高中數(shù)列知識點解題方法和題型大全1

1、高中數(shù)列知識點、解題方法和題型大全一 高中數(shù)列知識點總結1. 等差數(shù)列的定義與性質22. 等比數(shù)列的定義與性質3二 解題方法41 求數(shù)列通項公式的常用方法4（1）求差（商）法4（2）疊乘法4（3）等差型遞推公式4（4）等比型遞推公式5（5）倒數(shù)法52 求數(shù)列前n項和的常用方法6(1) 裂項法6（2）錯位相減法6（3）倒序相加法7三 方法總結及題型大全9一 高中數(shù)列知識點總結 1. 等差數(shù)列的定義與性質定義：（為常數(shù)），等差中項：成等差數(shù)列前項和性質：是等差數(shù)列（1）若，則（2）數(shù)列仍為等差數(shù)列，仍為等差數(shù)列，公差為；（3）若三個成等差數(shù)列，可設為（4）若是等差數(shù)列，且前項和分別為，則（5）為等

2、差數(shù)列（為常數(shù)，是關于的常數(shù)項為0的二次函數(shù)）的最值可求二次函數(shù)的最值；或者求出中的正、負分界項，即：當，解不等式組可得達到最大值時的值. 當，由可得達到最小值時的值. (6)項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，有，.（7）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，有， ，.2. 等比數(shù)列的定義與性質定義：（為常數(shù)，），.等比中項：成等比數(shù)列，或.前項和：（要注意！）性質：是等比數(shù)列（1）若，則（2）仍為等比數(shù)列,公比為.注意：由求時應注意什么？時，；時，.二 解題方法1 求數(shù)列通項公式的常用方法（1）求差（商）法如：數(shù)列，求解 時， 時， 得：，練習數(shù)列滿足，求注意到，代入得；又，是等比數(shù)列，時，（2）疊乘法 如：數(shù)列中，求

3、解 ，又，.（3）等差型遞推公式由，求，用迭加法時，兩邊相加得練習數(shù)列中，求（）（4）等比型遞推公式（為常數(shù)，）可轉化為等比數(shù)列，設令，是首項為為公比的等比數(shù)列，（5）倒數(shù)法如：，求由已知得：，為等差數(shù)列，公差為，(附：公式法、利用、累加法、累乘法.構造等差或等比或、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學歸納法、換元法)2 求數(shù)列前n項和的常用方法(1) 裂項法把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項. 如：是公差為的等差數(shù)列，求解：由練習求和：（2）錯位相減法若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，求數(shù)列（差比數(shù)列）前項和，可由，求，其中為的公比. 如： 時，時，（3）倒序相加法把數(shù)列的各項

4、順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加. 相加練習已知，則 由原式(附：a.用倒序相加法求數(shù)列的前n項和如果一個數(shù)列an，與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們在學知識時，不但要知其果，更要索其因，知識的得出過程是知識的源頭，也是研究同一類知識的工具，例如：等差數(shù)列前n項和公式的推導，用的就是“倒序相加法”。b.用公式法求數(shù)列的前n項和對等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項和公式進行求解。運用公式求解的注意事項：首先要注意公式的應用范圍，確定公式適用于這個數(shù)列之后，再計算。c.用

5、裂項相消法求數(shù)列的前n項和裂項相消法是將數(shù)列的一項拆成兩項或多項，使得前后項相抵消，留下有限項，從而求出數(shù)列的前n項和。d.用錯位相減法求數(shù)列的前n項和錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列an·bn中，an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯位相減整理后即可以求出前n項和。e.用迭加法求數(shù)列的前n項和迭加法主要應用于數(shù)列an滿足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個式子變成an+1-an=f(n)，代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過整理，可求出an ，從而求

