數(shù)學(xué)分析2期末考試題庫(共28頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學(xué)分析2期末試題庫數(shù)學(xué)分析II考試試題（1）一、敘述題：（每小題6分，共18分）1、 牛頓-萊不尼茲公式2、 收斂的cauchy收斂原理3、 全微分二、 計(jì)算題：（每小題8分，共32分）1、2、求由曲線和圍成的圖形的面積和該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積。3、求的收斂半徑和收斂域，并求和4、已知 ，求 三、（每小題10分，共30分）1、寫出判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性常用的三種方法并判別級(jí)數(shù)2、討論反常積分的斂散性3、討論函數(shù)列的一致收斂性四、證明題（每小題10分，共20分）1、設(shè)，證明發(fā)散2、證明函數(shù) 在（0，0）點(diǎn)連續(xù)且可偏導(dǎo)，但它在該點(diǎn)不可微。，數(shù)學(xué)分析II考試題（2

2、）一、 敘述題：(每小題5分，共10分）1、 敘述反常積分為奇點(diǎn)收斂的cauchy收斂原理2、 二元函數(shù)在區(qū)域D上的一致連續(xù)二、 計(jì)算題：（每小題8分，共40分）1、2、求擺線與x軸圍成的面積3、求4、求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域5、， 求三、 討論與驗(yàn)證題：（每小題10分，共30分）1、，求；是否存在？為什么？2、討論反常積分的斂散性。3、討論的斂散性。四、 證明題：（每小題10分，共20分）1、 設(shè)f（x）在a,b連續(xù)，但不恒為0，證明2、 設(shè)函數(shù)u和v可微，證明grad(uv)=ugradv+vgradu數(shù)學(xué)分析II考試題（3）五、 敘述題：（每小題5分，共15分）1、定積分2、連通集3、

3、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致連續(xù)性六、 計(jì)算題：（每小題7分，共35分）1、2、求三葉玫瑰線圍成的面積3、求的上下極限4、求冪級(jí)數(shù)的和5、為可微函數(shù)， 求在極坐標(biāo)下的表達(dá)式七、 討論與驗(yàn)證題：（每小題10分，共30分）1、已知，求，問是否存在？為什么？2、討論反常積分的斂散性。3、討論的一致收斂性。八、 證明題：（每小題10分，共20分）1、 設(shè)f（x）在a,+）上單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，記它的反函數(shù)f-1（y），證明2、 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，證明級(jí)數(shù)也收斂數(shù)學(xué)分析（二）測(cè)試題（4） 一 判斷題（正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”；每小題3分，共15分）：1閉區(qū)間的全體聚點(diǎn)的集合是本身。2函數(shù) 是 在區(qū)間內(nèi)的

4、原函數(shù)。3若在上有界，則在上必可積。4若為連續(xù)的偶函數(shù)，則 亦為偶函數(shù)。5正項(xiàng)級(jí)數(shù) 是收斂的。二填空題（每小題3分，共15分）：1數(shù)列 的上極限為 ，下極限為 。2 。3 。4冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑 。5將函數(shù) 展開成傅里葉級(jí)數(shù)，則 ， ， 。三計(jì)算題（每小題7分，共28分）：1； 2； 3； 4四解答題（每小題10分，共30分）：1求由拋物線 與直線 所圍圖形的面積。2判斷級(jí)數(shù) 是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？3確定冪級(jí)數(shù) 的收斂域，并求其和函數(shù)。五證明題（12分）：證明：函數(shù) 在上有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，并求。 數(shù)學(xué)分析（二）測(cè)試題（5） 二 判斷題（正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×

5、”；每小題3分，共15分）：1設(shè)為點(diǎn)集的聚點(diǎn)，則。2函數(shù) 是 在內(nèi)的原函數(shù)。3有界是函數(shù)可積的必要條件。4若為連續(xù)的奇函數(shù)，則 亦為奇函數(shù)。5正項(xiàng)級(jí)數(shù) 是收斂的。二填空題（每小題3分，共15分）：1數(shù)列 的上極限為 ，下極限為 。2 。3 。4冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑 。5將函數(shù) 展開成傅里葉級(jí)數(shù)，則 ， ， 。三計(jì)算題（每小題7分，共28分）：1； 2； 3； 4四解答題（每小題10分，共30分）：1求由兩拋物線 與 所圍圖形的面積。2判斷級(jí)數(shù) 是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？3確定冪級(jí)數(shù) 的收斂域，并求其和函數(shù)。五證明題（12分）：證明：函數(shù) 在 上連續(xù)。數(shù)學(xué)分析（二）測(cè)試題（6）一判

6、斷（2*7=14分）（ ）1. 設(shè)上的極值點(diǎn)，則（ ）2.若在內(nèi)（ ）3.若（ ）4. 若（ ）5.若（ ）6.若（ ）7.若二填空（3*7=21分）1. 已知2 3.4 .求_5.求 6用定積分求7.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R 三 . 計(jì)算 （4*7=28分）(要有必要的計(jì)算過程)1. 2. 3. 4求曲線 四判別級(jí)數(shù)的斂散性（2*9=18分）(要有必要的過程) 1 . 2 .判別在上是否一致收斂，為什么五證明：(9+10=19分)1設(shè)級(jí)數(shù)與都收斂，證明：絕對(duì)收斂2設(shè)上二階可導(dǎo)，證明：存在 一點(diǎn)，使得 數(shù)學(xué)分析（二）測(cè)試題（7） 一判斷（2*7=14分）（ ）1. 設(shè)，則的極值點(diǎn) （ ）2.若在內(nèi)（

