中北大學(xué)數(shù)字分析5-8實(shí)驗(yàn)

1、 實(shí)驗(yàn)類別：數(shù)值分析 專 業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué) 班 級(jí)：13080241 學(xué) 號(hào)：1308024120 姓 名：楊燕中北大學(xué)理學(xué)院實(shí)驗(yàn)五 線性方程組的迭代解法【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】分別選用Jacobi迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法計(jì)算下列方程組的解。【實(shí)驗(yàn)方法與步驟】1、 用C語(yǔ)言對(duì)Jacobi迭代法編程如下：#include<stdio.h>#include<math.h>#define Max_N 10#define Max_M 100#define epsilon 1e-6main()int i,j,k=0,n; double aMax_NMax_N+1,

2、xMax_N,yMax_N+1; double s,temp; printf("nPlease input n value(dim of Ax=b):"); do scanf("%d",&n); if(n>Max_N) printf("nPlease re-input n value:"); while(n>Max_N|n<=0); /*輸入Ax=b的A|b矩陣*/ printf("Input the A(i,j):n"); for(i=0;i<n;i+) for(j=0;j<

3、n+1;j+) scanf("%lf",&aij); for(i=0;i<n;i+) xi=0; while(1) temp=0.0;k+; for(i=0;i<n;i+)s=0;for(j=0;j<n;j+)if(j=i) continue;s+=aij*xj;yi=(ain-s)/aii;temp+=fabs(yi-xi);if(temp<epsilon)printf("Diedaicishuis:%dn",k);printf("Slove is:");for(i=0;i<n;i+)print

4、f("x%d=%fn",i,xi);break;if(k>=Max_M)printf("The method is disconvergent!");return;for(i=0;i<n;i+) xi=yi; 2、 用C語(yǔ)言對(duì)Gauss-Seidol迭代法編程如下：#include<stdio.h>#include<math.h>#define Max_N 10#define Max_M 100#define epsilon 1e-6main()int i,j,k=0,n;double aMax_NMax_N+1,xM

5、ax_N,yMax_N+1;double s,temp;printf("nPlease input n value(dim of Ax=b):"); do scanf("%d",&n); if(n>Max_N) printf("nPlease re-input n value:"); while(n>Max_N|n<=0); /*輸入Ax=b的A|b矩陣*/ printf("Input the A(i,j):n"); for(i=0;i<n;i+) for(j=0;j<n+1;

6、j+) scanf("%lf",&aij); for(i=0;i<n;i+) xi=0;do for(i=0;i<n;i+)s=0;for(j=0;j<n;j+)s+=aij*xj;temp=(ain-s)/aii;xi+=temp;if(k>=Max_M)printf("The method is disconvergent!");return;k+;while(fabs(temp)>epsilon); printf("Diedaicishuis:%dn",k); printf("Sl

7、ove is:");for(i=0;i<n;i+) printf("x%d=%fn",i,xi);3、 用C語(yǔ)言對(duì)SOR方法編程如下：#include<stdio.h>#include<math.h>#define Max_N 10#define Max_M 100#define epsilon 1e-6#define w 1.2main()int i,j,k=0,n;double aMax_NMax_N+1,xMax_N,yMax_N+1;double s,temp;printf("nPlease input n valu

8、e(dim of Ax=b):"); do scanf("%d",&n); if(n>Max_N) printf("nPlease re-input n value:"); while(n>Max_N|n<=0); /*輸入Ax=b的A|b矩陣*/ printf("Input the A(i,j):n"); for(i=0;i<n;i+) for(j=0;j<n+1;j+) scanf("%lf",&aij); for(i=0;i<n;i+) xi=0;

9、do for(i=0;i<n;i+)s=0;for(j=0;j<n;j+)s+=aij*xj;temp=w*(ain-s)/aii;xi+=temp;if(k>=Max_M)printf("The method is disconvergent!");return;k+;while(fabs(temp)>epsilon); printf("Diedaicishuis:%dn",k); printf("Slove is:");for(i=0;i<n;i+) printf("x%d=%fn"

