線性代數(shù)教案正式打印版

1、第（1）次課 授課時間（ ）教學(xué)章節(jié)第一章第一、二、三節(jié)學(xué)時2學(xué)時教材和參考書1.線性代數(shù)(第4版)同濟(jì)大學(xué)編1. 教學(xué)目的：熟練掌握2階,3階行列式的計算； 掌握逆序數(shù)的定義, 并會計算；掌握階行列式的定義；2. 教學(xué)重點：逆序數(shù)的計算；3.教學(xué)難點：逆序數(shù)的計算. 1.教學(xué)內(nèi)容：二、三階行列式的定義；全排列及其逆序數(shù)；階行列式的定義2.時間安排：2學(xué)時；3.教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4.教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示. 基本內(nèi)容備注第一節(jié) 二、三階行列式的定義一、二階行列式的定義 從二元方程組的解的公式,引出二階行列式的概念。設(shè)二元線性方程組 用消元法,當(dāng) 時,解得 令 ,稱為二階行列式

2、 ,則 如果將D中第一列的元素, 換成常數(shù)項, ,則可得到另一個行列式,用字母表示,于是有按二階行列式的定義,它等于兩項的代數(shù)和：,這就是公式（2）中的表達(dá)式的分子。同理將中第二列的元素a 12,a 22 換成常數(shù)項b1,b2 ,可得到另一個行列式,用字母表示,于是有 按二階行列式的定義,它等于兩項的代數(shù)和：,這就是公式（2）中的表達(dá)式的分子。于是二元方程組的解的公式又可寫為 其中例1. 解線性方程組 同樣,在解三元一次方程組時,要用到“三階行列式”,這里可采用如下的定義.二、三階行列式的定義 設(shè)三元線性方程組用消元法解得 定義 設(shè)有9個數(shù)排成3行3列的數(shù)表 記 ,稱為三階行列式,則 三階行列

3、式所表示的6項的代數(shù)和,也用對角線法則來記憶：從左上角到右下角三個元素相乘取正號,從右上角到左下角三個元素取負(fù)號,即例2. 計算三階行列式 .(-14)例3. 求解方程（）例4. 解線性方程組 解 先計算系數(shù)行列式 再計算 ,得 ,第二節(jié) 全排列及其逆序數(shù)引例：用1、2、3三個數(shù)字,可以組成多少個沒有重復(fù)的三位數(shù)？一、全排列 把n個不同的元素排成一列,叫做這個元素的全排列（簡稱排列）.可將個不同元素按進(jìn)行編號,則個不同元素的全排列可看成這個自然數(shù)的全排列.個不同元素的全排列共有種. 二、逆序及逆序數(shù) 逆序的定義：取一個排列為標(biāo)準(zhǔn)排列,其它排列中某兩個元素的次序與標(biāo)準(zhǔn)排列中這兩個元素的次序相反時

4、,則稱有一個逆序.通常取從小到大的排列為標(biāo)準(zhǔn)排列,即的全排列中取為標(biāo)準(zhǔn)排列. 逆序數(shù)的定義：一個排列中所有逆序數(shù)的總數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù). 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列,標(biāo)準(zhǔn)排列規(guī)定為偶排列. 例1: 討論的全排列. 全排列123231312132213321逆序數(shù)022113奇偶性偶奇逆序數(shù)的計算：設(shè)為的一個全排列,則其逆序數(shù)為 .其中為排在 前,且比大的數(shù)的個數(shù). 例2：求排列的逆序數(shù). 解：(對于逆序數(shù)的計算介紹另一種算法)第三節(jié) 階行列式的定義下面可用全排列的方式改寫二階,三階行列式. 二階行列式 .其中： 是 的全排列,是的逆序數(shù),是對所有的全排列求和

5、. 三階行列式 其中:是的全排列,是的逆序數(shù),是對所有的全排列求和. 其中: 是的全排列,是的逆序數(shù), 是對所有的全排列求和. 例1.計算對角行列式: 例2.證明對角行列式（其對角線上的元素是,未寫出的元素都為0）, 證明: 按定義式例3.證明下三角行列式.證明:按定義式得.以上,階行列式的定義式,是利用行列式的第一行元素來定義行列式的,這個式子通常稱為行列式按第一行元素的展開式. 回顧和小結(jié)小結(jié)：1. 二三階行列式的定義； 2. 全排列及其逆序數(shù)； 3. 階行列式的定義。復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：1.計算三階行列式 2.求排列的逆序數(shù).作業(yè)題：習(xí)題一：第1（1,3）、2（2,4,6）實施情況

