九年級數(shù)學(xué)圓的性質(zhì)及習(xí)題

1、一、圓的概念集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合； 2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合； 3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；固定的端點O為圓心。連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧。2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條

2、直線；5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點與圓的位置關(guān)系1、點在圓內(nèi) 點在圓內(nèi)；2、點在圓上 點在圓上；3、點在圓外 點在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離 無交點；2、直線與圓相切 有一個交點；3、直線與圓相交 有兩個交點；四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1） 無交點 ；外切（圖2） 有一個交點 ；相交（圖3） 有兩個交點 ；內(nèi)切（圖4） 有一個交點 ；內(nèi)含（圖5） 無交點 ； 五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?（2）弦的垂直平

3、分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??； （3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結(jié)論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論，即： 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在中， 弧弧六、圓心角定理 頂點到圓心的角，叫圓心角。圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結(jié)論，即：； 弧弧七、圓周角定理頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。1、

4、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：和是弧所對的圓心角和圓周角 2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧；即：在中，、都是所對的圓周角 推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在中，是直徑 或 是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。

5、即：在中， 四邊形是內(nèi)接四邊形 九、切線的性質(zhì)與判定定理（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：且過半徑外端 是的切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。 推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：、是的兩條切線 平分十一、圓冪定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦

6、相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在中，弦、相交于點， （2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即：在中，直徑， （3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在中，是切線，是割線 （4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。即：在中，、是割線 十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖：垂直平分。即：、相交于、兩點 垂直平分十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：（1）公切線長：中，；（2）外公

7、切線長：是半徑之差； 內(nèi)公切線長：是半徑之和 。十四、圓內(nèi)正多邊形的計算（1）正三角形 在中是正三角形，有關(guān)計算在中進(jìn)行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計算在中進(jìn)行，： （3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計算在中進(jìn)行，.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式1、扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式： ：圓心角 ：扇形多對應(yīng)的圓的半徑 ：扇形弧長 ：扇形面積2、圓柱： （1）A圓柱側(cè)面展開圖 =B圓柱的體積：（2）A圓錐側(cè)面展開圖=B圓錐的體積： 一、圓的定義。1、以定點為圓心，定長為半徑的點組成的圖形。2、在同一平面內(nèi)，到一個定點的距離都相等的點組成的圖形。二、圓的各元素。1、半徑：圓上

8、一點與圓心的連線段。2、直徑：連接圓上兩點有經(jīng)過圓心的線段。3、弦：連接圓上兩點線段（直徑也是弦）。4、?。簣A上兩點之間的曲線部分。半圓周也是弧。（1）劣弧：小于半圓周的弧。（2）優(yōu)弧：大于半圓周的弧。5、圓心角：以圓心為頂點，半徑為角的邊。6、圓周角：頂點在圓周上，圓周角的兩邊是弦。7、弦心距：圓心到弦的垂線段的長。三、圓的基本性質(zhì)。1、圓的對稱性。（1）圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是直徑所在的直線。（2）圓是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心。（3）圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形。2、垂徑定理。（1）垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分這條弦所對的兩條弧。（2）推論：Ø 平分弦（非直徑）的直徑，垂直于

9、弦且平分弦所對的兩條弧。Ø 平分弧的直徑，垂直平分弧所對的弦。3、圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。圓周角的度數(shù)等于它所對弧度數(shù)的一半。（1）同弧所對的圓周角相等。（2）直徑所對的圓周角是直角；圓周角為直角，它所對的弦是直徑。4、在同圓或等圓中，兩條弦、兩條弧、兩個圓周角、兩個圓心角、兩條弦心距五對量中只要有一對量相等，其余四對量也分別相等。5、夾在平行線間的兩條弧相等。6、設(shè)O的半徑為r，OP=d。d= r 點P在O上d< r（r > d） 點P在O內(nèi)d > r（r <d） 點P在O外7、（1）過兩點的圓的圓心一定在兩點間連線段的中垂線上。 （2）不在同一直線

10、上的三點確定一個圓，圓心是三邊中垂線的交點，它到三個點的距離相等。 （直角三角形的外心就是斜邊的中點。）8、直線與圓的位置關(guān)系。d表示圓心到直線的距離，r表示圓的半徑。 直線與圓有兩個交點，直線與圓相交；直線與圓只有一個交點，直線與圓相切； 直線與圓沒有交點，直線與圓相離。d= r 直線與圓相切。d< r（r > d） 直線與圓相交。d > r（r <d） 直線與圓相離。29、平面直角坐標(biāo)系中，A（x1，y1）、B（x2，y2）。 則AB=10、圓的切線判定。（1）d=r時，直線是圓的切線。 切點不明確：畫垂直，證半徑。（2）經(jīng)過半徑的外端且與半徑垂直的直線是圓的切線。

