( x)解： 1）由于 lim (

18、x)得0, x0xxx 0x0又由于 f (x)二階可導(dǎo)，f ( x)在 0,1上必進(jìn)而(0,) 有 f0 所以連續(xù)專業(yè)技術(shù) . 整理分享專業(yè)資料整理WORD格式那么 f ( x)在 ,1上連0, f (1)根據(jù)零點(diǎn)定理得：至少存在一,1)，使 f ( )續(xù)， 由 f ()0點(diǎn)(0，即得證（ II ）由（ 1 ）可知 f(0,1), 使 f ) 0，令 Ff ( x) f '(x)，則 f(0) 0，( x)(0)f ( ) 0(0,),使 fF( )F() 0，對(duì) F( x)在,) 分別使用羅由羅爾定理'()0，則 F(0)(0,),(爾2定理：1 (0, ),(, )且 1

19、 , 2 (0,1),12，使得 F '(1) F'(2)0，即f ( x) ff2F '(x)''(x)'(x)0在 (0,1)至少有兩個(gè)不同實(shí)根。得證。20. 【解析】2si2nx 1 dxdyx21 dxdy2 x2 dxdydxdy 22 dr 2 cos 2d500DDD21. 【解析】x,的切線為設(shè)p y(x)Yy(x)1Xx ,令Yy(x)Y0得 X py (x)1 y1。令 yy (x)yu ，則 y uxxxxln |1ln( u 2 1)arctan ux |C ,xD4y (x) x，法y (x)X x ，令 X0 得 Y p y(x)線xy( x) y ( x)。由X pYp 得 y xy (x)x yy (x)，即，按照齊次微分方程的解法不難解出22.【解析】（ I）證2 ,3 線性相120，即 1,明：由32可得1 223關(guān)，因此， A10，即A的特征值必有三個(gè)不同的特征值，則三個(gè)特征值中只有23 有。又因?yàn)锳10個(gè) 0，另外兩個(gè)非0.且由于 A1必可相似對(duì)角化，則可設(shè)其對(duì)角矩20陣為2, 10 r( A)r () 2（）由