6、及分析1.通過學(xué)習(xí)學(xué)員理解了二、三階行列式和全排列及的定義概念,會計算二、三階行列式；2.對其逆序數(shù)等方面的應(yīng)用有待加強(qiáng).第（ 2 ）次課 授課時間（ ）教學(xué)章節(jié)第一章第四、五節(jié)學(xué)時2學(xué)時教材和參考書線性代數(shù)(第4版)同濟(jì)大學(xué)編1. 教學(xué)目的：掌握對換的概念；掌握階行列式的性質(zhì)，會利用階行列式 的性質(zhì)計算階行列式的值；2. 教學(xué)重點：行列式的性質(zhì)；3. 教學(xué)難點：行列式的性質(zhì).1. 教學(xué)內(nèi)容：對換；行列式的性質(zhì)；2. 時間安排：2學(xué)時；3. 教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4. 教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示. 基本內(nèi)容備注第四節(jié)  對換 對換的定義：在排列中,將任意兩個元素對調(diào),其余元

7、素不動,這種作出新排列的手續(xù)叫做對換將相鄰兩個元素對調(diào),叫做相鄰對換例： .定理1  一個排列中的任意兩個元素對換,排列改變奇偶性. 推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù),偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù).證明 ： 由定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為0),因此知推論成立定理2 ：階行列式為： 其中為的逆序數(shù).（以4階行列式為例,對證明過程作以說明）（補(bǔ)充）定理3 階行列式也可定義為其中和 是兩個級排列,為行標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和.練習(xí)：試判斷和是否都是六階行列式中的項.第五節(jié)  行列式的性質(zhì)轉(zhuǎn)置行列式的定義 記

8、 = ()行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式（依次將行換成列）一、階行列式的性質(zhì)性質(zhì) 1：  行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.由此知，行與列具有同等地位.關(guān)于行的性質(zhì)，對列也同樣成立，反之亦然.如: 以r表示第i行，表示第j列.交換兩行記為,交換i,j兩列記作.性質(zhì) 2： 行列式互換兩行（列），行列式變號.     推論：  行列式有兩行（列）相同，則此行列式為零. 性質(zhì) 3： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以數(shù) ,等于用數(shù)乘以該行列式.     推論：  行列式的某一行（

9、列）所有元素的公因子可以提到行列式符號外. 性質(zhì) 4：  行列式中有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例，則此行列式為零. 性質(zhì) 5：  若行列式中某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個行列式之和. 即若 則 +.性質(zhì) 6：  把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù)再加到另一行（列）上，則該行列式不變. 二、階行列式的計算：例1. 計算.解： .例2. . (推廣至階，總結(jié)一般方法)例3. 證明：.證明： 左端.例4. 計算階行列式.(利用遞推法計算)例5. ， 證明： .回顧和小結(jié)小結(jié)：對換和階行列式的性質(zhì)與計算1. 對換的定義及兩個定理; 2. 階行列式的性質(zhì)與計

10、算；復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：1.把排列54132作一次對換變?yōu)?4135,問相當(dāng)于作幾次相鄰對換？把排列12345作偶數(shù)次對換后得到的新排列是奇排列還是偶排列？2.計算： .作業(yè)題：習(xí)題一：第3，4（2，4）,5(2,4,5)實施情況及分析1.通過學(xué)習(xí)學(xué)員掌握了階行列式的定義和對換的概念；2.對利用階行列式的定義和對換等方面的應(yīng)用有待加強(qiáng).第（ 3 ）次課 授課時間（ ）教學(xué)章節(jié)第一章第六節(jié)學(xué)時2學(xué)時教材和參考書1.線性代數(shù)(第4版)同濟(jì)大學(xué)編；1. 教學(xué)目的：了解余子式和代數(shù)余子式的概念；掌握行列式按行（列）展開；2. 教學(xué)重點：行列式按行（列）展開；3. 教學(xué)難點：行列式按行（列）展開.

11、1. 教學(xué)內(nèi)容：行列式按行（列）展開；2. 時間安排：2學(xué)時；3. 教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4. 教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示. 基本內(nèi)容備注 第六節(jié)  行列式按行（列）展開 定義 在階行列式中，把元素所處的第行、第列劃去，剩下的元素按原排列構(gòu)成的階行列式，稱為的余子式，記為；而稱為的代數(shù)余子式. 引理 如果階行列式中的第行除外其余元素均為零，即： .則：. 證 先證簡單情形： 再證一般情形： 定理  行列式等于它的任意一行（列）的各元素與對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 按行： 按列： 證： （此定理稱為行列式按行（列）展開定理）例1 ：.解:  例

12、2: 解: .從而解得 .例3證明范德蒙行列式.其中，記號“”表示全體同類因子的乘積.證 用歸納法因為 所以，當(dāng)n=2時，（4）式成立.現(xiàn)設(shè)（4）式對時成立，要證對時也成立.為此，設(shè)法把降階；從第行開始，后行減去前行的倍，有（按第一列展開，并提出因子）階范德蒙行列式=定理的推論  行列式一行（列）的各元素與另一行（列）對應(yīng)各元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，即 按列： 結(jié)合定理及推論，得 ，其中例4. 計算行列式的值?；仡櫤托〗Y(jié)小結(jié)：行列式按行（列）展開。1. 余子式和代數(shù)余子式的概念; 2. 行列式按行（列）展開;復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：設(shè):求第一行各元素的代數(shù)余子式之和作業(yè)題：習(xí)題

