三角形及其性質(zhì)

1、 第十一講三角形及其性質(zhì)解讀考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)名師點(diǎn)晴三角形的重要線段中線、角平分線、高線理解三角形有關(guān)的中線、角平分線、高線，并會(huì)作三角形的中線、角平分線、高線三角形的中位線理解并掌握三角形的中位線的性質(zhì)三角形的三邊關(guān)系兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊理解三角形的三邊關(guān)系，并能確定三角形第三邊的取值范圍三角形的內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180°掌握三角形的內(nèi)角和定理，并會(huì)證明三角形的內(nèi)角和定理三角形的外角三角形的外角的性質(zhì)能利用三角形的外角進(jìn)行角的有關(guān)計(jì)算與證明考點(diǎn)歸納歸納 1：三角形的有關(guān)線段基礎(chǔ)知識(shí)歸納：中線：連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，三角形的三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重

2、心高線：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)到它對(duì)邊所在直線的垂線段角平分線：一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段 基本方法歸納：三角形的中位線平行線于第三邊，且等于第三邊的一半注意問(wèn)題歸納：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分【例1】如圖，EF是ABC的中位線，BD平分ABC交EF于點(diǎn)D，若AB4，BC6，則DF_ 【答案】1考點(diǎn)：1三角形中位線定理；2等腰三角形的判定與性質(zhì)歸納 2：三角形的三邊關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)歸納：三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊基本方法歸納：三角形的三邊關(guān)系是判斷三條線段能否構(gòu)成三角形的依據(jù)，并且還可以利用三邊關(guān)系列出不等式求

3、某些量的取值范圍注意問(wèn)題歸納：三角形的三邊關(guān)系是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，是解決三角形的邊的有關(guān)問(wèn)題的重要依據(jù)歸納 3：內(nèi)角和定理基礎(chǔ)知識(shí)歸納：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°基本方法歸納：在同一個(gè)三角形中，大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角注意問(wèn)題歸納：三角形的內(nèi)角和定理是求三角形一個(gè)角的度數(shù)或證明角相等的重要工具歸納 4：三角形的外角基礎(chǔ)知識(shí)歸納：（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和（2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角基本方法歸納：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和注意問(wèn)題歸納：三角形的外角是解決角的計(jì)算與角的大小比較的重要工具1年中考【2015年題組】1（2015宿遷

4、）若等腰三角形中有兩邊長(zhǎng)分別為2和5，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）A9 B12 C 7或9 D9或12考點(diǎn)：1等腰三角形的性質(zhì)；2三角形三邊關(guān)系；3分類討論2（2015雅安）已知等腰三角形的腰和底的長(zhǎng)分別是一元二次方程的根，則該三角形的周長(zhǎng)可以是（）A5 B7 C5或7 D10考點(diǎn)：1解一元二次方程-因式分解法；2三角形三邊關(guān)系；3等腰三角形的性質(zhì)；4分類討論3（2015綿陽(yáng)）如圖，在ABC中，B、C的平分線BE，CD相交于點(diǎn)F，ABC=42°，A=60°，則BFC=（）A118° B119° C120° D121°考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理

5、4（2015廣州）已知2是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，并且這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊長(zhǎng)，則三角形ABC的周長(zhǎng)為（）A10 B14 C10或14 D8或10考點(diǎn)：1解一元二次方程-因式分解法；2一元二次方程的解；3三角形三邊關(guān)系；4等腰三角形的性質(zhì)；5分類討論5（2015鄂爾多斯）如圖，AB是邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格上的兩個(gè)格點(diǎn)，在格點(diǎn)中任意放置點(diǎn)C，恰好能使ABC的面積為1的概率是（）A B C D考點(diǎn)：1概率公式；2三角形的面積6（2015淄博）如圖，在四邊形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD=AB，點(diǎn)E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，則AEF與多邊形BCDFE的

6、面積之比為（）A B C D考點(diǎn)：1相似三角形的判定與性質(zhì)；2三角形的面積；3三角形中位線定理；4綜合題7（2015佛山）各邊長(zhǎng)度都是整數(shù)、最大邊長(zhǎng)為8的三角形共有 個(gè)考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系8（2015長(zhǎng)春）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD上若ABE的面積為8，CE=3，則線段BE的長(zhǎng)為 考點(diǎn)：1正方形的性質(zhì)；2三角形的面積；3勾股定理9（2015昆明）如圖，ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點(diǎn)H，BC=，在BE上截取BG=2，以GE為邊作等邊三角形GEF，則ABH與GEF重疊（陰影）部分的面積為 考點(diǎn)：1等邊三角形的判定與性質(zhì)；2三角形的重心；3三角形中位線定理；4綜合題；5壓軸題 等腰

