2018年“大夢杯”福建省初中數學競賽試題+參考答案及評分標準

1、2018年“大夢杯”福建省初中數學競賽試題考試時間 2018年3月18日 9001100 滿分150分一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分）。每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1若關于的方程有兩個相等的實數根，則的值為（ ）A B C D12如圖，、都是正方形，邊長分別為、（）。坐標原點為的中點，、在軸上。若二次函數的圖像過、兩點，則（ ）A B C D（第4題圖）（第3題圖）（第2題圖）3如圖，為的重心，點在延長線上，且，過、的直線交于點，則（ ）A B C D 4如圖，、分別為的

2、垂心、外心，若外接圓的半徑為，則（ ）A B C D5滿足方程的整數對有（ ）A0對 B2對 C4對 D6對二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6已知，為正整數，且。若，是三個連續(xù)正整數的平方，則的最小值為 。7如圖，為矩形，為對角線的中點，、在軸上。若函數（）的圖像過、兩點，則矩形的面積為 。（第8題圖）（第7題圖）8如圖，是邊長為8的正三角形，為邊上一點，為的內切圓，為的邊上的旁切圓。若、的半徑都是，則 。9若實數滿足，則 。其中表示不超過的最大整數。10網絡爬蟲是一種互聯(lián)網網頁抓取工具。其算法與數學的一個重要分支圖論有著密切的聯(lián)系。圖論可以追溯到大數學家歐拉提出的“哥尼斯堡七橋問

3、題”。圖論中討論的圖是由一些節(jié)點和連接這些節(jié)點的線組成的。請你回答下列問題：把一個矩形區(qū)域劃分成個凸多邊形區(qū)域（這些凸多邊形區(qū)域除公共邊外，沒有公共部分）。已知構成這個凸多邊形的頂點中，恰有6個頂點在矩形內，12個頂點在矩形的邊界上（含矩形的頂點）；同時，任何三個頂點不共線（除矩形邊界上的頂點共線外）。若圍成這個凸多邊形的線段中，恰有18條線段在矩形區(qū)域內，則這個凸多邊形中四邊形個數的最大值為 。三、解答題（共4題，每小題20分，共80分）11已知二次函數的圖像交軸于、兩點，且。若函數在上的最小值為，求，的值。12如圖，在圓內接四邊形中，是邊的中點，點在對角線上，且滿足。求證：。（第12題圖）

4、13已知關于的方程的兩根都是素數，求的值。14一個由個單位小方格組成的的方格表中的個小方格被染成了紅色，使得任意兩個紅色小方格的中心之間的距離大于2，求的最大值。2018年“大夢杯”福建省初中數學競賽試題參考答案及評分標準考試時間 2018年3月18日 9001100 滿分150分一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分）。每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1若關于的方程有兩個相等的實數根，則的值為（ ）A B C D1【答案】 A 【解答】依題意，。因此，。 ，。 。2如圖，、都是正方

5、形，邊長分別為、（）。坐標原點為的中點，、在軸上。若二次函數的圖像過、兩點，則（ ）A B C D【答案】 B 【解答】依題意，點坐標為，點的坐標為。（第2題圖）由二次函數的圖像過、兩點，得，消去，得。 ，解得（舍負根）。 。3如圖，為的重心，點在延長線上，且，過、的直線交于點，則（ ）A B C D 【答案】 D 【解答】如圖，連，并延長交于點。（第3題圖） 為的重心，且， 為中點，且，。過點作，交于點。則，。設，則，。 ，。（第3題答題圖）另解：如圖，連，并延長交于點。 為的重心，且， 為中點，且，。 ，。（第3題答題圖）在中，利用梅涅勞斯定理，得。 ，。 。4如圖，、分別為的垂心、外心，

6、若外接圓的半徑為，則（ ）A B C D【答案】 B 【解答】如圖，連結并延長交于點，連、。 為的外心，（第4題圖） 為直徑，。又為的垂心， ，。 ，。 四邊形為平行四邊形，。 ，外接圓的半徑為， ，。（第4題答題圖） 。5滿足方程的整數對有（ ）A0對 B2對 C4對 D6對【答案】 C 【解答】方程化為。依題意，為完全平方數。由，得。結合為整數，得。故，4，。當時，不是完全平方數。當時，不是完全平方數。當時，不是完全平方數。當時，。 方程化為，即，或 ，或，或，或。 ，或，或，或。 滿足方程的整數對有、，共4對。二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6已知，為正整數，且。若，是三個連