6、出Sn。f.用分組求和法求數(shù)列的前n項和所謂分組求和法就是對一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。g.用構造法求數(shù)列的前n項和所謂構造法就是先根據(jù)數(shù)列的結構及特征進行分析，找出數(shù)列的通項的特征，構造出我們熟知的基本數(shù)列的通項的特征形式，從而求出數(shù)列的前n項和。) 三 方法總結及題型大全方法技巧數(shù)列求和的常用方法一、直接（或轉化）由等差、等比數(shù)列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式： 4、例1（07高考山東文18）設是公比大于1的等比數(shù)

7、列，為數(shù)列的前項和已知，且構成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的等差數(shù)列（2）令求數(shù)列的前項和解：（1）由已知得解得設數(shù)列的公比為，由，可得又，可知，即，解得由題意得故數(shù)列的通項為（2）由于由（1）得， 又是等差數(shù)列故練習：設Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 解：由等差數(shù)列求和公式得 ， （利用常用公式） 當 ，即n8時，二、錯位相減法設數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列的前項和求解，均可用錯位相減法。例2（07高考天津理21）在數(shù)列中，其中（）求數(shù)列的通項公式；（）求數(shù)列的前項和；（）解：由，可得，所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項為0，故，所以數(shù)列的通項公式為（）解：設，當時，式減去式，得，

8、這時數(shù)列的前項和當時，這時數(shù)列的前項和例3（07高考全國文21）設是等差數(shù)列，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（）求，的通項公式；（）求數(shù)列的前n項和解：（）設的公差為，的公比為，則依題意有且解得，所以，（），得，三、逆序相加法把數(shù)列正著寫和倒著寫再相加（即等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣）例4（07豫南五市二聯(lián)理22.）設函數(shù)的圖象上有兩點P1(x1, y1)、P2(x2, y2)，若,且點P的橫坐標為.（I）求證：P點的縱坐標為定值，并求出這個定值；（II）若（III）略（I）,且點P的橫坐標為.P是的中點，且由（I）知，（1）+（2）得：四、裂項求和法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應

9、用. 裂項法的實質是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如： （1）（2）（3）等。例5 求數(shù)列的前n項和.解：設 （裂項） 則 （裂項求和） 例6（06高考湖北卷理17）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)為，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖像上。（）求數(shù)列的通項公式；（）設，是數(shù)列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m；解：（）設這二次函數(shù)f(x)ax2+bx (a0) ,則 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因為點均在函數(shù)的圖像上，所以3n22n.當n2時

10、，anSnSn1（3n22n）6n5.當n1時，a1S13×1226×15，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）<（）成立的m,必須且僅須滿足，即m10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.評析：一般地，若數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項也不為0，則求和：首先考慮則=。下列求和： 也可用裂項求和法。五、分組求和法所謂分組法求和就是：對一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。例7數(shù)列an的前n項和，數(shù)列bn滿 .（）證明數(shù)列an為等比數(shù)列；（）求數(shù)列bn的

11、前n項和Tn。解析：（）由，兩式相減得：，同定義知是首項為1，公比為2的等比數(shù)列. （） 等式左、右兩邊分別相加得：=例8求（）解：當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，綜上所述，點評：分組求和即將不能直接求和的數(shù)列分解成若干個可以求和的數(shù)列,分別求和.六、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結構及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.例9 求之和.解：由于 （找通項及特征） （分組求和）例10 已知數(shù)列an：的值.解： （找通項及特征） （設制分組） （裂項） （分組、裂項求和） 類型1 解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解

12、。例:已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，類型2 解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，例:已知， ，求。 。類型3 （其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數(shù)列求解。例:已知數(shù)列中，求.解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.變式:遞推式：。解法：只需構造數(shù)列，消去帶來的差異類型4 （其中p，q均為常數(shù)，）。 （,其中p，q, r均為常數(shù)） 。解法：一

13、般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例:已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉化為其中s，t滿足解法二(特征根法)：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）；當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）。解法一（待定系數(shù)迭加法）:數(shù)列：， ，求數(shù)列的通項公式。由，得，且。則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，于

