高中數(shù)學(xué)幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型

1、3.2.1幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型教學(xué)目標(biāo)：1借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)制作數(shù)據(jù)表格和函數(shù)圖像，對(duì)幾種常見的函數(shù)類型的增長(zhǎng)情況進(jìn)行比較，在實(shí)際應(yīng)用的背景中理解直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的差異。2通過對(duì)投資方案的選擇，學(xué)會(huì)利用數(shù)據(jù)表格和函數(shù)圖像分析問題和解決問題；引導(dǎo)學(xué)生充分體驗(yàn)將實(shí)際問題“數(shù)學(xué)化”解決的過程， 從而理解“數(shù)學(xué)建模”的思想方法解決問題的有效性。3鼓勵(lì)學(xué)生收集一些社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等），體驗(yàn)函數(shù)是描述宏觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，從而培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教學(xué)重點(diǎn)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、

2、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義 教學(xué)難點(diǎn)：如何選擇和利用不同函數(shù)模型增長(zhǎng)差異性分析解決實(shí)際問題。技術(shù)手段：計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)。教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)探究式。教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題（1）先看一張圖片，這是什么動(dòng)物？（2）關(guān)于兔子有這樣一段故事：1859年，有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們占領(lǐng)了整個(gè)澳大利亞，數(shù)量達(dá)到75億只（3）請(qǐng)看畫面。（4）可愛的兔子變得可惡起來，75億只兔子吃掉了相當(dāng)于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口這使澳大

3、利亞頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣（5）一般而言，在理想條件（食物或養(yǎng)料充足，空間條件充裕，氣候適宜，沒有敵害等）下，種群在一定時(shí)期內(nèi)的增長(zhǎng)大致符合“J”型曲線；在有限環(huán)境（空間有限，食物有限，有捕食者存在等）中，種群增長(zhǎng)到一定程度后不增長(zhǎng)，曲線呈“S”型可用指數(shù)函數(shù)描述一個(gè)種群的前期增長(zhǎng)，用對(duì)數(shù)函數(shù)描述后期的增長(zhǎng).（6）生活中的增長(zhǎng)現(xiàn)象比比皆是，在我們學(xué)過的函數(shù)中也有許多成增長(zhǎng)形態(tài)發(fā)展的。因此研究不同增長(zhǎng)函數(shù)模型是非常必要的。二、組織引導(dǎo)，合作探究例1假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案

4、供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0 .4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案？【問題1】選擇最佳投資方案的原則是什么？預(yù)案一：誰的回報(bào)多。（有條件限制嗎？回報(bào)指的是什么是每天回報(bào)還是總回報(bào)）預(yù)案二：相同條件下，誰的回報(bào)多。（相同條件指的是什么？）答案：從第一天起，相同時(shí)間內(nèi)哪一個(gè)方案的累計(jì)回報(bào)數(shù)（總回報(bào)數(shù)）多，就選哪一個(gè)方案。【問題2】本題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系? 如何利用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系?預(yù)案一：總回報(bào)數(shù)與天數(shù)的關(guān)系。設(shè)總回報(bào)數(shù)為y元，投資天數(shù)為x則方案一：y=40x(xN

5、*)；方案二：；方案三：。 請(qǐng)學(xué)生課下進(jìn)一步探究。預(yù)案二：每天回報(bào)數(shù)與投資天數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)第x天所得回報(bào)是y元,則 方案一可用函數(shù)y=40(xN*)進(jìn)行描述;方案二可以用函數(shù)y=10x(xN*)進(jìn)行描述;方案三可以用函數(shù)進(jìn)行描述。【問題3】你能認(rèn)識(shí)一下方案中的三個(gè)函數(shù)嗎？方案一是常數(shù)函數(shù)；方案二是一次函數(shù)；方案三是指數(shù)型函數(shù)，方案二、三中的函數(shù)都是增函數(shù)?！締栴}4】下面利用這三個(gè)函數(shù)關(guān)系式,算出每天的回報(bào)數(shù)，請(qǐng)?zhí)顚懺诒硪恢?。x/天方案一方案二方案三 每天回報(bào)數(shù)y/元每天回報(bào)數(shù)y/元每天回報(bào)數(shù)y/元140100.4240200.8340301.6440403.2540506.46406012.

6、87407025.68408051.294090102.41040100204.83040300214748364.8【問題5】這三個(gè)函數(shù)增長(zhǎng)速度怎樣，通過哪個(gè)量來判斷這三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度？ （通過增加量（增長(zhǎng)量）來判斷，也就是從第二天起，每一天與前一天的變化量）下面請(qǐng)同學(xué)再算一下每一種方案的增加量。x/天方案一方案二方案三每天回報(bào)數(shù)y/元增加量每天回報(bào)數(shù)y/元增加量每天回報(bào)數(shù)y/元增加量140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.8840080105