7、三角形與直角三角形解讀考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)名師點(diǎn)晴等腰三角形等腰三角形的性質(zhì)理解等腰三角形的性質(zhì)，并能解決等腰三角形的有關(guān)計(jì)算等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法，會(huì)證明一個(gè)三角形是等腰三角形等邊三角形等邊三角形的性質(zhì)理解等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的判定掌握等邊三角形的判定方法，會(huì)證明一個(gè)三角形是等邊三角形直角三角形直角三角形的性質(zhì)理解直角三角形的有關(guān)性質(zhì)直角三角形的判定掌握直角三角形的判定方法，會(huì)證明一個(gè)三角形是直角三角形勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理考點(diǎn)歸納歸納 1：等腰三角形基礎(chǔ)知識(shí)歸納：1、等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等

8、角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推論：定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）。這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等?；痉椒w納：等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b，則<a等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為A，底角為

9、B、C，則A=180°2B，B=C=注意問(wèn)題歸納：等腰三角形的性質(zhì)與判定經(jīng)常用來(lái)計(jì)算三角形的角的有關(guān)問(wèn)題，并證明角相等的問(wèn)題。歸納 2：等邊三角形基礎(chǔ)知識(shí)歸納：1.定義三條邊都相等的三角形是等邊三角形.2.性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°3.判定三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.基本方法歸納：線段垂直平分線上的一點(diǎn)到這條線段的兩端距離相等；到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.注意問(wèn)題歸納：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形?！纠?

10、】如圖，直線ab，ABC是等邊三角形，點(diǎn)A在直線a上，邊BC在直線b上，把ABC沿BC方向平移BC的一半得到ABC（如圖）；繼續(xù)以上的平移得到圖，再繼續(xù)以上的平移得到圖，；請(qǐng)問(wèn)在第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是 考點(diǎn)：1等邊三角形的判定與性質(zhì)；2平移的性質(zhì)歸納 3：直角三角形基礎(chǔ)知識(shí)歸納：有一個(gè)角是直角的三角形叫作直角三角形直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形兩銳角互余.（2）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.基本方法歸納：（1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.（2）三角形一邊上的中線等于這條

11、邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.注意問(wèn)題歸納：注意區(qū)分直角三角形的性質(zhì)與直角三角形的判定，在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，它的逆命題不能直接使用?！纠?】如圖，在RtABC中，ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，且CD=，如果RtABC的面積為1，則它的周長(zhǎng)為（）A B C D考點(diǎn)：1勾股定理；2直角三角形斜邊上的中線歸納 4：勾股定理基礎(chǔ)知識(shí)歸納：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2;基本方法歸納：如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.注意問(wèn)題歸

12、納：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一種常用的方法，通常與直角三角形的性質(zhì)結(jié)合起來(lái)考查。1年中考【2015年題組】1（2015內(nèi)江）如圖，在ABC中， AB=AC，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，AEBD交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E若E=35°，則BAC的度數(shù)為（）A40° B45° C60° D70°考點(diǎn)：1等腰三角形的性質(zhì)；2平行線的性質(zhì)2（2015荊門）已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和4，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A8或10 B8 C10 D6或12【答案】C考點(diǎn)：1等腰三角形的性質(zhì)；2三角形三邊關(guān)系；3分類討論3（2015丹東）如圖，在ABC

13、中，AB=AC，A=30°，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ABC與ACE的平分線相交于點(diǎn)D，則D的度數(shù)為（）A15° B17.5° C20° D22.5°考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)4（2015樂(lè)山）如圖，已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則cosA的值為（）A B C D考點(diǎn)：1銳角三角函數(shù)的定義；2勾股定理；3勾股定理的逆定理；4網(wǎng)格型5（2015資陽(yáng)）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路