11、 切點明確：連半徑，證垂直。11、圓的切線的性質(zhì)（補充）。（1）經(jīng)過切點的直徑一定垂直于切線。（2）經(jīng)過切點并且垂直于這條切線的直線一定經(jīng)過圓心。12、切線長定理。13(2)圖x5-xABCDEF567x5-x7-x7-xO12（2）圖1APB·O2（1）切線長：從圓外一點引圓的兩條切線，切點與這點之間連線段的長叫這個點到圓的切線長。（2）切線長定理。 PA、PB切O于點 A、B PA=PB，1=2。13、內(nèi)切圓及有關(guān)計算。（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個內(nèi)角平分線的交點，它到三邊的距離相等。（2）如圖，ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，O切ABC三邊于點D、E、F。 求：AD、

12、BE、CF的長。 分析：設(shè)AD=x，則AD=AF=x，BD=BE=5x，CE=CF=7x. 可得方程：5x7x=6，解得x=3（3）ABC中，C=90°，AC=b，BC=a，AB=c。a-rb-rrABCDEFOrrrb-ra-r 求內(nèi)切圓的半徑r。分析：先證得正方形ODCE，得CD=CE=r AD=AF=br，BE=BF=ar brar=c 得r=（4）SABC=14、（補充）（1）弦切角：角的頂點在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。 如圖，BC切O于點B，AB為弦，ABC叫弦切角，ABC=D。（2）相交弦定理。 圓的兩條弦AB與CD相交于點P，則PA·PB=P

13、C·PD。（3）切割線定理。如圖，PA切O于點A，PBC是O的割線，則PA2=PB·PC。（4）推論：如圖，PAB、PCD是O的割線，則PA·PB=PC·PD。（3）圖PBACDOCBAPOD（2）圖（4）圖DCBAPOB COA D（1）圖15、圓與圓的位置關(guān)系。相切相離（1）外離：d>r1r2， 交點有0個； 外切：d=r1r2， 交點有1個； 相交：r1r2<d<r1r2，交點有2個； 內(nèi)切：d=r1r2， 交點有1個； 內(nèi)含：0d<r1r2， 交點有0個。 （2）性質(zhì)。 相交兩圓的連心線垂直平分公共弦。 相切兩圓的連心線必

14、經(jīng)過切點。16、圓中有關(guān)量的計算。（1）弧長有L表示，圓心角用n表示，圓的半徑用R表示。 L=（2）扇形的面積用S表示。 S= S=（3）圓錐的側(cè)面展開圖是扇形。 r為底面圓的半徑，a為母線長。² 扇形的圓心角=S側(cè)=ar S全=arr2 1、圓的有關(guān)概念與性質(zhì)1.圓上各點到圓心的距離都等于 半徑 。2.圓是 軸 對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的 對稱軸 ；圓又是 中心 對稱圖形， 圓心 是它的對稱中心。3.垂直于弦的直徑平分 這條弦 ，并且平分 弦所對的弧 ；平分弦（不是直徑）的 直徑 垂直于弦，并且平分 弦所對的弧 。4.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩

15、條弦心距，兩個圓周角中有一組量 相等 ，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別 相等 。5.同弧或等弧所對的圓周角 相等 ，都等于它所對的圓心角的 一半 。6.直徑所對的圓周角是 90° ，90°所對的弦是 直徑 。7.三角形的三個頂點確定 1 個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，三角形的外接圓的圓心叫 外 心，是三角形 三邊垂直平分線 的交點。8.與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的 內(nèi)切圓 ，內(nèi)切圓的圓心是三角形 三條角平分線的交點 的交點，叫做三角形的 內(nèi)心 。9.圓內(nèi)接四邊形：頂點都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形10.圓內(nèi)接四邊形對角互補，它的一個外角等于它相鄰內(nèi)角的對角2、與

16、圓有關(guān)的位置關(guān)系1.點與圓的位置關(guān)系共有三種： 點在圓外 ， 點在圓上 ， 點在圓內(nèi) ；對應(yīng)的點到圓心的距離d和半徑r之間的數(shù)量關(guān)系分別為：d > r，d = r，d < r.2.直線與圓的位置關(guān)系共有三種： 相交 ， 相切 ， 相離 ；對應(yīng)的圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的數(shù)量關(guān)系分別為：d < r，d = r，d > r.3.圓與圓的位置關(guān)系共有五種： 內(nèi)含 ， 相內(nèi)切 ， 相交 ， 相外切 ， 外離 ；兩圓的圓心距d和兩圓的半徑R、r（Rr）之間的數(shù)量關(guān)系分別為：d < R-r，d = R-r， R-r < d < R+ r，d = R+r，