14、是。把代入，得，。把以上各式相加，得。解法二（特征根法）：數(shù)列：， 的特征方程是：。,。又由，于是故例:已知數(shù)列中，,，求。解：由可轉化為即或這里不妨選用（當然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數(shù)列,所以,應用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即又，所以。類型6 遞推公式為與的關系式。(或)解法：這種類型一般利用與消去 或與消去進行求解。例：已知數(shù)列前n項和.（1）求與的關系；（2）求通項公式.解：（1）由得：于是所以.（2）應用類型4（其中p，q均為常數(shù)，）的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以類型7 解法：這種類型一般利

15、用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉化為是公比為的等比數(shù)列。例:設數(shù)列：，求.解：設，將代入遞推式，得（）則,又，故代入（）得說明：（1）若為的二次式，則可設;(2)本題也可由 ,（）兩式相減得轉化為求之. 【知識點】：1.等差數(shù)列前N項和公式S=(A1+An)N/2            即：       (首項+末項)*項數(shù) / 2等差數(shù)列公式求和公式 Sn=n(a1+an)/2 或Sn

16、=na1+n(n-1)d/2     即：  項數(shù)*首項+項數(shù)*（項數(shù)-1）*公差/2 2.等比數(shù)列前n項和設 a1,a2,a3.an構成等比數(shù)列 前n項和Sn=a1+a2+a3.an Sn=a1+a1*q+a1*q2+.a1*q(n-2)+a1*q(n-1)(這個公式雖然是最基本公式,但一部分題目中求前n項和是很難用下面那個公式推導的,這時可能要直接從基本公式推導過去,所以希望這個公式也要理解) Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);    q:公比 【

17、例】、已知數(shù)列滿足，則通項公式an=3(n-1)+a(n-1) ->an-a(n-1)=3(n-1) 同樣a(n-1)-a(n-2)=3(n-2) a(n-2(-a(n-3)=3(n-3) a3-a2=32 a2-a1=31 以上的n個等式的兩邊相加得到 An-a1=3+32+3(n-1)=3(1-3n-1)/(1-3)=(3n-1)/21判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法：對于n2的任意自然數(shù),驗證為同一常數(shù)。(2)通項公式法：若  = +（n-1）d= +（n-k）d ，則為等差數(shù)列；若  ，則為等比數(shù)列。(3)中項公式

18、法：驗證中項公式成立。2. 在等差數(shù)列中,有關的最值問題常用鄰項變號法求解：  (1)當>0,d<0時，滿足的項數(shù)m使得取最大值.(2)當<0,d>0時，滿足的項數(shù)m使得取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉化思想的應用。3.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。注意事項1證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過證明 或而得。2在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質，可使運算簡便，而一般數(shù)列的問題常轉化為等差、等比數(shù)列求解。3注意與之間關系的轉化。如：= ， =4解綜合

19、題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略【問題1】等差、等比數(shù)列的項與和特征問題例1.數(shù)列的前項和記為（）求的通項公式；（）等差數(shù)列的各項為正，其前項和為，且，又成等比數(shù)列，求本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎知識，以及推理能力與運算能力。解：（）由可得，兩式相減得又 故是首項為，公比為得等比數(shù)列 （）設的公比為 由得，可得，可得故可設 又由題意可得 解得等差數(shù)列的各項為正， 例2.設數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，。（1）求數(shù)列的通項公式？（2）設數(shù)列的前項和為,對數(shù)列，從第幾項起？.解(1) an+

20、 Sn=4096, a1+ S1=4096, a1 =2048. 當n2時, an= SnSn1=(4096an)(4096an1)= an1an = an=2048()n1. (2) log2an=log22048()n1=12n, Tn=(n2+23n). 由Tn<509,解得n>,而n是正整數(shù),于是,n46. 從第46項起Tn<509.【問題2】等差、等比數(shù)列的判定問題例3.已知有窮數(shù)列共有2項（整數(shù)2），首項2設該數(shù)列的前項和為，且2（1，2，21），其中常數(shù)1（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若2，數(shù)列滿足（1，2，2），求數(shù)列的通項公式；（3）若（2）中的數(shù)列滿足

