二元二次方程組的解法

1、二元二次方程的解法一、內(nèi)容綜述： 1解二元二次方程組的基本思想和方法 解二元二次方程組的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，這種轉(zhuǎn)化包含“消元”和 “降次”將二元轉(zhuǎn)化為一元是消元，將二次轉(zhuǎn)化為一次是降次，這是轉(zhuǎn)化的基本方法。因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程組的關(guān)鍵。 2二元二次方程組通常按照兩個方程的組成分為“二·一”型和“二·二”型，又分別成為型和型。 “二·一”型是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組；“二·二”型是由兩個二元二次方程組成的方程組。 “二·一”型方程組的解法 （1）代入消元法（即代入法） 代入法是解“二&#

2、183;一”型方程組的一般方法，具體步驟是： 把二元一次方程中的一個未知數(shù)用另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示； 把這個代數(shù)式代入二元二次方程，得到一個一元二次方程； 解這個一元二次方程，求得一個未知數(shù)的值； 把所求得的這個未知數(shù)的值代入二元一次方程，求得另一個未知數(shù)的值；如果代入二元二次方程求另一個未知數(shù)，就會出現(xiàn)“增解”的問題； 所得的一個未知數(shù)的值和相應(yīng)的另一個未知數(shù)的值分別組在一起，就是原方程組的解。 （2）逆用根與系數(shù)的關(guān)系 對“二·一”型二元二次方程組中形如的方程組，可以根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的兩個根，解這個方程，求得的z1和z2

3、的值，就是x、y的值。當(dāng)x1=z1時(shí)，y1=z2；當(dāng)x2=z2時(shí)，y2=z1，所以原方程組的解是兩組“對稱解”。 注意：不要丟掉一個解。 此方法是解“二·一”型方程組的一種特殊方法，它適用于解“和積形式”的方程組。 以上兩種是比較常用的解法。除此之外，還有加減消元法、分解降次法、換元法等，解題時(shí)要注意分析方程的結(jié)構(gòu)特征，靈活選用恰當(dāng)?shù)姆椒ā?注意：（1）解一元二次方程、分式方程和無理方程的知識都可以運(yùn)用于解“二·一”型方程組。（2）要防止漏解和增解的錯誤。 “二·二”型方程組的解法 (i) 當(dāng)方程組中只有一個可分解為兩個二元一次方程的方程時(shí)，可將分解得到的兩個二元

4、一次方程分別與原方程組中的另一個二元二次方程組成兩個“二·一”型方程組，解得這兩個“二·一”型方程組，所得的解都是原方程組的解。 (ii) 當(dāng)方程組中兩個二元二次方程都可以分解為兩個二元一次方程時(shí)，將第一個二元二次方程分解所得到的每一個二元一次方程與第二個二元二次方程分解所得的每一個二元一次方程組成新的方程組，可得到四個二元一次方程組，解這四個二元一次方程組，所得的解都是原方程的解。 注意：“二·一”型方程組最多有兩個解，“二·二”型方程組最多有四個解，解方程組時(shí)，即不要漏解，也不要增解。 二、例題分析： 例1解方程組 分析：仔細(xì)觀察這個方程組，不難發(fā)現(xiàn)

5、，此方程組除可用代入法解外，還可用根與系數(shù)的關(guān)系，通過構(gòu)造一個以x, y為根的一元二次方程來求解。 解法一：由(1)得y=8-x.(3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. 把x1=2代入(3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程組的解是。 解法二：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：x, y是一元二次方程， z2-8z+12=0的兩個根，解這個方程，得z1=2, z2=6. 所以原方程組的解是。 注意：“二·一”型方程組中的兩個方程，如果是以兩數(shù)和與兩數(shù)積的形式給出的，這樣的方程組用根與系數(shù)的關(guān)系解是很方便的。但要特別注意最后

6、方程組解的寫法，不要漏掉。 例2 解方程是x與2y的和,方程是x與2y的積, x與2y是方程z2-4z-21=0的兩個根解此方程得:z1=-3,z2=7, 原方程的解是 說明:此題屬于特殊型的方程組,可用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系來解. 此外型的二元二次方程組,也都可以通過變形用簡便的特殊解法. 例3 解(1)解法一(用代入法) 由得:y= 把代入得: x2-+4()2+x-2=0. 整理得:4x2-21x+27=0 x1=3 x2=. 把x=3代入得:y=1 把x=代入得:y=. 原方程組的解為: 解法二(用因式分解法) 方程(1)可化為(x-2y)2+(x-2y)-2=0 即(x-2y+