17、d > R+r.4.圓的切線 垂直于 過切點的半徑；經(jīng)過 直徑 的一端，并且 垂直于 這條 直徑 的直線是圓的切線.5.從圓外一點可以向圓引 2 條切線， 切線長 相等，這點與圓心之間的連線 平分 這兩條切線的夾角。 3、與圓有關(guān)的計算1. 圓的周長為 2r ，1°的圓心角所對的弧長為 ，n°的圓心角所對的弧長為 ，弧長公式為n為圓心角的度數(shù)上為圓半徑) .2. 圓的面積為 r2 ，1°的圓心角所在的扇形面積為 ，n°的圓心角所在的扇形面積為S= = (n為圓心角的度數(shù),R為圓的半徑）.3.圓柱的側(cè)面積公式：S= 2 （其中為 底面圓 的半徑 ，為

18、 圓柱 的高.）4. 圓錐的側(cè)面積公式：S=（其中為 底面 的半徑 ，為 母線 的長.）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積 測試題一、選擇題（每小題3分，共45分）1在ABC中，C=90°，AB3cm，BC2cm,以點A為圓心，以2.5cm為半徑作圓，則點C和A的位置關(guān)系是（ ）。AC在A 上 C在A 外 CC在A 內(nèi) C在A 位置不能確定。2一個點到圓的最大距離為11cm，最小距離為5cm,則圓的半徑為（ ）。A16cm或6cm 3cm或8cm C3cm 8cm3AB是O的弦，AOB80°則弦AB所對的圓周角是（ ）。 A40° 140°或40&

19、#176; C20° 20°或160°4O是ABC的內(nèi)心，BOC為130°，則A的度數(shù)為（ ）。 A130° 60° C70° 80°5如圖1，O是ABC的內(nèi)切圓，切點分別是D、E、F，已知A = 100°，C = 30°，則DFE的度數(shù)是（ ）。 A55° 60° C65° 70°6如圖2，邊長為12米的正方形池塘的周圍是草地，池塘邊A、B、C、D處各有一棵樹，且AB=BC=CD=3米現(xiàn)用長4米的繩子將一頭羊拴在其中的一棵樹上為了使羊在草地上活動區(qū)域的面

20、積最大，應(yīng)將繩子拴在（ ）。A A處 B B處 CC處 DD 處圖1 圖27已知兩圓的半徑分別是2和4，圓心距是3，那么這兩圓的位置是（ ）。 A內(nèi)含 內(nèi)切 C相交 外切8已知半徑為R和r的兩個圓相外切。則它的外公切線長為（ ）。ARr C 29已知圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐的側(cè)面積為（ ）。10 B12 15 2010如果在一個頂點周圍用兩個正方形和n個正三角形恰好可以進(jìn)行平面鑲嵌，則n的值是（ ）。A3 B4 C5 D6 11下列語句中不正確的有（ ）。相等的圓心角所對的弧相等 平分弦的直徑垂直于弦 圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸 長度相等的兩條弧是等弧A3個 2個 C

21、1個 4個12先作半徑為的第一個圓的外切正六邊形，接著作上述外切正六邊形的外接圓，再作上述外接圓的外切正六邊形，則按以上規(guī)律作出的第8個外切正六邊形的邊長為（ ）。A C 13如圖3，ABC中，C=90°，BC=4，AC=3，O內(nèi)切于ABC ，則陰影部分面積為( )A12- 12-2 C14-4 6-14如圖4，在ABC 中，BC 4，以點A為圓心、2為半徑的A與BC相切于點D，交AB于E，交 AC于F，點P是A上的一點，且EPF40°，則圖中陰影部分的面積是（ ）。A4 B4 C8 D815如圖5，圓內(nèi)接四邊形ABCD的BA、CD的延長線交于P，AC、BD交于E，則圖中相

22、似三角形有（ ）。 A2對 3對 C4對 5對 圖3 圖4 圖5二、填空題（每小題3分，共30分）1兩圓相切，圓心距為9 cm，已知其中一圓半徑為5 cm，另一圓半徑為_.2兩個同心圓，小圓的切線被大圓截得的部分為6，則兩圓圍成的環(huán)形面積為_。3邊長為6的正三角形的外接圓和內(nèi)切圓的周長分別為_。4同圓的外切正六邊形與內(nèi)接正六邊形的面積之比為_。5矩形ABCD中，對角線AC4，ACB30°，以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱的表面積是_。6.扇形的圓心角度數(shù)60°，面積6，則扇形的周長為_。7圓的半徑為4cm，弓形弧的度數(shù)為60°，則弓形的面積為_。8在半徑為5cm的圓