13、一:第7（2，3，5，6）實施情況及分析1.通過學(xué)習(xí)學(xué)員理解了余子式和代數(shù)余子式的概念，掌握行列式按行（列）展開；2.對利用行列式按行（列）展開的方法計算行列式等方面的應(yīng)用有待加強(qiáng).第（ 4 ）次課 授課時間（ ）教學(xué)章節(jié)第一章第七節(jié)學(xué)時2學(xué)時教材和參考書線性代數(shù)(第4版)同濟(jì)大學(xué)編1. 教學(xué)目的：了解克拉默法則的內(nèi)容,了解克拉默法則的證明,會利用克拉默法則求解含有個未知數(shù)個方程的線性方程組的解；2. 教學(xué)重點：克拉默法則的應(yīng)用；3. 教學(xué)難點：克拉默法則的應(yīng)用.1. 教學(xué)內(nèi)容：克拉默法則；2. 時間安排：2學(xué)時；3. 教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4.教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示. 基本內(nèi)容

14、備注第七節(jié)  克拉默法則 含有個未知數(shù)的個方程的線性方程組 （1）與二、三元線性方程組相類似 ,它的解可以用階行列式表示.定理1（Cramer法則）如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零 ,即 ,則方程組(1)有且僅有一組解： , , , (2)其中是把系數(shù)行列式中的第列的元素用方程組右端的常數(shù)列代替 ,而其余列不變所得到的階行列式.(證明在第二章) 當(dāng)全為零時,即 稱之為齊次線性方程組.顯然 ,齊次線性方程組必定有解(）.根據(jù)克拉默法則,有 1齊次線性方程組的系數(shù)行列式時 ,則它只有零解（沒

15、有非零解） 2反之,齊次線性方程組有非零解 ,則它的系數(shù)行列式. 例1求解線性方程組解:系數(shù)行列式同樣可以計算  ,  , , 所以 , , ,.注意： 1. 克萊姆法則的條件：個未知數(shù) ,個方程 ,且2. 用克萊姆法則求解方程組運(yùn)算量大一般不采用它求解方程組。3. 克萊姆法則具有重要的理論意義。4. 克萊姆法則說明線性方程組的解與它的系數(shù)、常數(shù)項之間的依存關(guān)系.例2. 用克拉默法則解方程組例3. 已知齊次線性方程組有非零解 ,問應(yīng)取何值？解 系數(shù)行列式由： ,得回顧和小結(jié)小結(jié)：克拉默法則.1.

16、內(nèi)容; 2.應(yīng)用.復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時,能否用克拉默法則解方程組?為什么?此時方程組的解為何?作業(yè)題：習(xí)題一第8（2）、9（2 ,4）實施情況及分析1.通過學(xué)習(xí)學(xué)員理解了解克拉默法則的內(nèi)容 ,了解克拉默法則的證明 ,會利用克拉默法則求解含有個未知數(shù)個方程的線性方程組的解；2.對利用克拉默法則等方面的應(yīng)用有待加強(qiáng).第（5）次課 授課時間（ ）教學(xué)章節(jié)第二章第一、二節(jié)學(xué)時2學(xué)時教材和參考書1.線性代數(shù)(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2. 同濟(jì)大學(xué) 胡一鳴編線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解;3.孫建東等編線性代數(shù)知識點與典型例題解析。1.教學(xué)目的：了解矩

17、陣的概念；掌握矩陣的運(yùn)算；2.教學(xué)重點：矩陣的概念和矩陣的運(yùn)算；3.教學(xué)難點：矩陣的概念和矩陣的運(yùn)算。1.教學(xué)內(nèi)容：矩陣；矩陣的運(yùn)算；2.時間安排：2學(xué)時；3.教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4.教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示。 基本內(nèi)容備注第一節(jié) 矩陣一、矩陣的定義   稱行、列的數(shù)表 為矩陣，或簡稱為矩陣；表示為或簡記為,或或；其中表示中第行，第列的元素。  其中行列式為按行列式的運(yùn)算規(guī)則所得到的一個數(shù)；而矩陣是 個數(shù)的整體,不對這些數(shù)作運(yùn)算。 例如，公司的統(tǒng)計報表,學(xué)生成績登記表等,都可寫出相應(yīng)的矩陣。設(shè)，都是 矩陣，當(dāng)     &

18、#160;      則稱矩陣與相等,記成。二、特殊形式 階方陣： 矩陣 行矩陣 ：矩陣（以后又可叫做行向量），記為列矩陣 ：矩陣（以后又可叫做列向量），記為 零矩陣 ：所有元素為的矩陣,記為 對角陣 ：對角線元素為,其余元素為的方陣，記為 單位陣 ：對角線元素為1，其余元素為0的方陣，記為 三、線性變換的系數(shù)矩陣 線性變換的定義：設(shè)變量能用變量線性表示，即這里為常數(shù)。這種從變量到變量的變換稱為線性變換。 線性變換由個元函數(shù)組成，每個函數(shù)都是變量的一次冪，故而稱之為線性變換。上式的系數(shù)可構(gòu)成一個矩陣 稱之為線性變換的系數(shù)矩陣。 線性變換和系數(shù)矩