21、不等式|4，求的值(1) 證明 當n=1時,a2=2a,則=a； 2n2k1時, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 數(shù)列an是等比數(shù)列. (2) 解：由(1) 得an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,2k).（3）設bn,解得nk+,又n是正整數(shù),于是當nk時, bn<； 當nk+1時, bn>. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) =. 當4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,當k=2,3,4,5,6,7時,原不等

22、式成立. 例 4。已知數(shù)列中，是其前項和，并且，設數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項公式及前項和。分析：由于b和c中的項都和a中的項有關，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據(jù)b的構造，如何把該式表示成b與b的關系是證明的關鍵，注意加強恒等變形能力的訓練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，數(shù)列b是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3·2當

23、n2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當n=1時，S=a=1也適合上式綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2說明：1本例主要復習用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項與前項和。解決本題的關鍵在于由條件得出遞推公式。2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應用【問題3】函數(shù)與數(shù)列的綜合題 數(shù)列是一特殊的函數(shù)，其定義域為正整數(shù)集，且是自變量從小到大變化時函數(shù)值的序列。注意深刻理解函數(shù)性質對數(shù)列的影響，分析題目特征，探尋解題切入點. 例5已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)為，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的

24、圖像上。（）、求數(shù)列的通項公式；（）、設，是數(shù)列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m；點評：本題考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力。解：（）設這二次函數(shù)f(x)ax2+bx (a0) ,則 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因為點均在函數(shù)的圖像上，所以3n22n.當n2時，anSnSn1（3n22n）6n5.當n1時，a1S13×1226×15，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）<（）成立的m,必須且僅須

25、滿足，即m10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.例6設，定義，其中nN*.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若，解：（1）2，數(shù)列an上首項為，公比為的等比數(shù)列，（2）兩式相減得： 例7設數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)y3x2的圖像上。（）求數(shù)列的通項公式；（）設，是數(shù)列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m。本小題主要是考查等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力。解：（I）依題意得，即。當n2時，a;當n=1時，×-2×1-1-6×1-5所以。（II）由（I）得，故=。因此，使得成立的m必須滿足，即m10,故滿足要

26、求的最小整數(shù)m為10?！締栴}4】數(shù)列與解析幾何數(shù)列與解析幾何綜合題，是今后高考命題的重點內(nèi)容之一，求解時要充分利用數(shù)列、解析幾何的概念、性質，并結合圖形求解.例8在直角坐標平面上有一點列，對一切正整數(shù)，點位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標構成以為首項，為公差的等差數(shù)列.求點的坐標；子設拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：.解：（1）（2）的對稱軸垂直于軸，且頂點為.設的方程為：把代入上式，得，的方程為：。，=點評：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大。（1）、（2）兩問運用幾何知識算出. 例9已知拋物線，過原點作斜率1的直線交拋物線

27、于第一象限內(nèi)一點，又過點作斜率為的直線交拋物線于點，再過作斜率為的直線交拋物線于點，如此繼續(xù)，一般地，過點作斜率為的直線交拋物線于點，設點（）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列并求數(shù)列的前項和為解：（1）因為、在拋物線上，故，又因為直線的斜率為，即，代入可得， 故是以為公比的等比數(shù)列；，【問題5】數(shù)列創(chuàng)新題例10.數(shù)列的前項和為，已知（）寫出與的遞推關系式，并求關于的表達式；（）設，求數(shù)列的前項和。解：由得：，即，所以，對成立。由，相加得：，又，所以，當時，也成立。（）由，得。而，例11.已知數(shù)列an滿足a1=a, an+1=1+我們知道當a取不同的值時，得到不同的數(shù)列，如當a=1時，得到無窮數(shù)列：（）

