02一階微分方程

1、第2節(jié) 一階微分方程2.1 變量已經(jīng)分離的方程（i）辨認(rèn)類型：（ii）解法：兩邊積分得通解（解析：（1）這是隱函數(shù)的通解；（2）任意常數(shù)已經(jīng)單獨(dú)寫出，做不定積分時(shí)不需寫任意常數(shù)。）2.2可分離變量的方程（i）辨認(rèn)類型：（ii）解法：（a）變型為變量已經(jīng)分離的方程；（b）兩邊積分得通解 以上解方程的方法稱為分離變量法。方法雖然簡(jiǎn)單，但是，分離變量法是微分方程解法的總根。不管什么方程最后都分離變量求通解?！纠?.1】解方程.解、原方程分離變量為。兩邊積分通解【例2.2】求方程滿足初始條件的特解解、原方程分離變量為。兩邊積分通解 把代入通解得。所求特解為2.3可化為可分離變量型的方程齊次方程（i）辨

2、認(rèn)類型：（ii）解法：（a）作變量代換即（為新的未知函數(shù)，出來了也就有了）。方程變?yōu)椋╞）分離變量?jī)蛇叿e分代回得通解【例2.3】求解 解、（只有方程沒有條件即要求通解。）原方程變型為。作變量代換，方程變?yōu)榉蛛x變量?jī)蛇叿e分代回得通解【例2.4】求滿足初始條件的特解解、原方程變型為。作變量代換，方程變?yōu)榉蛛x變量?jī)蛇叿e分代回得通解即（。）把代入上通解得。所要求的特解是【例2.5】求解第1節(jié)例1.2中方程解1、原方程變型。作變量代換，方程變?yōu)榉蛛x變量?jī)蛇叿e分代回得通解 解2、原方程變型（作自變量，作函數(shù)）。作變量代換，方程變?yōu)榉蛛x變量?jī)蛇叿e分代回得通解 （此例告訴我們，和用哪個(gè)作函數(shù)哪個(gè)作自變量是人為

3、的，看怎么簡(jiǎn)單而定。）2.4一階線性微分方程（i）辨認(rèn)類型：（ii）解法：先解齊次方程。 分離變量。兩邊積分得的通解。再解非齊次方程。把的通解中的任意常數(shù)改為新的未知函數(shù)，設(shè)的解為（這稱為常數(shù)變異法）。代入變?yōu)樗缘耐ń鉃椋ㄈ我獬?shù)已單獨(dú)寫出，做不定積分是不寫任意常數(shù)。） 為了避免復(fù)雜的推導(dǎo)，一般把上式默寫下來作為通解公式來應(yīng)用。因此，求非齊次方程通解的方法：（1）求不定積分；（2）把的結(jié)果代入求不定積分；（3）把和的結(jié)果代入公式直接得到的通解?！纠?.6】解方程.解、要解的方程是一階線性方程。，。通解【例2.7】求解、如果把作未知函數(shù)，則方程為。它不是線性方程，我們也不認(rèn)識(shí)它的類型。如果把作

4、自變量作未知函數(shù)，則方程為。此是一階線性方程。，。通解，即（此例說明，和用哪個(gè)作函數(shù)哪個(gè)作自變量結(jié)果簡(jiǎn)繁是不一樣的。一般用簡(jiǎn)單的作函數(shù)，用復(fù)雜的作自變量。）【例2.8】在高空跳傘的過程中，設(shè)跳傘者（含降落傘）的質(zhì)量為，在跳傘的下落過程中，跳傘者除受到重力的作用外，還受到空氣阻力的作用，阻力大小與下降速度成正比。設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)（）的速度為0，求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。解、設(shè)下降速度為，這是未知函數(shù)。先作受力分析。重力，阻力（大小與速度成正比，方向與速度相反）。加速度。根據(jù)力學(xué)原理建立微分方程，即這是一個(gè)線性方程。通解，即把代入得。降落傘下降的規(guī)律2.5伯努利方程（i）辨認(rèn)類型：。（

5、線性方程，可分離變量。所以。）（ii）解法：整理。與線性方程的差別主要在。 作變量代換，。代入之這是線性方程。通解為的通解【例2.9】求方程的通解解、整理。 作變量代換，。代入之。原方程的通解習(xí)題講解1用分離變量法求下列方程的通解：(3) (4) 解、(3)分離變量。兩邊積分得。通解（4）分離變量。兩邊積分得。通解（本來，但是，經(jīng)驗(yàn)證也是原方程的解，取消的限制。）2求下列微分方程初值問題的解：(5) ，解、分離變量。兩邊積分得。通解把代入得。所求的特解是4用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q求解下列微分方程：(1) ；(3) 解、(1)整理。這是齊次方程。作變換。分離變量。兩邊積分。通解（3）整理。這是齊次方程。