7、1.225.694009010102.451.21040010010204.8102.43040030010214748364.8107374182.4【問題6】這三種方案的增加量有何特點(diǎn)？可以看到，方案一、方案二增長(zhǎng)量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長(zhǎng)”，其“增長(zhǎng)量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩個(gè)方案增長(zhǎng)得快得多，這種增長(zhǎng)速度是方案一、方案二所無法企及的。下面再?gòu)膱D象的角度來認(rèn)識(shí)一下：（函數(shù)圖象是分析問題的好幫手，為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點(diǎn)）我們看到：底為2的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長(zhǎng)速度要快得多。因此，把指數(shù)增長(zhǎng)也稱為指數(shù)爆炸。 【問題7】從這三種方案每天所得回報(bào)看

8、，你能得到什么結(jié)論？第13天，方案一最多；在第四天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第58天，方案二最多；第9天以后，方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多，到第30天，所得回報(bào)已超過2億元。【問題8】根據(jù)這里的分析，是否應(yīng)作這樣的選擇：投資5天以下選方案一，投資58天選方案二，投資8天以上選方案三？【問題9】下面再算一下三種方案的累計(jì)回報(bào)，填寫在表格中?！締栴}10】從累計(jì)的回報(bào)數(shù)看，你會(huì)選擇哪種方案？結(jié)論：投資16天，應(yīng)選擇第一種投資方案；投資7天，應(yīng)選擇第一或二種投資方案；投資810天，應(yīng)選擇第二種投資方案；投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇第三種投資方案。 【問題11】從上面問題可以看出

9、，幾種常見函數(shù)的增長(zhǎng)情況如下：常數(shù)函數(shù)一次函數(shù)指數(shù)型函數(shù)保持不變直線上升指數(shù)爆炸【問題12】解決實(shí)際問題的一般步驟是什么？實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題(轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題)數(shù)學(xué)化問題解決數(shù)學(xué)解答符合實(shí)際回到實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題結(jié)論實(shí)際問題結(jié)論例2某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金（單位：萬元）隨銷售利潤(rùn)（單位：萬元）的增加而增加但獎(jiǎng)金不超過5萬元現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：，問：其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？【問題1】本題涉及到的三個(gè)函數(shù)都是什么函數(shù)？【問題2】的取值范圍，即函數(shù)的定義域是什么？由于公司總的利潤(rùn)目標(biāo)為1000萬元，所

10、以人員銷售利潤(rùn)一般不會(huì)超過公司總的利潤(rùn)。于是， 10,1000?！締栴}3】某個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司要求，要滿足哪些條件？獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，即。 【問題4】結(jié)合圖象，并通過計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬？（1）對(duì)于模型y=0.25x,它在區(qū)間10,1000上遞增,當(dāng)x=20時(shí)，y=5，因此，當(dāng)x(20,1000)時(shí),y>5,因此該模型不符合要求。（2）對(duì)于模型,由函數(shù)圖象,并利用計(jì)算器,可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)滿足 ,由于它在10,1000上遞增,因此當(dāng)時(shí),y>5,因此該模型也不符合要求。（3）對(duì)于模型,它在區(qū)間10,1000上遞增,而且當(dāng)x=1000時(shí), ,所以它符

11、合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元的要求?！締栴}5】你對(duì)對(duì)數(shù)型函數(shù)模型增長(zhǎng)有怎樣的認(rèn)識(shí)？結(jié)論：對(duì)數(shù)增長(zhǎng)模型比較適合于描述增長(zhǎng)速度平緩的變化規(guī)律?！締栴}6】請(qǐng)你研究?jī)绾瘮?shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的增長(zhǎng)差異。三、課堂練習(xí)1、四個(gè)變量隨變量變化的數(shù)據(jù)如下表：關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是 。四、小結(jié)與反思五、作業(yè)收集一些社會(huì)生活中遞增的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)例，對(duì)它們的增長(zhǎng)速度進(jìn)行比較，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用. 教學(xué)設(shè)計(jì)說明本節(jié)課的內(nèi)容是人教社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版數(shù)學(xué)必修1第三章幾種不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型（第一課時(shí)），本節(jié)課的重點(diǎn)是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線直線上升、指數(shù)爆炸

12、、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義。難點(diǎn)在于如何選擇和利用不同函數(shù)模型增長(zhǎng)差異性分析解決實(shí)際問題本課設(shè)計(jì)的思路是通過“澳大利亞兔災(zāi)”的故事引入，一則激發(fā)學(xué)生興趣，二則讓學(xué)生初步感知指數(shù)增長(zhǎng)即“指數(shù)爆炸”的含義。然后組織學(xué)生探究投資決策和獎(jiǎng)勵(lì)模型兩個(gè)實(shí)際問題，通過選擇變量、建立模型，利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)圖象討論模型，體會(huì)不同函數(shù)模型增長(zhǎng)的含義及其差異。結(jié)合計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生能力方面體現(xiàn)如下 1.設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”、“數(shù)學(xué)建模”等學(xué)習(xí)活動(dòng)，為學(xué)生形成積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣。 2.引導(dǎo)學(xué)生自主探索函數(shù)模型的差異性、動(dòng)手制作表格和作圖、合作交流討論、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程