28、求當a為何值時a4=0；（）設數(shù)列bn滿足b1=1, bn+1=，求證a取數(shù)列bn中的任一個數(shù)，都可以得到一個有窮數(shù)列an； （I）解法一： 故a取數(shù)列bn中的任一個數(shù)，都可以得到一個有窮數(shù)列an例12已知正項數(shù)列，其前項和滿足且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項解 10Sn=an2+5an+6, 10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn1=an12+5an1+6(n2), 由得 10an=(an2an12)+6(anan1),即(an+an1)(anan15)=0 an+an1>0 , anan1=5 (n2). 當a1=3時,a3=13,a15=73. a1, a3

29、,a15不成等比數(shù)列a13;當a1=2時, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3例13.已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項公式；（II）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)（1）證明：是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。（II）解：由（I）得（III）證明：，得 即，得 即 是等差數(shù)列。例14.已知數(shù)列中，在直線y=x上，其中n=1,2,3.()令 ()求數(shù)列()設的前n項和,是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出.若不存在,則說明理由。解：（I）由已知得 又是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.（II）由（I）知，將以上各式相加得：

30、（III）解法一：存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)即又當且僅當，即時，數(shù)列為等差數(shù)列.解法二：存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.由（I）、（II）知，又當且僅當時，數(shù)列是等差數(shù)列.例15 （1）在0，3上作函數(shù)y=f(x)的圖象 （2）求證： （3）設S(a) (a0)是由x軸、y=f(x)的圖象以及直線x=a所圍成的圖形面積，當nN*時，試尋求與的關系解：（1）當n=1即0<x1時，f(x)=x+f(0)=x 當n=2即1<x2時，f(x)=2(x1)+f(1)=2x2+1=2x1當n=3即2<x3時，f(x)=3(x2)+f(2)=3x6+2×2

31、1=3x3 函數(shù)f(x)在0，3上的圖象如圖所示（2）f(n)=nn(n1)+f(n1)=n+f(n1)f(1)=1，f(2)=2+f(1)，f(3)=3+f(2)，f(n)=n+f(n1)以上各式相加得2nn+1>0又 （3）由（1）圖象中可知：S(n)S(n1)表示一個以f(n1)、f(n)為底，n(n1)=1為高的梯形面積（當n=1時表示三角形面積），根據(jù)（*）可得 S(n)S(n1)=又可得 S(n)S(n1)= 數(shù)列專題作業(yè)1已知數(shù)列滿足：. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設，試推斷是否存在常數(shù)A，B，C，使對一切都有成立？說明你的理由； （3）求證：解：（1）由已知是公比為

32、2的等比數(shù)列，又（2）若恒成立.，故存在常數(shù)A、B、C滿足條件（3） 2已知函數(shù)對于任意（），都有式子成立（其中為常數(shù)）（）求函數(shù)的解析式； （）利用函數(shù)構造一個數(shù)列，方法如下：對于給定的定義域中的，令， 在上述構造過程中，如果（=1，2，3，）在定義域中，那么構造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；如果不在定義域中，那么構造數(shù)列的過程就停止.（）如果可以用上述方法構造出一個常數(shù)列，求的取值范圍；（）是否存在一個實數(shù)，使得取定義域中的任一值作為，都可用上述方法構造出一個無窮數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（）當時，若，求數(shù)列的通項公式解：（）令（），則，而，故=， =（） （）（）根據(jù)題意，只需

33、當時，方程有解， 亦即方程 有不等于的解 將代入方程左邊，左邊為1，與右邊不相等故方程不可能有解由 =，得 或，即實數(shù)a的取值范圍是 （）假設存在一個實數(shù)，使得取定義域中的任一值作為x1，都可以用上述方法構造出一個無窮數(shù)列，那么根據(jù)題意可知，=在R中無解，亦即當時，方程無實數(shù)解由于不是方程的解，所以對于任意xR，方程無實數(shù)解，因此解得 即為所求的值 （）當時，所以，兩邊取倒數(shù)，得，即所以數(shù)列是首項為，公差的等差數(shù)列故，所以，即數(shù)列的通項公式為 3在各項均為正數(shù)的數(shù)列中，前n項和Sn滿足。（I）證明是等差數(shù)列，并求這個數(shù)列的通項公式及前n項和的公式；（II）在XOY平面上，設點列Mn（xn，yn