6、作變換。分離變量。兩邊積分。通解把代入得。所求的特解是5設(shè)微分方程，其中為連續(xù)函數(shù)，為常數(shù)證明：(1) 若，則可選適當(dāng)變換（如）將該方程化為變量分離的方程；(2) 若，則可選變換（如）將該方程化為變量分離的方程；(3) 若，且不同時(shí)為零則可選取常數(shù)與，使變換，把該方程為齊次方程證、（1）設(shè)。作變換。原方程變?yōu)?。這是一個(gè)可分離變量的方程。（2）設(shè)。整理為。作變換。原方程變?yōu)?。這是一個(gè)可分離變量的方程。（3）設(shè)且不全為零。作變換（待定）。原方程變?yōu)?，即。方程組有非0解。作變換，原方程變?yōu)?，即。這是一個(gè)齊次方程。6求下列線性微分方程的解： (6) 解、方程變形為。這是一階線性方程。，。通解，即把代入

7、得。所求的特解是9設(shè)函數(shù)在連續(xù)，若由曲線，直線，（）與軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為，試求所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足初值條件的特解解、根據(jù)體積的計(jì)算，。所以。兩邊對(duì)求導(dǎo)得。所滿足的微分方程為。整理為。作變換。方程變?yōu)?。分離變量為。兩邊積分得，即，。把代入得。代回得特解10設(shè)滿足，求函數(shù)解、等式兩邊對(duì)求導(dǎo)得。這是一個(gè)線性方程， 。通解。由知。所以B類1求解下列微分方程：(1) ；(3) ； (12)，解、(1)作變換，方程變?yōu)?。分離變量為。兩邊積分得。通解。（3）如果用作函數(shù)，方程變?yōu)?。這是一個(gè)我們不認(rèn)得類型的方程。改用作函數(shù)。方程變型為。這是一個(gè)線性方程。，。通解

8、，即。（12）方程變?yōu)椤７蛛x變量為。兩邊積分得。通解（本來，但是，經(jīng)驗(yàn)證也是原方程的解，取消的限制。）把代入得。所求的特解是2. 小船從河邊點(diǎn)處出發(fā)駛向?qū)Π叮▋砂镀叫校?，設(shè)船速為，船行駛方向始終與河岸垂直，又設(shè)河寬為，河中任一點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離的乘積成正比（比例系數(shù)為），求小船的航行路線解、以河岸為軸作原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。得方程。分離變量為。兩邊積分。把代入得。小船的航行路線方程是。習(xí)題72A類1用分離變量法求下列方程的通解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；*(5) ；(6) 2求下列微分方程初值問題的解：(1) ，；(2) ，；*(3) ，；(4) ，；*(5) ，；(6

9、) ，3質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)受力作用作直線運(yùn)動(dòng)，該力和時(shí)間成正比，和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速率成反比，在時(shí)，速率等于，力為，問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過了一分鐘后的速率是多少?4用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q求解下列微分方程：(1) ；(2) ；*(3) ；*(4) ，*5設(shè)微分方程，其中為連續(xù)函數(shù)，為常數(shù)證明：(1) 若，則可選適當(dāng)變換（如）將該方程化為變量分離的方程；(2) 若，則可選變換（如）將該方程化為變量分離的方程；(3) 若，且不同時(shí)為零則可選取常數(shù)與，使變換，把該方程為齊次方程并用上述方法分別求解微分方程：(1) ；(2) ；(3) 6求下列線性微分方程的解：(1) ；(2) ；(3) ；*(4) ；(5) ，；*(6) 7

10、求下列伯努利方程的通解：(1) ；(2) ；*(3) ；*(4) 8一曲線經(jīng)過點(diǎn)，曲線上任一點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的矩形被該曲線分為兩部分，其中上面部分的面積恰好是下面部分面積的兩倍，求該曲線的方程*9設(shè)函數(shù)在連續(xù)，若由曲線，直線，（）與軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為，試求所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足初值條件的特解10設(shè)滿足，求函數(shù)B類1求解下列微分方程：(1) ；(2)(3) ；(4) ；*(5) ；*(6) ；(7) ；(8) ；*(9) ；*(10)；(11)，；(12)，*2. 小船從河邊點(diǎn)處出發(fā)駛向?qū)Π叮▋砂镀叫校?，設(shè)船速為，船行駛方向始終與河岸垂直，又設(shè)河寬為，河中任一點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離的乘積成正比（比例系數(shù)為），求小船的航行路線3. 容器內(nèi)有升的鹽水，含的鹽現(xiàn)以的均勻速率往容器內(nèi)注入凈水（假