專題13圓錐曲線的定義性質(zhì)方程教師版

1、專題13 圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程高考在考什么【考題回放】1已知ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC的周長(zhǎng)是(C )（A）2 （B）6 （C）4 （D）122已知雙曲線的一條漸近線方程為yx，則雙曲線的離心率為(A)（A） (B) (C) (D)3如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是（ C ）A B C D 4拋物線y=4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是( B) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 05已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2

2、倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 6如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點(diǎn)。P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于x軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知四邊形OFPM為平行四邊形，|PF|=l|OF|。（）寫(xiě)出雙曲線C的離心率e與l的關(guān)系式；OFxyPMH（）當(dāng)l=1時(shí)，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，若|AB|=12，求此時(shí)的雙曲線方程?！緦＜医獯稹克倪呅问?，作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，則，又，。（）當(dāng)時(shí)，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，又，由得：，解得，則，所以為所求。高考要考什么【考點(diǎn)透視】橢圓、雙曲線、拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單的幾何

3、性質(zhì)，橢圓的參數(shù)方程?！緹狳c(diǎn)透析】主要題型：（1）定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的靈活運(yùn)用；（2）求曲線方程（含指定圓錐曲線方程及軌跡方程）。題型一般為二小一大，小題基礎(chǔ)靈活，解答題一般在中等難度以上，一般具有較高的區(qū)分度。突破重難點(diǎn)【范例1】過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F，傾斜角為60的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則橢圓的離心率為( B )(A) (B) (C) (D)解：設(shè)點(diǎn)A、B到橢圓左準(zhǔn)線的距離分別為d1，d2，F(xiàn)A=r1，F(xiàn)B=r2，則=e，即d1=，同理d2=，兩式相減得.因?yàn)橹本€AB的傾斜角為60， 2|d1-d2|=|AB|=3r2，e=【點(diǎn)晴】本題關(guān)鍵在于利用橢圓的第二定義將60傾斜

4、角、|FA|=2|FB|這兩個(gè)條件與橢圓的離心率建立聯(lián)系?！疚摹咳鬎1、F2為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的左支上，點(diǎn)M在雙曲線的右準(zhǔn)線上，且滿足：，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD3解：由知四邊形F1OMP是平行四邊形，又知OP平分F1OM，即F1OMP是菱形，設(shè)|OF1|=c，則|PF1|=c. 又|PF2|-|PF1|=2a， |PF2|=2a+c，由雙曲線的第二定義知,且e1，e=2，故選C.【范例2】定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在y=x2上移動(dòng)，AB中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到x軸的最短距離。分析：（1）可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)A(x1，x12)，B(x2，x22)，又設(shè)

5、AB中點(diǎn)為M(x0,y0)用弦長(zhǎng)公式及中點(diǎn)公式得出y0關(guān)于x0的函數(shù)表達(dá)式，用函數(shù)思想求出最短距離。（2）M到x軸的距離是一種“點(diǎn)線距離”，可先考慮M到準(zhǔn)線的距離，想到用定義。解法一：設(shè)A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中點(diǎn)M(x0，y0)則由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9， 即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入得(2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9， 當(dāng)4x02+1=3 即 時(shí)，此時(shí)法2：如圖， 即， 當(dāng)AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)取得最小值。M到x軸的最短距離為【點(diǎn)晴】解法一是列出

6、方程組，利用整體消元思想消x1，x2，從而形成y0關(guān)于x0的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點(diǎn)M到x軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為A、B到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當(dāng)三角形“壓扁”時(shí)，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡(jiǎn)捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點(diǎn)，即沒(méi)有驗(yàn)證AB是否能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，而且點(diǎn)M的坐標(biāo)也不能直接得出。請(qǐng)思考：當(dāng)|AB|在什么范圍內(nèi)取值時(shí)不能用解法二？【文】（北京卷）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1PF2，| PF1|=，| PF2|=.（I）求橢圓C的方程；（II）若直線