7、續(xù)正整數的平方，則的最小值為 。【答案】 【解答】依題意，設，則，為正整數，且。 ，可見為偶數，且。 ，?？梢?，且當增大時，的值也隨之增大。又時，符合要求。 的最小值為。7如圖，為矩形，為對角線的中點，、在軸上。若函數（）的圖像過、兩點，則矩形的面積為 ?！敬鸢浮?【解答】設，則。作于，由為中點，得為中點，且。 。結合（第7題圖），得。 ，。 矩形的面積。（第7題答題圖）8如圖，是邊長為8的正三角形，為邊上一點，為的內切圓，為的邊上的旁切圓。若、的半徑都是，則 ?！敬鸢浮?【解答】如圖，設切的三邊、依次于點、，邊切于點，、的延長線切于點、。則由、的半徑都是，為正三角形，以及切線長性質定理，得（

8、第8題圖），。 。（第8題答題圖） ，。9若實數滿足，則 。其中表示不超過的最大整數?！敬鸢浮?【解答】設，其中為整數，。則。 當時，；當時，；當時，；當時，。 對任意實數，的值具有形式：，為整數。 ，。 ，其中。 。10網絡爬蟲是一種互聯(lián)網網頁抓取工具。其算法與數學的一個重要分支圖論有著密切的聯(lián)系。圖論可以追溯到大數學家歐拉提出的“哥尼斯堡七橋問題”。圖論中討論的圖是由一些節(jié)點和連接這些節(jié)點的線組成的。請你回答下列問題：把一個矩形區(qū)域劃分成個凸多邊形區(qū)域（這些凸多邊形區(qū)域除公共邊外，沒有公共部分）。已知構成這個凸多邊形的頂點中，恰有6個頂點在矩形內，12個頂點在矩形的邊界上（含矩形的頂點）；

9、同時，任何三個頂點不共線（除矩形邊界上的頂點共線外）。若圍成這個凸多邊形的線段中，恰有18條線段在矩形區(qū)域內，則這個凸多邊形中四邊形個數的最大值為 ?！敬鸢浮?【解答】設這個凸多邊形中，有個三角形，個四邊形，個五邊形，個邊形。則這個凸多邊形的內角和為。另一方面，矩形內部有6個頂點，對于每個頂點，圍繞它的多邊形的內角和為。矩形邊界線段內（不含矩形頂點）有8個頂點，在每個頂點處，各多邊形在此匯合成一個平角，其和為。在矩形的每個頂點處，各多邊形在此匯合成一個直角，其和為。因此，這個凸多邊形的內角和為。 。 再考慮這個凸多邊形的邊數。由于每個凸邊形有條邊，因此，這個凸多邊形的邊數和為。另一方面，由條件

10、知，在矩形內部的18條邊，每條邊都是兩個凸多邊形的公共邊，應計算2次。而在矩形邊界上的12個點，得到12條線段，它們都對應某個凸多邊形的邊。因此，這個凸多邊形的邊數和為。 。 由、，消去，得。 。（第10題答題圖）又如圖所示的劃分符合要求，此時，。 的最大值為，即這個凸多邊形中，最多有9個四邊形。三、解答題（共4題，每小題20分，共80分）11已知二次函數的圖像交軸于、兩點，且。若函數在上的最小值為，求，的值?！窘獯稹?函數的圖像交軸于、兩點， ，是方程的兩個實根。 ，。 5分又， ，。 10分 ，在上的最小值為。 時，。 15分由、，解得，。 ，。 20分12如圖，在圓內接四邊形中，是邊的中

11、點，點在對角線上，且滿足。求證：。【解答】 ， 。 。又， 。（第12題圖） 。 5分設、相交于點， ，。 。 。 10分又為邊中點，（第12題答題圖） ，結合 ，得。結合 ，得， 。 15分 ，即。 20分13已知關于的方程的兩根都是素數，求的值?！窘獯稹吭O方程的兩根分別為、，則由韋達定理，知，。 5分顯然，都不等于2，因此，都是奇數。 。 10分若，中有一個數為奇數，不妨設為奇數，則，其中，2，3，4。當時，不是素數，舍去；當時，不是素數，舍去；當時，不是素數，舍去。當時，是素數。此時，也是素數。 ，符合要求。 15分若，都是偶數，則，不妨設，則當，時，不是素數，舍去；當，時，都是素數；當，時，都不是素數，舍去； ，符合要求。綜上所述，或。 20分14一個由個單位小方格組成的的方格表中的個小方格被染成了紅色，使得任意兩個紅色小方格的中心之間的距離大于2，求的最大值。【解答】的最大值為。先考慮一個的方格表，其中有個小