10、;,i,xi);4、分別對(duì)不同精度要求，如由迭代次數(shù)體會(huì)各個(gè)迭代法的收斂快慢； 5、對(duì)方程組使用SOR方法時(shí)，選取松弛因子=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，試看對(duì)算法收斂性的影響，并能找出你所選用的松弛因子的最佳者； 6、給出各種算法的設(shè)計(jì)程序和計(jì)算結(jié)果?！緦?shí)驗(yàn)結(jié)果】1、 方程組分別用Jacobi迭代法，Gauss-Seidol迭代法，SOR方法求得的結(jié)果如下：2、 時(shí)，方程組用Jacobi迭代法求得的結(jié)果分別如下：由以上可知，當(dāng)時(shí)迭代次數(shù)最少，但是收斂效果沒有的時(shí)候好。3、 時(shí)，方程組用Gauss-Seidol迭代法求得的結(jié)果分別如下：由以上可知，當(dāng)時(shí)迭代次數(shù)最少，但是收斂效果沒有的時(shí)

11、候好。4、 時(shí)，方程組用SOR法求得的結(jié)果分別如下：由以上可知，當(dāng)時(shí)迭代次數(shù)最少，但是收斂效果沒有的時(shí)候好。5、 =0.8，0.9，1，1.1，1.2時(shí)，方程組用SOR方法求得的結(jié)果分別如下：由以上可知，=1時(shí)收斂速度最快，效果也好。【思考】1. Jacobi迭代法與Gauss-Seidol迭代法的聯(lián)系與區(qū)別？Gauss-Seidol迭代法是Jacobi迭代法的改進(jìn)。Gauss-Seidol迭代法在Jacobi迭代法公式的基礎(chǔ)上利用已經(jīng)計(jì)算出來(lái)的最新分量，Gauss-Seidol迭代法每迭代一次只需計(jì)算一次矩陣與向量的乘法，提高了程序的運(yùn)行效率。2. Gauss-Seidol迭代法與SOR法的

12、聯(lián)系與區(qū)別？SOR法是Gauss-Seidol迭代法的改進(jìn)。SOR法是在Gauss-Seidol迭代法公式的基礎(chǔ)上加入了松弛因子，SOR法每迭代一次主要運(yùn)算量是計(jì)算一次矩陣與向量的乘法。3. 三種方法優(yōu)缺點(diǎn)的比較？Jacobi迭代法計(jì)算是三種方法中最簡(jiǎn)單的，但是同時(shí)誤差也是相對(duì)較大的，而且它的收斂性由矩陣決定；Gauss-Seidol迭代法的誤差較Jacobi迭代法來(lái)說(shuō)要小一點(diǎn)，同時(shí)收斂性的判定比Jacobi迭代法要容易一點(diǎn)，但是計(jì)算量也要比Jacobi迭代法復(fù)雜一些；SOR法是三種方法誤差最小的，而且它的收斂性由松弛因子決定，但是它的計(jì)算過(guò)程也是最復(fù)雜的，而且松弛因子的選取沒有準(zhǔn)確的定理，一

13、般都要靠自己去找哪個(gè)的收斂速度最快。4. 松弛因子怎樣合理選?。坷肧OR方法最佳松弛因子理論。- 11 - 實(shí)驗(yàn)類別：數(shù)值分析 專 業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué) 班 級(jí)：13080241 學(xué) 號(hào)：1308024120 姓 名：楊燕中北大學(xué)理學(xué)院實(shí)驗(yàn)六 非線性方程求根【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】設(shè)方程有三個(gè)實(shí)根, ，現(xiàn)采用下面四種不同計(jì)算格式，求的根。1、 2、 3、 4、 【實(shí)驗(yàn)方法與步驟】1、編制一個(gè)程序進(jìn)行運(yùn)算，給出每種迭代格式的斂散情況（1）迭代公式為，用C語(yǔ)言編寫迭代程序如下：#include <stdio.h>#include <math.h>#define e 1e-10doubl

14、e f (double x)return(3*x+1)/(x*x);void main() int i; double x1,x2=-3; for(i=0;fabs(x2-x1)>=e;i+) x1=x2; x2=f(x1); printf("the solve is:n"); printf("x=%20.16lfni=%dn",x2,i);（2）迭代公式為，用C語(yǔ)言編寫迭代程序如下：#include <stdio.h>#include <math.h>#define e 1e-10double f (double x)re

15、turn(x*x*x-1)/3);void main() int i; double x1,x2=1.3; for(i=0;fabs(x2-x1)>=e;i+) x1=x2; x2=f(x1); printf("the solve is:n"); printf("x=%20.16lfni=%dn",x2,i);（3）迭代公式為，用C語(yǔ)言編寫迭代程序如下：#include <stdio.h>#include <math.h>#define e 1e-10double f (double x)return(pow(3*x+1,1

16、.0/3);void main() int i; double x1,x2=1; for(i=0;fabs(x2-x1)>=e;i+) x1=x2; x2=f(x1); printf("the solve is:n"); printf("x=%20.16lfni=%dn",x2,i); #include<stdio.h>#include<math.h>#define e 1e-10double f(double x) return (pow(3*x-1,1.0/3.0);void main() int i; double x