7、l過(guò)圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線l的方程。解法一：()因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故橢圓的半焦距c=,從而b2=a2c2=4, 所以橢圓C的方程為1.()設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）. 由圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）. 從而可設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)+1, 代入橢圓C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0.因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱. 所以 解得，所以直線l的方程為 即8x-9y+25=0. (經(jīng)檢驗(yàn)，符合題

8、意)解法二：()同解法一.()已知圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）. 設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且 由得 因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y1（x+2），即8x9y+25=0.(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.)圖1【范例3】如圖1，已知A、B、C是長(zhǎng)軸為4的橢圓上三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過(guò)橢圓中心O，且，。（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；（2）如果橢圓上兩點(diǎn)P、Q使直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，是否總存在實(shí)數(shù)l

9、使？請(qǐng)給出證明。解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立如圖直角坐標(biāo)系，則A（2，0），橢圓方程可設(shè)為。而O為橢圓中心，由對(duì)稱性知|OC|=|OB|又，所以ACBC又，所以|OC|AC|，所以AOC為等腰直角三角形，所以點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，1）。將（1，1）代入橢圓方程得，則橢圓方程為。（2）由直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，設(shè)直線CP的斜率為k，則直線CQ的斜率為k，直線CP的方程為y=k(x-1)，直線CQ的方程為y=-k(x-1)。由橢圓方程與直線CP的方程聯(lián)立，消去y得 (1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0因?yàn)镃（1，1）在橢圓上，所以x1是方

10、程的一個(gè)根，于是 同理這樣， 又B（1，1），所以，即kAB=kPQ。所以PQAB，存在實(shí)數(shù)l使?！军c(diǎn)晴】利用斜率互為相反數(shù)關(guān)系，整體替換，可簡(jiǎn)化解題過(guò)程?！疚摹浚?6上海春）學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn). 設(shè)計(jì)方案如圖：航天器運(yùn)行（按順時(shí)針?lè)较颍┑能壽E方程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對(duì)稱軸、 為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為. 觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)跟蹤航天器.（1）求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；（2）試問(wèn)：當(dāng)航天器在軸上方時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得離航天器的距離分別為多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？解：（1）設(shè)曲線方程為， 由題意可知，. . 曲線方

11、程為. （2）設(shè)變軌點(diǎn)為，根據(jù)題意可知得 ，或（不合題意，舍去）. . 得 或（不合題意，舍去）. 點(diǎn)的坐標(biāo)為，.答：當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得距離分別為時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出指令. 【范例4】過(guò)拋物線x2=4y上不同兩點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線相交于P點(diǎn)，（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）已知點(diǎn)F（0，1），是否存在實(shí)數(shù)l使得？若存在，求出l的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解法（一）：（1）設(shè)由得： 直線PA的方程是即 同理，直線PB的方程是： 由得： 點(diǎn)P的軌跡方程是 （2）由（1）得：， ，所以故存在l=1使得 解法（二）：（1）直線PA、PB與拋物線相切，且直線PA、PB的斜率均存在且不為0，且設(shè)PA的直線方程

12、是由得：即 即直線PA的方程是：同理可得直線PB的方程是：由得：故點(diǎn)P的軌跡方程是 （2）由（1）得：， 故存在l=1使得【點(diǎn)晴】拋物線的切線方程成了近幾年高考試題中的一個(gè)考查亮點(diǎn)。解法一、解法二是解決拋物線切線問(wèn)題的常用方法，應(yīng)熟練掌握。【文】已知ABC的兩頂點(diǎn)A、B分別是雙曲線2x2-2y2=1的左、右焦點(diǎn), 且sinC是sinA、sinB的等差中項(xiàng). （）求頂點(diǎn)C的軌跡T的方程； （）設(shè)P(-2,0), 過(guò)點(diǎn)作直線l交軌跡T于M、N兩點(diǎn)，問(wèn)MPN的大小是否為定值？證明你的結(jié)論. 解：() 由條件知A (-1 , 0 ) , B (1 , 0 )，且sinA + sinB = 2sinC|