34、）滿足，且點列Mn在直線C上，Mn中最高點為Mk，若稱直線C與x軸、直線所圍成的圖形的面積為直線C在區(qū)間a，b上的面積，試求直線C在區(qū)間x3，xk上的面積；（III）是否存在圓心在直線C上的圓，使得點列Mn中任何一個點都在該圓內(nèi)部？若存在，求出符合題目條件的半徑最小的圓；若不存在，請說明理由。解：（1）由已知得故 得結合，得 是等差數(shù)列 又時，解得或又，故（II）即得點設，消去n，得即直線C的方程為又是n的減函數(shù)M1為Mn中的最高點，且M1（1，1）又M3的坐標為（，）C與x軸、直線圍成的圖形為直角梯形從而直線C在，1上的面積為（III）由于直線C：上的點列Mn依次為M1（1，1），M2（，）

35、，M3（，），Mn（），而因此，點列Mn沿直線C無限接近于極限點M（，）又M1M的中點為（，）滿足條件的圓存在事實上，圓心為（，），半徑的圓，就能使得Mn中任何一個點都在該圓的內(nèi)部，其中半徑最小的圓為4已知定義在R上的單調函數(shù)，存在實數(shù)，使得對于任意實數(shù)總有恒成立.（1）求x0的值.（2）若，且對任意正整數(shù)n，有，記，比較與Tn的大小關系，并給出證明；（3）若不等式對任意不小于2的正整數(shù)n都成立，求x的取值范圍.解：（1）令，得 令，得 由，得 為單調函數(shù)，（2）由（1）得， 又又， ，（3）令，則當時， 即 解得或5在等差數(shù)列中，其中是數(shù)列的前項之和，曲線的方程是，直線的方程是。（1）求數(shù)列

36、的通項公式；（2）當直線與曲線相交于不同的兩點，時，令，求的最小值；（3）對于直線和直線外的一點P，用“上的點與點P距離的最小值”定義點P到直線的距離與原有的點到直線距離的概念是等價的，若曲線與直線不相交，試以類似的方式給出一條曲線與直線間“距離”的定義，并依照給出的定義，在中自行選定一個橢圓，求出該橢圓與直線的“距離”。解：（1），又， ，。 （2），由題意，知，即，或，即或，即或時，直線與曲線相交于不同的兩點。，時，的最小值為。 （3）若曲線與直線不相交，曲線與直線間“距離”是：曲線上的點到直線距離的最小值。 曲線與直線不相交時，即，即， 時，曲線為圓，時，曲線為橢圓。 選，橢圓方程為，設

37、橢圓上任一點，它到直線的距離，橢圓到直線的距離為。 （橢圓到直線的距離為）6直線與x軸、y 軸所圍成區(qū)域內(nèi)部（不包括邊界）的整點個數(shù)為，所圍成區(qū)域內(nèi)部（包括邊界）的整點個數(shù)為（整點就是橫坐標，縱坐標都為整數(shù)的點）（1）求和的值； （2）求及的表達式； （3）對個整點中的每一個點用紅、黃、藍、白四色之一著色，其方法總 數(shù)為An，對個整點中的每一個點用紅、黃兩色之一著色，其方法總數(shù)為Bn，試比較An與Bn的大小解：（1）時，直線上有個點，直線上有 ，直線上有，直線上有 （2）時， 時，當時， 當 時也滿足， （3）； 當時， 當且時， 7我們把數(shù)列叫做數(shù)列的k方數(shù)列（其中an>0，k，n是正

38、整數(shù)），S（k，n）表示k方數(shù)列的前n項的和。 （1）比較S（1，2）·S（3，2）與S（2，2）2的大小； （2）若的1方數(shù)列、2方數(shù)列都是等差數(shù)列，a1=a，求的k方數(shù)列通項公式。 （3）對于常數(shù)數(shù)列an=1，具有關于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，請你對數(shù)列的k方數(shù)列進行研究，寫出一個不是常數(shù)數(shù)列的k方數(shù)列關于S（k，n）的恒等式，并給出證明過程。解：（1）S（1，2）= S（1，2）·S（3，2）S（2，2）2= = （2）設 則 得 2d2=0，d=p=0 （3）當an=n時，恒等式為S（1，n）2=S（3，n）