17、1,x2=1.5; for(i=0;fabs(x2-x1)>=e;i+) x1=x2; x2=f(x1); printf("the solve is:n"); printf("x=%20.16lfni=%dn",-x2,i);（4）迭代公式為，用C語(yǔ)言編寫迭代程序如下：#include <stdio.h>#include <math.h>#define e 1e-10double f (double x)return(sqrt(3+1/x);void main()int i;double x1,x2=-3.0;for(i=0

18、;fabs(x2-x1)>=e;i+)x1=x2;x2=f(x1); printf("the solve is:n"); printf("x=%20.16lfni=%dn",x2,i); 2、用事后誤差估計(jì)來(lái)控制迭代次數(shù)，并且打印出迭代的次數(shù)； 3、分析初始值的選取對(duì)迭代收斂有何影響； 4、分析迭代收斂和發(fā)散的原因。【實(shí)驗(yàn)結(jié)果】1、（1）迭代格式為，用C語(yǔ)言編寫迭代程序結(jié)果如下：又因?yàn)榈降膶?dǎo)數(shù)為,且，則從滿足收斂條件的角度來(lái)說(shuō)，則只能求出。 （2）迭代格式為，用C語(yǔ)言編寫迭代程序結(jié)果如下：又因?yàn)榈降膶?dǎo)數(shù)為,且，則從滿足收斂條件的角度來(lái)說(shuō)

19、，則只能求出。（3）迭代格式為，用C語(yǔ)言編寫迭代程序結(jié)果如下： 又因?yàn)榈降膶?dǎo)數(shù)為,且，則從滿足收斂條件的角度來(lái)說(shuō)，則能求，。（4）迭代格式為，用C語(yǔ)言編寫迭代程序結(jié)果如下：又因?yàn)榈降膶?dǎo)數(shù)為,且，則從滿足收斂條件的角度來(lái)說(shuō)，且，則只能求正根?！舅伎肌?. 什么是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，如何確定函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)等價(jià)于原函數(shù)的零點(diǎn)？將方程改寫成等價(jià)的形式，若要求滿足，則；反之亦然。稱是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。求得零點(diǎn)就等價(jià)與求的不動(dòng)點(diǎn)。2. 牛頓法是否總是收斂，應(yīng)如何選取初始值？當(dāng)時(shí)牛頓迭代法收斂。牛頓法的初始值應(yīng)該與零點(diǎn)靠的很近。3. 為保證迭代法的收斂性應(yīng)如何選擇迭代格式？當(dāng)已知方程的一個(gè)近似根時(shí)，一般選用

20、牛頓法進(jìn)行迭代，迭代格式為；當(dāng)方程的一階導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)，一般選用簡(jiǎn)化牛頓法，迭代格式為，其中；當(dāng)已知方程的兩個(gè)近似根時(shí)，一般選用弦截法進(jìn)行迭代，迭代格式為；當(dāng)已知方程的三個(gè)近似根時(shí)，一般選用拋物線法，迭代格式為，其中。- 5 - 實(shí)驗(yàn)類別：數(shù)值分析 專 業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué) 班 級(jí)：13080241 學(xué) 號(hào)：1308024120 姓 名：楊燕中北大學(xué)理學(xué)院實(shí)驗(yàn)七 矩陣特征值計(jì)算【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】設(shè)矩陣A的特征分布為： 且，利用冪法或反冪法，求方陣的按模最大或按模最小特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量。試求下列矩陣： 求及，取,，結(jié)果, 【實(shí)驗(yàn)方法與步驟】1、用冪法求矩陣部分特征值的算法并給出相關(guān)程序設(shè)計(jì)，程序如下

21、： #include <stdio.h>#include <math.h>#define N 3 void main() double aNN,uN;double s,mu0,mu=-1000,vN; double eps=1e-5; int i,j,k;printf("請(qǐng)輸入初始值u0:n");for(i=0;i<N;i+)scanf("%lf",&ui);printf("請(qǐng)輸入矩陣a:n");for(i=0;i<N;i+)for(j=0;j<N;j+)scanf("%lf",&aij);for(k=1;fabs(mu-mu0)>=eps;k+) mu0=mu; for(i=0;i<N;i+) s=0; for(j=0;j<N;j+) s+=aij*uj; vi=s; mu=v0; for(i=0;i<N;i+) if(fabs(mu)<fabs(vi) mu=vi; f