13、BC| + |AC| = 2|AB| = 4點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a = 4的橢圓（不包括x軸上兩點(diǎn)）.點(diǎn)C的軌跡T的方程是=1 (x2) () 當(dāng)lx軸時(shí)，直線l的方程為x =，代入=1解得M、N的坐標(biāo)為（），而|PE| =，MPN = 90，猜測(cè)MPN= 90為定值. x = my3x2 + 4y2 = 12證明：設(shè)直線l的方程為my = x +，由 ，得 (3m2 + 4) y2 my= 0 y1 + y2 =，y1 y2 = = (x1 + 2 , y1)(x2 +2 , y2 ) = (x1 + 2 ) (x2 +2) + y1 y2= (my1 +) (my2 +)

14、+ y1 y2 = (m2 +1) y1 y2 +m (y1 + y2) +=(m2 +1)+m+= 0MPN = 90，為定值. 自我提升1. 若橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為F1（1，0），F(xiàn)2（，0），則其離心率為（ C ）A.B.C.D.2. 雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，離心率，F(xiàn)1、F2分別是它的左，右焦點(diǎn)，若過(guò)F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|是|AF2|與|BF2|的等差中項(xiàng)，則|AB|為（A）.A、 B、 C、 D、83. F1、F2為橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，Q為橢圓上任一點(diǎn)，以任一焦點(diǎn)作F1QF2的外角平分線的垂線，垂足為P，則P點(diǎn)軌跡為（A）.A、圓 B、橢圓 C、雙曲線 D、拋物線

15、4雙曲線的左支上一點(diǎn)P，O為PF1F2的內(nèi)切圓，則圓心O的橫坐標(biāo)為（B）.A、a B、-a C、 D、5. 已知點(diǎn)F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0), 又P(x,y)是曲線上的點(diǎn), 則 (C)A. |PF1|+|PF2|=10 B. |PF1|+|PF2|b0）的兩焦點(diǎn)，過(guò)F1的弦AB與F2組成等腰直角三角形ABF2，其中BAF2=900，則橢圓的離心率是_7已知橢圓E的離心率為e，左、右焦點(diǎn)為F1、F2，拋物線C以F2為焦點(diǎn)，F(xiàn)1為其頂點(diǎn)，若P為兩曲線的公共點(diǎn)，且e|PF2|=|PF1|，則e_。8已知O：x2+y2=4，一動(dòng)拋物線過(guò)A（1，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，且以圓的切線為準(zhǔn)線，則動(dòng)拋物

16、線的焦點(diǎn)F的軌跡方程為_(kāi)9如圖，已知三點(diǎn)A(7, 0)，B(7,0)，C(2,12). 若橢圓過(guò)A、B兩點(diǎn)，且C為其一焦點(diǎn)，求另一焦點(diǎn)P的軌跡方程； 若雙曲線的兩支分別過(guò)A、B兩點(diǎn)，且C為其一焦點(diǎn)，求另一焦點(diǎn)Q的軌跡方程。解析：由橢圓定義知，|AP|AC|BP|BC|，即故P的軌跡為A（7，0）、B（7，0）為焦點(diǎn)實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的一支，其方程為； 經(jīng)討論知，無(wú)論A在雙曲線的哪一支上, 總有|QA|QB|AC|BC|28|AB|14故點(diǎn)Q的軌跡為以A（7，0）、B（7，0）為焦點(diǎn)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為28的橢圓，其方程為。10已知橢圓過(guò)其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次變于A、B、C、D，設(shè)f(m)=|AB|-|CD|,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。解：（1）橢圓中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦點(diǎn)F1(-1,0)則BC:y=x+1,代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則x1+x2=- （2）當(dāng)m