39、證明：相減得： 相減得： 8設向量， (n為正整數(shù))，函數(shù)在0，1上的最小值與最大值的和為，又數(shù)列滿足： (1) 求證：(2) (2)求的表達式(3) 若，試問數(shù)列中，是否存在正整數(shù)，使得對于任意的正整數(shù)，都有成立？證明你的結論（注：與表示意義相同）解 (1)證：對稱軸， 所以在0，1上為增函數(shù) ， (2)由得 = 兩式相減得(3)由(1)與（2）得設存在自然數(shù)，使對，恒成立當時，當時，當時，當時，當時， 所以存在正整數(shù)，使對任意正整數(shù)，均有 9已知函數(shù).(1)數(shù)列滿足: ,若對任意的恒成立,試求的取值范圍;(2)數(shù)列滿足: ,記,為數(shù)列的前項和, 為數(shù)列的前項積,求證.解:(1)因為,所以.

40、于是, 為等比數(shù)列,所以,從而,有.故.(2)因為 ,所以, ,.即有.由,顯然,知,即.因為,所以 .10設不等式組所表示的平面區(qū)域為Dn，記Dn內(nèi)的格點（格點即橫坐標和縱坐標皆為整數(shù)的點）的個數(shù)為f(n)(nN*). （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表達式； （2）設bn=2nf(n)，Sn為bn的前n項和，求Sn； （3）記，若對于一切正整數(shù)n，總有Tnm成立，求實數(shù)m的取值范圍.解（1） f(1)=3 f(2)=6 當x=1時，y=2n，可取格點2n個；當x=2時,y=n，可取格點n個 f(n)=3n （2）由題意知:bn=3n·2n Sn=3·21+6&

41、#183;22+9·23+3(n1)·2n1+3n·2n 2Sn=3·22+6·23+3(n1)·2n+3n·2n+1Sn=3·21+3·22+3·23+3·2n3n·2n+1 =3（2+22+2n）3n·2n+1 =3· =3(2n+12)3nn+1Sn=(33n)2n+16Sn=6+(3n3)2n+1 （3） 11已知數(shù)列中，且點在直線上. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若函數(shù)求函數(shù)的最小值； （3）設表示數(shù)列的前項和。試問：是否存在關于的整式，使得

42、對于一切不小于2的自然數(shù)恒成立？ 若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由解：（1）由點P在直線上，即，且，數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列 ，同樣滿足，所以 （2） 所以是單調遞增，故的最小值是 （3），可得， ，n2 故存在關于n的整式g（x）=n,使得對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立12.一個三角形數(shù)表按如下方式構成：第一行依次寫上n(n4)個數(shù)，在上一行的每相鄰兩數(shù)的中間正下方寫上這兩數(shù)之和，得到下一行，依此類推記數(shù)表中第i行的第j個數(shù)為f(i,j)(1)若數(shù)表中第i (1in3)行的數(shù)依次成等差數(shù)列，求證： 第i+1行的數(shù)也依次成等差數(shù)列；(2)已知f(1,j)=4

43、j，求f(i,1)關于i的表達式；(3)在(2)的條件下，若f(i,1)=(i+1)(ai1)，bi= ，試求一個函數(shù)g(x)，使得Sn=，m(,)，均存在實數(shù)，使得當n時，都有解：(1)數(shù)表中第行的數(shù)依次所組成數(shù)列的通項為，則由題意可得 (其中為第行數(shù)所組成的數(shù)列的公差) (2)第一行的數(shù)依次成等差數(shù)列，由(1)知，第2行的數(shù)也依次成等差數(shù)列，依次類推，可知數(shù)表中任一行的數(shù)(不少于3個)都依次成等差數(shù)列. 設第行的數(shù)公差為,則，則 ，所以 (3)由，可得所以=令,則,所以 要使得，即，只要=，所以只要,即只要,所以可以令則當時，都有.所以適合題設的一個函數(shù)為 13已知函數(shù)，數(shù)列滿足對于一切有