7、2)(x-2y-1)=0 x-2y+2=0 或x-2y-1=0 原方程組可化為: 分別解得: 說明:此題為I型二元二次方程組,一般可用代入法求解,當(dāng)求出一個未知數(shù)的值代入求另一個未知數(shù)的值時(shí),一定要代入到二元一次方程中去求,若針對二元二次方程的特點(diǎn),采用特殊解法,則較為簡便. 例4 k為何值時(shí)，方程組。 （1）有兩組相等的實(shí)數(shù)解； （2）有兩組不相等的實(shí)數(shù)解； （3）沒有實(shí)數(shù)解。 分析：先用代入法消去未知數(shù)y，可得到關(guān)于x的一元方程，如果這個一元方程是一元二次方程，那么就可以根據(jù)根的判別式來討論。 解：將(2)代入(1)，整理得k2x2+(2k-4)x+1=0.(3) （1）當(dāng)時(shí)，方程(3)有

8、兩個相等的實(shí)數(shù)根。即 解得：k=1。 當(dāng)k=1時(shí)，原方程組有兩組相等的實(shí)數(shù)根。 （2）當(dāng)時(shí)，方程(3)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。即 解得：k<1且k0. 當(dāng)k<1且k0時(shí)，原方程組有兩組不等實(shí)根。 （3）因?yàn)樵冢?）、（2）中已知方程組有兩組解，可以確定方程(3)是一元二次方程，但在此問中不能確定方程(3)是否是二次方程，所以需兩種情況討論。 (i)若方程(3)是一元二次方程，無解條件是，即 解得：k>1。 (ii)若方程(3)不是二次方程，則k=0，此時(shí)方程(3)為-4x+1=0，它有實(shí)數(shù)根x=. 綜合(i)和(ii)兩種情況可知，當(dāng)k>1時(shí)，原方程組沒有實(shí)數(shù)根。 注意：

9、使用判別式“”的前提條件是能確定方程為一元二次方程，不是一元二次方程不能使用。 例5解方程組 分析：解二元二次方程組的基本思想是先消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程解之。本題用代入法消元。 解：由(1)得y=.(3) 將式(3)代入式(2)，得2x2-3x()+()2-4x+3()-3=0, 化簡，得4x2-13x-35=0, 即 (x-5)(4x+7)=0 x1=5, x2=-. 將x1=5代入(3),得y1=3, 將 x2=-代入(3)，得y2=-. 方程組解是：。 例6解方程組。 分析：此方程組是由兩個二元二次方程組成的方程組，在(1)式的等號左邊分解因式后將二元二次方程轉(zhuǎn)

10、化為一元二次方程。 解：將式(1)分解因式，得 (x+y)(3x-4y)-(3x-4y)=0 即 (3x-4y)(x+y-1)=0 3x-4y=0,或x+y-1=0. 故只需解下面兩組方程組：（1）； （2）。 （1）由3x-4y=0，得y=x，代入x2+y2=25, 得x2+x2=25, x2=16, x=±4, 即x1=4, x2=-4, 將x1和x2代入y=x，得y1=3, y2=-3. （2）由x+y-1=0，得y=1-x，代入x2+y2=25, 得x2+(1-x)2=25,整理，得x2-x-12=0, 即 (x-4)(x+3)=0, x3=4, x4=-3. 當(dāng)x3=4時(shí),

11、 y3=-3;當(dāng)x4=-3時(shí)，y4=4. 故原方程組的解為：;；。 例7解方程組 。 解：原方程組可化為，從而由根與系數(shù)的關(guān)系，知x, -y是方程z2-17z+30=0的兩個根。 解此方程，得z1=2， z2=15。 即，故原方程組的解為。 例8解方程組 分析：觀察方程(2)，把(x-y)看成整體，那么它就是關(guān)于(x-y)的一元二次方程，因此可分解為(x-y-3)(x-y+1)=0，由此可得到兩個二元一次方程x-y-3=0和x-y+1=0。 這兩個二元一次方程分別和方程(1)組成兩個“二·一”型的方程組： 分別解這兩個方程組，就可得到原方程組的解。 解：由(2)得 x-y-3=0或x

12、-y+1=0。 原方程組可化為兩個方程組： 用代入消元法解方程組（1）和（2），分別得： ， 原方程組的解為。 錯誤分析：注意不要將（1）式錯誤分解為（x+y）(x-y)=1,故而分解為（x-y）=1或者（x+y）=1,這樣做是錯的，因?yàn)楫?dāng)右邊0時(shí)，可以分解出無窮多種可能，例如（x+y）(x-y)=1還可以分解為x+y=2,x-y=等等。 例9解方程組 分析：方程(1)的右邊為零，而左邊可以因式分解，從而可達(dá)到降次的目的。方程(2)左邊是完全平方式，右邊是1，將其兩邊平方，也可以達(dá)到降次的目的。 解：由(1)得 , x-4y=0或x+y=0. 由(2)得(x+2y)2=1 x+2y=1或x+2y=-1 原方程組可化為以下四個方程組： 解這四個方程組，得原方程組的四個解是： 注意：不要把同一個二元二次方程分解出來的兩個二元一次方程組成方程組，這樣會出現(xiàn)增解問題，同時(shí)也不要漏解。 例10解方程組 分析：此方程組是“二·二”型方程組，因?yàn)榉匠?1)和(2)都不能分解為兩個二元一次方程，所以需