23、內(nèi)有兩條平行弦，一條弦長為6cm，另一條弦長為8cm，則兩條平行弦之間的距離為_。9如圖6，ABC內(nèi)接于O，AB=AC，BOC=100°，MN是過B點而垂直于OB的直線，則ABM=_，CBN=_；10如圖7，在矩形ABCD中，已知AB=8 cm，將矩形繞點A旋轉(zhuǎn)90°，到達(dá)ABCD的位置，則在轉(zhuǎn)過程 中，邊CD掃過的(陰影部分)面積S=_。 圖6 圖7三、解答下列各題（第9題11分，其余每小題8分，共75分）1如圖，P是O外一點，PAB、PCD分別與O相交于A、B、C、D。(1)PO平分BPD； (2)AB=CD；(3)OECD，OFAB；(4)OE=OF。從中選出兩個作為

24、條件，另兩個作為結(jié)論組成一個真命題，并加以證明。2如圖，O1的圓心在O的圓周上，O和O1交于A，B，AC切O于A，連結(jié)CB，BD是O的直徑，D40°求：A O1B、ACB和CAD的度數(shù)。3已知：如圖20，在ABC中，BAC=120°，AB=AC，BC=4，以A為圓心，2為半徑作A，試問：直線BC與A的關(guān)系如何？并證明你的結(jié)論。4如圖，ABCD是O的內(nèi)接四邊形，DPAC，交BA的延長線于P，求證：AD·DCPA·BC。5如圖ABC中A90°，以AB為直徑的O交BC于D，E為AC邊中點，求證：DE是O的切線。 6如圖，已知扇形OACB中，AOB12

25、0°，弧AB長為L4，O和弧AB、OA、OB分別相切于點C、D、E，求O的周長。7如圖，半徑為2的正三角形ABC的中心為O，過O與兩個頂點畫弧，求這三條弧所圍成的陰影部分的面積。8如圖，ABC的CRt，BC4，AC3，兩個外切的等圓O1，O2各與AB，AC，BC相切于F，H，E，G，求兩圓的半徑。9如圖、中，點E、D分別是正ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且BE = CD，DB交AE于P點。求圖中，APD的度數(shù)；圖中，APD的度數(shù)為_，圖中，APD的度數(shù)為_；根據(jù)前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n 邊形情況若能，寫出推廣問題和結(jié)論；若不

26、能，請說明理由。參考答案一、1、C2、B3、B4、D5、C6、B 7、C 8、D9、C 10、A 11、D 12、A 13、D 14、B 15、C二、1、4 cm或 14cm； 2、9； 3、，； 4、4：3；5、；6、12+2；7、（-）cm2；8、7cm或1cm；9、65°，50°；10、16cm2。三、1、命題1，條件結(jié)論, 命題2，條件結(jié)論.證明：命題1OECD , OFAB, OE=OF，AB=CD, PO平分BPD。2、A O1B=140°，ACB=70°，CAD=130°。3、作ADBC垂足為D, AB=AC，BAC=120

27、76;, B=C=30°. BC=4, BD=BC=2. 可得AD=2.又A半徑為2, A與BC相切。4、連接BD，證PADDCB。5、連接OD、OE，證OEAOED。6、12。7、4-?！窘馕觥拷?三條弧圍成的陰影部份構(gòu)成"三葉玫瑰",其總面積等于6個弓形的面積之和.每個弓形的半徑等于ABC外接園的半徑R=(2/sin60°)/2=23/3.每個弓形對應(yīng)的園心角=/3.每個弓形的弦長b=R=23/3.一個弓形的面積S=(1/2)R2(-sin)=(1/2)(23/3)2/3-sin(/3)=(2/3)(/3-3/2)于是三葉玫瑰的總面積=6S=4(/3

28、-3/2)=2(2-33)/3.8、。提示：將兩圓圓心與已知的點連接，用面積列方程求。9、（1）ABC是等邊三角形 AB=BC，ABE=BCD=60°BE=CD ABEBCD BAE=CBD APD=ABP+BAE=ABP+CBD=ABE=60° （2）90°，108° （3）能如圖，點E、D分別是正n邊形ABCM 中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且BE=CD，BD與AE交于點P，則APD的度數(shù)為 。一、選擇題（每小題5分，共25分）1如圖，ABC內(nèi)接于O，A=400，則OBC的度數(shù)為 ( )A. 200 B. 400 C. 800 D. 7002如圖，O的直徑為10，圓心O到弦AB的距離OM的長是3，則弦AB的長是 ( ) A4 B. 6 C. 7 D . 83下列命題中正確的是( ) A平分弦的直徑垂直于這條弦; B切線垂直于圓的半徑 C三角形的外心到三角形三邊的距離相等; D圓內(nèi)接平行四邊形是矩形4以下命題中，正確的命題的個數(shù)是( )(1）同圓中等弧對等弦 (2）圓心角相等，它們所對的弧長也相等 (3）三點確定一個圓 (4）平分弦的直徑必垂直于這條弦 A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個5如圖，AB是半圓