19、陣是一一對應(yīng)的。如,直角坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換（變量到變量的變換）的系數(shù)矩陣為 .恒等變換 的系數(shù)矩陣為 例. 同樣，齊次線性方程組 與系數(shù)矩陣 ，也是一一對應(yīng)的. 非齊次線性方程組與增廣矩陣 也是一一對應(yīng)的。第二節(jié) 矩陣的運(yùn)算一、加法 設(shè)，,都是矩陣,則加法定義為 顯然, ， 二、數(shù)乘   設(shè)是數(shù),是矩陣,則數(shù)乘定義為   顯然 ， ， 三、乘法 乘法運(yùn)算比較復(fù)雜,首先看一個例子 設(shè)變量 到變量的線性變換為 變量 到變量的線性變換為 那么,變量 到變量的線性變換應(yīng)為 即定義矩陣 和 的乘積為 按以上方式定義的乘法具有實際意義.由此推廣得到一般定義  

20、0;     設(shè) ，,則乘法定義為 其中 注：兩個矩陣相乘要求前一個矩陣的列數(shù)等于后一個矩陣的行數(shù)；乘積矩陣的行數(shù)為前一個矩陣的行數(shù),列數(shù)為后一個矩陣的列數(shù)；乘積矩陣的第行，第列元素為前一個矩陣的第行元素與后一個矩陣的第行元素對應(yīng)相乘再相加。 例：設(shè) , ，則 例:設(shè)，求及。解： ，由此發(fā)現(xiàn)：（1），（不滿足交換律） （2），但卻有。一個必須注意的問題 ： 1若，, ,則 成立,當(dāng) 時, 不成立； 2即使，,則 是階方陣,而是階方陣；3. 如果 , 都是階方陣,例如，則 ，而 綜上所述,一般 （即矩陣乘法不滿足交換率）。 下列性質(zhì)顯然成立： ， ,幾個運(yùn)

21、算結(jié)果： 1 . ；2. ；3 .若為矩陣,是階單位陣,則;若是階單位陣,則；4.線性變換的矩陣表示： 設(shè) , , 則 5線性方程組的矩陣表示： ,則 矩陣的冪:. 例.證明證明 用歸納法：時,顯然成立,假定時成立,則時 從而結(jié)論成立. 由于 是直角坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)角度變換的系數(shù)矩陣,故而是旋轉(zhuǎn)了角度變換的系數(shù)矩陣. 四、轉(zhuǎn)置 設(shè) ，記則稱是的轉(zhuǎn)置矩陣。 顯然， ， ， ， 。對稱矩陣的定義:若矩陣滿足（即）,則稱是對稱陣 例.設(shè)是矩陣,證明是階對稱陣,是階對稱陣. 例.設(shè) ,且,為階單位陣, , 證明: 是對稱陣，. 證明 ， 故是對稱陣。 五、方陣的行列式 為階方陣，其元素構(gòu)成的階行列式稱為方陣的

22、行列式,記為或。 顯然， ， ， 。例.設(shè) 記 ， 其中是的代數(shù)余子式,稱為的伴隨陣. 證明：. 證明 設(shè) 設(shè) 例.設(shè) 為階實方陣,且,求 . 解：注意到 由 ，得，由于 ,故. 六、共軛矩陣 為復(fù)矩陣, 為 的共軛復(fù)數(shù),則稱為 的共軛矩陣. 顯然, , ,回顧和小結(jié)小 結(jié)：矩陣的概念和矩陣的運(yùn)算： 1. 矩陣的概念; 2. 矩陣的運(yùn)算;復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：1.矩陣與行列式的有何區(qū)別?2. 設(shè)與為階方陣，問等式 成立的充要條件是什么?作業(yè)題：習(xí)題二第2、3、4（2，3，5）、7實施情況及分析 1 .通過學(xué)習(xí)使學(xué)員理解矩陣的概念,掌握了矩陣的運(yùn)算； 2.對利用矩陣的運(yùn)算法則的應(yīng)用有待加強(qiáng).

23、第（6）次課 授課時間（ ）教學(xué)章節(jié)第二章第三節(jié)學(xué)時2學(xué)時教材和參考書1.線性代數(shù)(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2. 同濟(jì)大學(xué) 胡一鳴編線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解；3.孫建東等編線性代數(shù)知識點與典型例題解析。1. 教學(xué)目的：理解逆矩陣的概念；掌握逆矩陣的性質(zhì)和計算方法；2. 教學(xué)重點：逆矩陣概念和計算；3.教學(xué)難點：逆矩陣概念和計算。1. 教學(xué)內(nèi)容：逆矩陣；2. 時間安排：2學(xué)時；3. 教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4. 教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示。 基本內(nèi)容備注第三節(jié) 逆矩陣一、逆陣的定義引入：設(shè)給定一個線性變換可表示為矩陣方程 （1）其中 ，,由克萊姆法則知,若,則(1)有唯一解。如果存在階方陣,使