44、，且數(shù)列滿足，設（）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并指出公比；（）若，求數(shù)列的通項公式；（）若（為常數(shù)），求數(shù)列從第幾項起，后面的項都滿足解：（） 故數(shù)列為等比數(shù)列，公比為. （） 所以數(shù)列是以為首項,公差為 loga3的等差數(shù)列. 又 又=1+3,且 （） 假設第項后有 即第項后，于是原命題等價于 故數(shù)列從項起滿足 14已知為實數(shù)，數(shù)列滿足，當時， （）；（）證明：對于數(shù)列，一定存在，使； （）令，當時，求證：20解:解：（）由題意知數(shù)列的前34項成首項為100,公差為3的等差數(shù)列,從第35項開始,奇數(shù)項均為3,偶數(shù)項均為1,從而= =. （）證明：若,則題意成立若,此時數(shù)列的前若干項滿足,即.設,

45、則當時,.從而此時命題成立若,由題意得,則由的結論知此時命題也成立.綜上所述,原命題成立（）當時，因為, 所以=因為>0,所以只要證明當時不等式成立即可.而當當時,由于>0,所以<綜上所述,原不等式成立15已知數(shù)列，中，且是函數(shù)的一個極值點.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若點的坐標為（1，）（，過函數(shù)圖像上的點 的切線始終與平行（O 為原點），求證：當 時，不等式對任意都成立.解：（1）由是首項為，公比為的等比數(shù)列當時， 所以 （2）由得： (作差證明) 綜上所述當 時，不等式對任意都成立.16已知數(shù)列中，.（I）求證數(shù)列是等差數(shù)列;（II）試比較與的大小;（III）求正整數(shù)

46、，使得對于任意的正整數(shù)，恒成立.解：（I），又，即數(shù)列是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列且，（）（II） ， 17如果正數(shù)數(shù)列滿足：對任意的正數(shù)M，都存在正整數(shù)，使得，則稱數(shù)列是一個無界正數(shù)列（）若， 分別判斷數(shù)列、是否為無界正數(shù)列，并說明理由； （）若，是否存在正整數(shù)，使得對于一切，有成立；（）若數(shù)列是單調遞增的無界正數(shù)列，求證：存在正整數(shù)，使得解：（）不是無界正數(shù)列理由如下：取M = 5，顯然，不存在正整數(shù)滿足；是無界正數(shù)列理由如下：對任意的正數(shù)M，取為大于2M的一個偶數(shù)，有，所以是無界正數(shù)列 （）存在滿足題意的正整數(shù).理由如下：當時，因為，即取，對于一切，有成立.注：k為大于或等于3的整數(shù)

47、即可.（）證明：因為數(shù)列是單調遞增的正數(shù)列，所以.即.因為是無界正數(shù)列，取，由定義知存在正整數(shù)，使.所以.由定義可知是無窮數(shù)列，考察數(shù)列，顯然這仍是一個單調遞增的無界正數(shù)列，同上理由可知存在正整數(shù)，使得.重復上述操作，直到確定相應的正整數(shù).則 . 即存在正整數(shù)，使得成立. 18已知點列順次為直線上的點，點列順次為軸上的點，其中，對任意的，點、構成以為頂點的等腰三角形。（1）證明:數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求證:對任意的，是常數(shù)，并求數(shù)列的通項公式；（3）對上述等腰三角形添加適當條件，提出一個問題，并做出解答。解: (1)依題意有,于是.所以數(shù)列是等差數(shù)列. (2)由題意得,即 , () 所以又有. 由得：,由都是等差數(shù)列. ，那么得 ,. ( 故 (3) 提出問題：若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出實數(shù) 提出問題