14、徑是（）A13cmBcmCcmDcm考點(diǎn)：1平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題；2最值問(wèn)題6（2015德陽(yáng)）如圖，在RtABC中，ACB=90°，CD為AB邊上的高，若點(diǎn)A關(guān)于CD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)E恰好為AB的中點(diǎn)，則B的度數(shù)是（） A60° B45° C30° D75°考點(diǎn)：1直角三角形斜邊上的中線；2軸對(duì)稱的性質(zhì)7（2015眉山）如圖，在RtABC中，B=900，A=300，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD若BD=l，則AC的長(zhǎng)是（ ）A B2 C D4考點(diǎn)：1含30度角的直角三角形；2線段垂直平分線的性質(zhì)；3勾股定理8（2015荊

15、門）如圖，在ABC中，BAC=Rt，AB=AC，點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，DEBC于點(diǎn)E，連接BD，則tanDBC的值為（）A B C D考點(diǎn)：1解直角三角形；2等腰直角三角形9（2015天水）如圖，在四邊形ABCD中，BAD=ADC=90°，AB=AD=，CD=，點(diǎn)P在四邊形ABCD的邊上若點(diǎn)P到BD的距離為，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A2 B3 C4 D5 考點(diǎn)：1等腰直角三角形；2點(diǎn)到直線的距離10（2015龍東）ABC中，AB=AC=5，BC=8，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PDAB于點(diǎn)D，PEAC于點(diǎn)E，則PD+PE的長(zhǎng)是（）A4.8 B4.8或3.8 C3.8 D5考點(diǎn)：1勾股定理；

16、2等腰三角形的性質(zhì)；3動(dòng)點(diǎn)型11（2015安順）如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點(diǎn)，沿CE折疊后，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合，若BC=3，則折痕CE的長(zhǎng)為（）A B C D6考點(diǎn)：1翻折變換（折疊問(wèn)題）；2勾股定理12（2015濱州）如圖，在直角O的內(nèi)部有一滑動(dòng)桿AB，當(dāng)端點(diǎn)A沿直線AO向下滑動(dòng)時(shí)，端點(diǎn)B會(huì)隨之自動(dòng)地沿直線OB向左滑動(dòng)，如果滑動(dòng)桿從圖中AB處滑動(dòng)到AB處，那么滑動(dòng)桿的中點(diǎn)C所經(jīng)過(guò)的路徑是（）A直線的一部分 B圓的一部分 C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分考點(diǎn)：1軌跡；2直角三角形斜邊上的中線13（2015煙臺(tái)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作

17、等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2015的值為（）A B C D考點(diǎn)：1等腰直角三角形；2正方形的性質(zhì)；3規(guī)律型；4綜合題14（2015煙臺(tái)）等腰三角形邊長(zhǎng)分別為a，b，2，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，則n的值為（）A9 B10 C9或10 D8或10考點(diǎn)：1根的判別式；2一元二次方程的解；3等腰直角三角形；4分類討論15（2015崇左）下列圖形是將正三角形按一定規(guī)律排列，則第4個(gè)圖形中所有正三角形的個(gè)數(shù)有（ ）A160 B161 C162 D163考點(diǎn)：1規(guī)律型；2綜合題16（2015南通）如圖，ABC中，D

18、是BC上一點(diǎn)，AC=AD=DB，BAC=102°，則ADC= 度考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)17（2015蘇州）如圖，在ABC中，CD是高，CE是中線，CE=CB，點(diǎn)A、D關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)F作FGCD，交AC邊于點(diǎn)G，連接GE若AC=18，BC=12，則CEG的周長(zhǎng)為 考點(diǎn)：1三角形中位線定理；2等腰三角形的性質(zhì)；3軸對(duì)稱的性質(zhì)18（2015西寧）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°，則頂角的度數(shù)是 考點(diǎn)：1等腰三角形的性質(zhì)；2分類討論19（2015南寧）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊ADE，則BED的度數(shù)是 考點(diǎn)：1正方形的性質(zhì)；2等邊三角形的性質(zhì)20（2015攀枝花）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，則BE+DE的最小值為 考點(diǎn)：1軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；2等邊三角形的性質(zhì)；3最值問(wèn)題；4綜合題21（2015淄博）如圖，等腰直角三角形BDC的頂點(diǎn)D在等邊三角形ABC的內(nèi)部，BDC=90°，連接AD，過(guò)點(diǎn)D作一條直線將ABD分割成兩個(gè)等腰三角形，則分割出的這兩個(gè)等腰三角形