24、得,則(1)的解可用矩陣乘積表出： （2）稱為矩陣方程(2)的解。定義 設(shè)為階方陣,若存在一個階方陣，使得,則稱方陣可逆,并稱方陣為的逆矩陣,記作， 若,則性質(zhì)1 若存在,則必唯一.證明 設(shè)、都是的逆陣，則有（唯一）.性質(zhì)2 若可逆，則也可逆，且證明 可逆,從而也可逆,且。性質(zhì)3 若可逆,則可逆,且證明 從而 ，于是 性質(zhì)4 若同階方陣、都可逆，則也可逆，且 證明 所以可逆,且二、逆陣存在的條件及逆陣的求法定義3. 由的行列式中元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的階方陣,記作,即 稱為的伴隨矩陣.例1.設(shè) , 求解: 因為 ，,，, ， 所以 定理 方陣可逆 且 證明 必要性： 可逆,即有存在,使得， 兩邊

25、取行列式得 故 充分性：由行列式的性質(zhì)7和Laplace定理知于是 因為 ，故有 從而 推論 設(shè)為階方陣,若存在階方陣,使得，(或)，則。證明：，故存在。 于是 注：求時，只需要驗算，計算量減半。 例2. 判斷下列方陣,是否可逆? 若可逆，求其逆陣。解：，所以不可逆，可逆，并且三、用逆矩陣法解線性方程組在第一節(jié)中，線性方程組可表示為矩陣方程，若，則，得到的解。例3 解線性方程組解：其矩陣式為 因 , 所以 所以其解為 例4 求解矩陣方程，其中，.解：易知，則回顧和小結(jié)小結(jié)：1 1逆矩陣的概念2 2矩陣可逆的充分必要條件 3利用伴隨矩陣求逆矩陣復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：試分析以下給出的解答的錯誤

26、,并給出正確的解答.已知，求錯誤解法:由于,所以存在故有作業(yè)題：習(xí)題11-1第3（1,3）、4（2,4）實施情況及分析1.通過學(xué)習(xí)學(xué)員理解逆矩陣的概念和矩陣可逆的充分必要條件,會利用伴隨矩陣求逆矩陣；2.對利用伴隨矩陣求逆矩陣等方面的應(yīng)用有待加強(qiáng)。第（7）次課 授課時間（ ）教學(xué)章節(jié)第二章第四節(jié)學(xué)時2學(xué)時教材和參考書1.線性代數(shù)(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2. 同濟(jì)大學(xué) 胡一鳴編線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解；3.孫建東等編線性代數(shù)知識點與典型例題解析。1.教學(xué)目的：掌握矩陣分塊法的運(yùn)算性質(zhì)和方法；2.教學(xué)重點：矩陣分塊；3.教學(xué)難點：矩陣分塊的方法。5. 教學(xué)內(nèi)容：矩陣分塊法；6. 時間安排：2學(xué)時；7.

27、 教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；3. 教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示。 基本內(nèi)容備注第四節(jié)  矩陣分塊法引例：設(shè) 可按以下方式分塊，每塊均為小矩陣： ， ，, 則。矩陣分塊法是用若干條橫線和若干條豎線將矩陣分割成幾個小矩陣。矩陣分塊法的運(yùn)算性質(zhì)： 1加法： 設(shè)， 則.2數(shù)乘： 設(shè) ，是數(shù)，則 . 3乘法： 設(shè) ，則 其中， 4轉(zhuǎn)置： 設(shè)，則5對角分塊的性質(zhì)：     設(shè) ，其中均為方陣，則 。    若可逆，則例: ，求。 解 ：設(shè)， ，則。 ， ，則例 設(shè)，為可逆方陣,求。 解 設(shè)，則由得 ，其中, 按乘

28、法規(guī)則，得 解得： ， ， , 故 。 例 設(shè)，證明幾個矩陣分塊的應(yīng)用：1矩陣按行分塊： 設(shè)，記 , 則 矩陣按列分塊： 記 則 。 2線性方程組的表示： 設(shè) 若記 ， 則線性方程組可表示為 。 若記，則線性方程組可表示為 或 。 若記 ，則線性方程組可表示為 或 。 3矩陣相乘的表示： 設(shè) ， 則 設(shè)，則 ，其中 是 矩陣，是 , 是4對角陣與矩陣相乘：，。回顧和小結(jié)小結(jié)：矩陣分塊法1運(yùn)算性質(zhì)； 2方法;復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：設(shè)其中都是可逆矩陣。證明可逆,并求.作業(yè)題：習(xí)題二第26、29、30。實施情況及分析1.通過學(xué)習(xí)學(xué)員掌握矩陣分塊法的運(yùn)算性質(zhì)和方法；2.對矩陣分塊法的應(yīng)用方面有待加

