專題：分式運算中的常用技巧

1、初中數(shù)學專題：分式運算中的常用技巧編稿老師徐文濤一校楊雪二校黃楠審核劉敏一、考點突破知識點考綱要求命題角度備注分式的性質(zhì)掌握利用分式的基本性質(zhì)進行約分和通分分式的運算綜合運用1. 利用設(shè)k的方法進行分式化簡與計算2. 利用公式進行分式化簡與計算3. 利用整體通分的思想對分式進行化簡與計算常考二、重難點提示重點：1. 掌握設(shè)參數(shù)法進行分式運算；2. 利用公式變形進行分式運算；3. 掌握整體通分的思想方法。難點： 會選用恰當?shù)姆椒ń鉀Q與分式有關(guān)的問題。微課程1：設(shè)k求值【考點精講】運用已知條件，求代數(shù)式的值是數(shù)學學習的重要內(nèi)容之一。除了常規(guī)代入求值法，還要根據(jù)題目的特點，靈活運用恰當?shù)姆椒ê图记桑?/p>

2、才能達到預(yù)期的目的。如果代數(shù)式字母較多，式子較繁，為了使求值簡便，有時可增設(shè)一些參數(shù)，以便溝通數(shù)量關(guān)系，設(shè)k求值，也叫做設(shè)參數(shù)法。通常是用含有字母的代數(shù)式來表示變量，這個代數(shù)式叫作參數(shù)式，其中的字母叫做參數(shù)。參數(shù)法，是許多解題技巧的源泉?！镜淅觥?例題1 已知，求的值。思路導(dǎo)航：首先設(shè)，則可得a3k，b4k，c5k，然后將其代入，即可求得答案。答案：解：設(shè)（k0），則a3k，b4k，c5k，所以點評：本題考查了運用設(shè)k值的方法求分式的值，用“設(shè)k法”表示出a、b、c可以使運算更加簡便。例題2 已知a，b，c均不為0，且，求的值。思路導(dǎo)航：仔細觀察，只要a、b、c用同一個未知數(shù)表示，就可以約

3、去分式中的未知數(shù)。所以，設(shè)k，用k來表示a、b、c，然后將其代入所求的分式即可。答案：解：設(shè)k，則a2b5k，3bc3k，2ca7k，由得，2b2c12k，bc6k，由，得4b9k，bk，分別代入、得，ak，ck，例題3 已知，計算。思路導(dǎo)航：設(shè)k，得bcak，acbk，abck；然后將三式相加即可求出k的值，代入即可求值。答案：解：設(shè)k，得bcak，acbk，abck；把這3個式子相加得2（abc）（abc）k若abc0，abc，則k1若abc0，則k2當k1時，原式1，當k2時，原式8。點評：用含k的代數(shù)式表示出a，b，c的值是解決本題的突破點?！究偨Y(jié)提升】設(shè)k求值解題的基本步驟（1）設(shè)參

4、數(shù)k，即選擇適當?shù)膮?shù)k（參數(shù)的個數(shù)可取一個或多個）；（2）建立含有參數(shù)的方程或代數(shù)式；（3）消去參數(shù)，即通過運算消去參數(shù)，使問題得到解決。例：已知，求的值。解：設(shè)，于是有，所以0。微課程2：活用公式變形【考點精講】完全平方公式和平方差公式是數(shù)學中的兩個重要的乘法公式，也是同學們解題時常出錯的難點。在進行運算時，若能根據(jù)公式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當?shù)姆椒?，靈活應(yīng)用公式，可使問題化繁為簡，收到事半功倍的效果，同時掌握其變形特點并靈活運用，可以巧妙地解決很多問題。【典例精析】 例題1 已知a25a10，計算的值。思路導(dǎo)航：讓等式兩邊同時除以a，得到5，然后對進行公式變形即可。答案：解：因為a0，將a2

5、5a10兩邊都除以a整理得：5，所以2（522）22527點評：本題既考查了對完全平方公式的變形，又考查了代數(shù)式求值的方法，同時還隱含了整體的數(shù)學思想和正確運算的能力。解答本題的關(guān)鍵是將看做一個整體代入。例題2 計算思路導(dǎo)航：將原式乘以代數(shù)式，同時再除以代數(shù)式，即可連續(xù)利用平方差公式。答案：解：原式點評：在本題中，原式乘以同一代數(shù)式，之后再除以同一代數(shù)式還原，就可連續(xù)使用平方差公式，分式運算中若恰當使用乘法公式，可使計算簡便。例題3 已知，求的值。思路導(dǎo)航：本題將的分子、分母顛倒過來，即變?yōu)榍蟮闹?，再利用公式變形求值就簡單多了。答案：解：，即?3124。點評：利用x和互為倒數(shù)的關(guān)系，溝通已知