29、強(qiáng).第（9）次課 授課時間（ ）教學(xué)章節(jié)第三章 第3節(jié)學(xué)時2學(xué)時教材和參考書1.線性代數(shù)(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2. 同濟(jì)大學(xué) 胡一鳴編線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解;3.孫建東等編線性代數(shù)知識點與典型例題解析。1.教學(xué)目的：掌握矩陣秩的定義,會求矩陣的秩.2.教學(xué)重點：求矩陣的秩；3.教學(xué)難點：求矩陣的秩1. 教學(xué)內(nèi)容：矩陣的秩；2. 時間安排：2學(xué)時；3. 教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4. 教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示.基本內(nèi)容備注第三節(jié) 矩陣的秩定義1.在矩陣中任取行列,位于這些行列交叉處的個元素,不改變它們在中所處的位置次序而得到的階行列式,稱為矩陣的階子式.矩陣A的k階子式共個.定義2 如果

30、在矩陣中有一個不等于零的階子式 ，且所有的階子式都等于, 則稱 D為的一個最高階非零子式.數(shù) 稱為矩陣的秩，矩陣的秩記成. 零矩陣的秩規(guī)定為0 . 注解: 1.規(guī)定零矩陣的秩規(guī)定為0. 2.若稱為滿秩矩陣. 3.若稱為降秩矩陣. 4. 例4.求矩陣和的秩,其中,問題：經(jīng)過初等變換矩陣的秩變嗎？ 定理 若則.初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例5. 設(shè)求矩陣的秩,并求的一個最高階非零子式. 例6.設(shè),求矩陣及矩陣的秩.例7. 設(shè)已知矩陣的秩的性質(zhì)(1).(2).;(3).若則(4).若可逆,則.(5).(6).(7).(8).若

31、則例8.設(shè)為階矩陣,證明證明 因由性質(zhì)(6), 有 而所以求秩方法：用初等變換把矩陣化成行階梯形矩陣，矩陣的秩 = 此行階梯形矩陣的秩（據(jù)定理1 ）行階梯形矩陣的秩 = 其非零行的行數(shù)（定義2）滿秩陣課堂練習(xí)題回顧和小結(jié)1. 矩陣秩的定義； 2. 利用初等行變換求矩陣的秩復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題1. 復(fù)習(xí)思考題：矩陣的階子式共有多少個？2. 作業(yè)題: P79 8，9，11實施情況及分析1. 通過2小時學(xué)習(xí)，大部分學(xué)員初步掌握了矩陣秩的定義,會利用初等變換求小型矩陣的秩.2. 對求矩陣的秩的運(yùn)算速度、準(zhǔn)確性有待加強(qiáng)。第（10）次課 授課時間（ ）教學(xué)章節(jié)第三章 第4節(jié)學(xué)時2學(xué)時教材和參考書1.線性代數(shù)

32、(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2. 同濟(jì)大學(xué) 胡一鳴編線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解;3.孫建東等編線性代數(shù)知識點與典型例題解析。1.教學(xué)目的：求解一般線性方程組的方法；2.教學(xué)重點：線性方程組的求解方法、步驟；3.教學(xué)難點：線性方程組的求解。1.教學(xué)內(nèi)容：線性方程組的解2.時間安排：2學(xué)時；3.教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4.教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示.基本內(nèi)容備注第四節(jié) 線性方程組的解線性方程組稱為元齊次線性方程組.記稱為方程組的系數(shù)矩陣于是，這個齊次方程組可以記為定理2 元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩 .證明 必要性 設(shè)方程組 有非零解.用反證法來證明 . 假設(shè) ，那么在中應(yīng)有

33、一個階子式 . 根據(jù)Cramer法則，所對應(yīng)的個方程構(gòu)成的齊次線性方程組只有零解，從而原方程組 也只有零解，矛盾. 故 . 充分性 設(shè),對施行初等行變換得到行階梯形矩陣.那么只含 個非零行，不妨設(shè)為于是齊次線性方程組 與同解.把它改寫成這個方程組有 個自由未知量, 因此有非零解.故 有非零解.關(guān)于齊次線性方程組的結(jié)論 方程組僅有零解的充分必要條件是 方程組有非零解的充分必要條件是 當(dāng)齊次線性方程組中未知量的個數(shù)大于方程個數(shù)時，必有這時齊次線性方程組一定有非零解.例1.三元齊次線性方程組是否有非零解？解:由 可知，所以此齊次線性方程組有非零解. 有非零解.解：用初等行變換化系數(shù)矩陣 可知， .

34、齊次線性方程組有非零解.例3求解下列齊次線性方程組(1) (2)解：(1)可得,而,故方程組只有零解: (2)可得,而,故方程組有非零解,通解中含有個任意常數(shù) .原方程組的同解方程組為取為自由未知量(一般取行最簡形矩陣非零行的第一個非零元對應(yīng)的未知量為非自由的), 令,則方程組的全部解(通解)為 (為任意常數(shù))或?qū)懗?向量)形式 . (為任意常數(shù))齊次方程組求解方法: 用矩陣初等行變換將系數(shù)矩陣化成行階梯形矩陣,根據(jù)系數(shù)矩陣的秩可判斷原方程組是否有非零解.若有非零解,繼續(xù)將行階梯形化為行最簡形矩陣,則可求出方程組的全部解(通解).元非齊次線性方程組記 稱為非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣, 稱為增廣