6、條件與所求未知式的關(guān)系，可以使一些分式求值問題的思路豁然開朗，使解題過程更加簡捷。【總結(jié)提升】完全平方公式的常見變形：（1）a2b2（ab）22ab， （2）a2b2（ab）22ab， （3）（ab）2（ab）24ab，（4）a2b2c2（abc）22（abacbc）平方差公式的常見變形： （1）位置變化：（ab）（ba）（b2a2）； （2）符號變化：（ab）（ab）（a2b2）； （3）系數(shù)變化：（3a2b）（3a2b） 9a24b2； （4）指數(shù)變化：（a3b2）（a3b2）a6b4； （5）項數(shù)變化：（a2bc）（a2bc）a2（2bc）2； （6）連用變化：（ab）（ab）（a2b2

7、）（a2b2）（a2b2）a4b4。微課程3：整體通分【考點精講】分式的加減運算過程中，一般要按照運算法則同級運算從左到右計算。異分母分式加減的運算法則是“異分母的分式相加減，先通分變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p?！钡珜τ谝恍┹^為特殊的異分母分式加減運用此規(guī)則顯得麻煩。因而需根據(jù)題型，靈活運用其法則及有關(guān)知識進行解答。在分式計算題中，如果出現(xiàn)了部分整式，我們可以把整式看成一個整體進行通分，從而最終達到解決整個問題的目的?！镜淅觥坷}1 計算：思路導(dǎo)航：題目中既有分式又有整式，不相統(tǒng)一，我們可以尋求能作為整體的部分，那么計算起來可以簡便一些。對于本題可以將后面的部分看做一個整體進行通分。答案：

8、解：原式。點評：本題是求一個分式與一個多項式的和，若把整個多項式看作分母為1的分式，再通分相加，可以使解法更簡便。例題2 計算：思路導(dǎo)航：將后三項看做分母是1，變?yōu)?，整理后，利用完全平方公式即可解答。答案：解：原式點評：本題考查分式的加減，在計算過程中要注意整體思想的運用，運用分式的通分必須注意整個分子和整個分母。注意到與之間的關(guān)系，利用換元法，可以將問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式?！究偨Y(jié)提升】若題目為整式和分式相加減運算，可把整式看做一個整體進行通分計算。解此類題可運用整體思想，把整式看做分母是“1”的一個整體參與計算，可達到簡化目的，使計算簡便。例如：計算分式時，可將a2看做一個整體，將其分母看

9、做“1”進行通分，可使運算過程大大簡化。（答題時間：60分鐘）設(shè)k求值一、選擇題1. 已知x：2y：3z：0.5，則的值是（）A. B. 7 C. 3 D. 2. 若實數(shù)a、b、c、d滿足，則的值是（ ）A. 1或0 B. 1或0 C. 1或2 D. 1或13. 若x是一個不等于0的數(shù)，且x23x10，則等于（）A. B. C. 10 D. 12二、填空題4. 若，則_。5. 若2a3b4c，且abc0，則的值是_。三、解答題6. 若，求的值。7. 已知滿足，求的值。8. 已知，求的值?；钣霉阶冃我弧⑦x擇題1. 化簡（）的結(jié)果是（）A. 4 B. 4 C. 2a D. 2a2. 已知m3，那

10、么m的結(jié)果是（）A. B. C. D. 3. 設(shè)，則（ ）A. B. C. D. 二、填空題4. 已知x24x10，求的值_。5. 已知：（0a1），則_。三、解答題6. 先化簡，后求值：，其中。7. 計算：已知，求的值。整體通分一、選擇題1. 當a3時，則a2的值為（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 62. 已知，則的值是（）A. 3 B. C. 3 D. 3. 計算的結(jié)果為（）A. B. C. D. 二、填空題4. 若a，則_。5. 已知，則_。三、解答題6. 計算：（1）；（2）7. 計算：8. 先化簡，再求值：，其中x3，y2。設(shè)k求值一、選擇題1. B 解析：設(shè)x：2y：3z：

11、0.5a，則可以得出：x2a，y3a，z0.5a，代入中，得原式7。2. D 解析：設(shè)k，則b2ac，c2bd，d2acb2，a2bdc2，由k得，abk，由k得，dakbk2，由k得，cdkbk3，再由k得，k，即：k41，k1。當k1時，原式1；當k1時，原式1。3. A 解析：解：設(shè)，則，。故選A。二、填空題4. 5 解析：由題意，設(shè)x3k，y5k，z7k，原式5。5. 2 解析：設(shè)2a3b4c12k（k0），則a6k，b4k，c3k，所以，原式2。三、解答題6. 解：設(shè)，則原式7. 解：設(shè)，則8. 解：設(shè)，則，。由有，所以，故有或。當時，。當時，。活用公式變形一、選擇題1. A 解析：原式（a2）（a2）4。2. D 解析：（m）2（m）24945，m。3. A 解析：解：，原式二、填空題4. 解析：解：，則。5. 2 解析：解：，且由，可得，。三、解答題6. 解：，當時，原式。7. 解