35、矩陣. 于是，這個非齊次方程組可以記為其中定理3 元非齊次線性方程組有解的充分必要條件是 ,其中 為非齊次線性方程組的增廣矩陣. 證明 必要性 設(shè)非齊次線性方程組有解，要證.用反證法, 假設(shè)， 則 可化成 行階梯形矩陣于是得到與原方程組同解的方程組：因為它含有矛盾方程 ，所以這個方程組無解，這與原方程組有解矛盾. 故. 充分性 設(shè).用初等行變換化增廣矩陣為行階梯形矩陣，則中含個非零行 .不妨設(shè)為對應(yīng)的方程組為這個方程組有解. 它與原方程組同解，所以非齊次線性方程組 有解.由上述證明還可得，元非齊次線性方程組有唯一解的充分必要條件是.關(guān)于非齊次線性方程組的結(jié)論 方程組無解充分必要條件是) 方程組

36、有唯一解的充分必要條件是) 方程組有無窮多組解的充分必要條件是),且在任一解中含有個任意常數(shù) .3.判斷下列非齊次線性方程組是否有解 解:用初等行變換化其增廣矩陣 由此可知，, ， 即 ，方程組無解.例4 .取何值時，非齊次線性方程組（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多個解？ 解：用初等行變換把增廣矩陣化為行階梯形矩陣， 由此可知：（1）當(dāng) 時，,方程組有唯一解；（2）當(dāng) ，時，方程組無解；（3）當(dāng), 時，,方程組有無窮多個解。例5求解下列非齊次線性方程組(1) (2)(3)解：（1）可得,而,故方程組有解,且解唯一: , , .(2)可得,故方程組無解.(3) 可得,而,故方程組有解,

37、且有無窮多解,通解中含有個任意常數(shù).與原方程組同解的方程組為 取為自由未知量(一般取行最簡形矩陣非零行的第一個非零元對應(yīng)的未知量為非自由的),令,則方程組的全部解(通解)為 (為任意常數(shù))或?qū)懗?向量)形式 . (為任意常數(shù))例6取何值時,線性方程組 (1)有唯一解? (2)無解? (3)有無窮多解? 有解時求出全部解. 解：方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別為, .(1)當(dāng),即當(dāng)時,方程組有唯一解.,所以，當(dāng)且時,方程組有唯一解.由于,根據(jù)克拉默法則,得到唯一解 .（2）當(dāng)時,可得,故方程組無解.(3)當(dāng)時, 可得,故方程組有無窮多解,通解中含有個任意常數(shù).令 ,則 方 程 組 通 解 為 或.

38、(為任意常數(shù))回顧和小結(jié)一、線性方程組解的存在與判定定理：1、齊次 2、非齊次二、求線性方程組的解的步驟復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題2. 復(fù)習(xí)思考題：P81 18，19，202. 作業(yè)題: P80 12（3），13（1），14，16實施情況及分析1. 通過2小時學(xué)習(xí)，大部分學(xué)員初步掌握了利用初等變換判斷求解線性方程組的方法；2. 利用初等變換判斷求解線性方程組的方法還需要通過多做題來掌握。第（11）次課 授課時間（ ）教學(xué)章節(jié)第四章第1節(jié)學(xué)時2學(xué)時教材和參考書1.線性代數(shù)(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2. 同濟(jì)大學(xué) 胡一鳴編線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解;3.孫建東等編線性代數(shù)知識點與典型例題解析。1.教學(xué)目的：了解n

39、維向量的基本概念，理解線性組合、線性表示、向量組等價的定義；2.教學(xué)重點：線性表示和向量組等價的定義、定理；3.教學(xué)難點：向量組線性表示、向量組等價的證明。1.教學(xué)內(nèi)容：向量組及其線性組合；2.時間安排：2學(xué)時；3.教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4.教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示.基本內(nèi)容備注第一節(jié) 向量組及其線性組合一、維向量 定義1 個有次序的數(shù)所組成的數(shù)組稱為維向量, 這個數(shù)稱為該向量的個分量, 第個數(shù)稱為第個分量. 分量全為實數(shù)的向量稱為實向量, 分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量. 維向量可寫成一行, 也可寫成一列. 按第二章中的規(guī)定, 分別稱為行向量和列向量, 也就是行矩陣和列矩陣, 并規(guī)定

40、行向量與列向量都按矩陣的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算. 因此維列向量與維行向量總看作是兩個不同的向量. 本書中, 列向量用黑體小寫字母等表示, 行向量則用等表示. 所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時, 都當(dāng)作列向量. 幾何中, “空間”通常是作為點的集合, 即作為“空間”的元素是點, 這樣的空間叫做點空間. 我們把3維向量的全體所組成的集合 叫做三維向量空間. 在點空間取定坐標(biāo)系以后, 空間中的點與3維向量空之間有一一對應(yīng) 的關(guān)系, 因此, 向量空間可以類比為取定了坐標(biāo)系的點空間. 在討論向量的運(yùn)算時, 我們把向量看作有向線段; 在討論向量集時, 則把向量看作以為向徑的點, 從而把點的軌跡作為向量

41、集的圖形. 例如點集 是一個平面(不全為), 于是向量集 也叫做向量空間中的平面, 并把作為它的圖形. 類似地, n維向量的全體所組成的集合 叫做維向量空間. 維向量的集合 叫做維向量空間中的維超平面. 二、向量組的概念若干個同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合叫做向量組. 矩陣與向量組的對應(yīng): 一個矩陣的全體列向量是一個含個m維列向量的向量組, 它的全體行向量是一個含m個維行向量的向量組. . 個維列向量所組成的向量組構(gòu)成一個矩陣 ; 個維行向量所組成的向量組構(gòu)成一個矩陣. 又如線性方程的全體解當(dāng)時是一個含無限多個維列向量的向量組. 三、向量組的線性組合與線性表示定義2 給定向量組

42、對于任何一組實數(shù)表達(dá)式 稱為向量組的一個線性組合, 稱為這線性組合的系數(shù). 給定向量組和向量，如果存在一組數(shù) 使則向量是向量組的線性組合, 這時稱向量能由向量組線性表示. 向量能由向量組線性表示，也就是方程組 有解. 定理1 向量能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩, 即. 四、向量組的等價性定義3 設(shè)有兩個向量組及 , 若B組中的每個向量都能由向量組線性表示, 則稱向量組能由向量組線性表示. 若向量組與向量組能相互表示, 則稱這兩個向量組等價. 把向量組和所構(gòu)成的矩陣依次記作和, B組能由組線性表示, 即對每個向量存在數(shù) 使 ,從而 . 這里, 矩陣稱為這一線性表示的系數(shù)矩

43、陣. 由此可知, 若 , 則矩陣的列向量組能由矩陣的列向量組線性表示, 為這一表示的系數(shù)矩陣: 設(shè), , 則 Û Û .同時, 的行向量組能由的行向量組線性表示, 為這一表示的系矩陣: 設(shè), , 則 Û. 設(shè)矩陣與行等價, 即矩陣經(jīng)初等行變換變成矩陣, 則的每個行向量都是的行向量組的線性組合, 即的行向量組能由的行向量組線性表示. 由于初等變換可逆, 知矩陣亦可經(jīng)初等行變換變?yōu)? 從而的行向量組也能由的行向量組線性表示. 于是的行向量組與的行向量組等價. 類似可知, 若矩陣與列等價, 則的列向量組與的列向量組等價. 向量組的線性組合、線性表示及等價等概念, 也可移

44、用于線性方程組: 對方程組的各個方程作線性運(yùn)算所得到的一個方程就稱為方程組的一個線性組合; 若方程組的每個方程都是方程組的線性組合, 就稱方程組能由方程組線性表示, 這時方程組的解一定是方程組的解; 若方程組與方程組能相互線性表示, 就稱這兩個方程組可互推, 可互推的線性方程組一定同解. 按定義3, 向量組能由向量組線性表示, 其涵義是存在矩陣Km´l, 使, 也就是矩陣方程有解. 由上章定理7, 立即可得定理2 向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩, 即 . 推論 向量組與向量組等價的充分必要條件是,其中和是向量組和所構(gòu)成的矩陣. 證明 因為組和組能相互線性

45、表示, 依定理2, 知它們等價的充分必要條件是且 ,而 即得充分必要條件為.例1設(shè)，證明向量能由向量組線性表示, 并求出表示式. 解：根據(jù)定理1, 要證明矩陣與的秩相等, 為此, 把化成行最簡形: ,可見, 因此向量能由向量組線性表示. 由上列行最簡形, 可得方程的通解為,從而得表示式其中可任意取值. 例2設(shè)， ,證明向量組與向量組等價. 證明 記. 根據(jù)定理2的推論, 只要證明,為此把矩陣化成行階梯形: , 可見, ,. 由于矩陣中有不等于的階子式, 故. 又, 于是知 . 因此. 定理3 設(shè)向量組能由向量組線性表示, 則. 證明 記 按定理的條件, 根據(jù)定理2有, 而 因此. 前面我們把定

46、理1與上章定理5對應(yīng), 把定理2與上章定理7對應(yīng), 而定理3可與上章定理8對應(yīng). 事實上, 按定理3的條件, 知有矩陣, 使, 從而根據(jù)上章定理8, 即有. 上述各定理之間的對應(yīng), 其基礎(chǔ)是向量組與矩陣的對應(yīng), 從而有下述對應(yīng): 向量組能由向量組線性表示 Û有矩陣, 使 Û方程有解. 要掌握上述對應(yīng)關(guān)系, 須注意兩個方面: 一方面是把向量組的關(guān)系用矩陣及其運(yùn)算表達(dá)出來, 另一方面是給矩陣及其運(yùn)算以幾何解釋. 例3.設(shè)維向量組構(gòu)成矩陣, 階單位矩陣的列向量叫做維單位坐標(biāo)向量. 證明: 維單位坐標(biāo)向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是. 證明 根據(jù)定理2, 向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是. 而, 又矩陣含n行,