7、 ）3.若（ ）4. 若（ ）5.若（ ）6.若（ ）7.二填空（3*7=21分）1. 已知2 3.4 .求_5.求 6用定積分求7.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R 三 . 計(jì)算 （4*7=28分）(要有必要的計(jì)算過程)1. 2. 3. 4求曲線 四判別級(jí)數(shù)的斂散性（2*9=18分）(要有必要的過程) 1 . 2 .判別在上是否一致收斂，為什么五證明：(9+10=19分)1設(shè)級(jí)數(shù)與都收斂，證明：收斂2數(shù)學(xué)分析（二）測(cè)試題（8） 三 判斷題（正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”；每小題3分，共15分）：1開區(qū)間的全體聚點(diǎn)的集合是本身。2函數(shù) 是 在區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)。3若在上有界，則在上必可積。4若為上的連續(xù)

8、函數(shù)，則在上可導(dǎo)。5正項(xiàng)級(jí)數(shù) 是收斂的。二填空題（每小題4分，共16分）：1 。2 。3冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑 。4將函數(shù) 展開成傅里葉級(jí)數(shù)，則 ， ， 。三計(jì)算題（每小題10分，共30分）：1； 2； 3； 四解答題（每小題10分，共30分）：1求由拋物線 與直線 所圍圖形的面積。2判斷級(jí)數(shù) 是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？3確定冪級(jí)數(shù) 的收斂域，并求其和函數(shù)。五證明題（9分）：證明：函數(shù) 在 上連續(xù)。參考答案（1）一、1、設(shè)在連續(xù)，是在上的一個(gè)原函數(shù)，則成立2、使得，成立3、設(shè)為開集，是定義在上的二元函數(shù)，為中的一定點(diǎn)，若存在只與點(diǎn)有關(guān)而與無關(guān)的常數(shù)A和B，使得則稱函數(shù)f在點(diǎn)處是可微

9、的，并稱為在點(diǎn)處的全微分二、1、分子和分母同時(shí)求導(dǎo)（8分）2、 、兩曲線的交點(diǎn)為（0，0），（1，1）（2分）所求的面積為：（3分）所求的體積為：（3分）3、 解：設(shè)，收斂半徑為1，收斂域-1，1（2分）(3分）x=0級(jí)數(shù)為0，x=1，級(jí)數(shù)為1，x=-1，級(jí)數(shù)為1-2ln2（3分）4、解： =（3分）(5分）三、1、解、有比較判別法，Cauchy,DAlembert,Raabe判別法等（應(yīng)寫出具體的內(nèi)容4分）（4分）由DAlembert判別法知級(jí)數(shù)收斂（1分）2、解：（2分），對(duì)，由于故p>0時(shí)收斂（4分）；，由于（4分）故對(duì)一切的p收斂，綜上所述p>0，積分收斂3、解：收斂于（4

10、分）所以函數(shù)列一致收斂性（6分）四、證明題（每小題10分，共20分）1、證明：（6分）發(fā)散，由比較判別法知級(jí)數(shù)發(fā)散（4分）2、證明：（4分）=0所以函數(shù)在（0，0）點(diǎn)連續(xù)，（3分）又，存在切等于0，（4分）但不存在，故函數(shù)在（0，0）點(diǎn)不可微（3分）參考答案（2）1、使得，成立2、設(shè)為點(diǎn)集，為映射，使得，成立 二、1、由于在0，1可積，由定積分的定義知（2分）=（6分）4、 、所求的面積為：（8分）5、 解： (3分）4、解：，r=1（4分）由于x=0，x=2時(shí)，級(jí)數(shù)均收斂，所以收斂域?yàn)?，2（4分）5、解： =（3分）（5分）三、1、解、（5分）由于沿趨于（0，0）極限為所以重極限不存在（5

11、分）2、解：（2分），對(duì)，由于故p<2時(shí)收斂（4分）；，由于（4分）故p>1收斂，綜上所述1<p<2，積分收斂3、解：所以級(jí)數(shù)收斂（10分）四、證明題（每小題10分，共20分）1、證明：由但不恒為0，至少有一點(diǎn) f（x）在a,b連續(xù)（2分），存在包含x0的區(qū)間，有（4分），（4分）2、證明：以二元函數(shù)為例（10分）參考答案（3）一、1、設(shè)有定數(shù)I，使得對(duì)任意的分法和任意的點(diǎn)，只要，成立2、 S的任意兩點(diǎn)x，y之間，都存在S中的一條道路r，則稱S為連通集3、使得，成立二、1、（5分）（2分）6、 由對(duì)稱性知，所求的面積為：（7分）7、 解：上極限為0.5，下極限為 (7分

12、）4、解：，r=2（3分）收斂域?yàn)椋?3，1），級(jí)數(shù)的和為（4分），5、解： 設(shè)極坐標(biāo)方程為=（5分）=（2分）三、1、解、由于有界，為無窮小，0 （5分），而極限不存在，極限存在，故整體極限不存在，同理不存在（5分）2、解：（2分），對(duì)，由于故時(shí)收斂（4分）；，由于（4分）故收斂，綜上所述，時(shí)，積分收斂（2分）3、解：（3分），所以函數(shù)列一致收斂（7分）四、證明題（每小題10分，共20分）1 證明：當(dāng)時(shí)，（4分）當(dāng)時(shí)，（3分）當(dāng)時(shí)，（3分）2、證明：由于收斂，故（2分），于是，總存在使得時(shí)，有，從而，當(dāng)時(shí)，有（5分），由于級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)然收斂，故級(jí)數(shù)收斂，從而也收斂（3分）標(biāo) 準(zhǔn) 答 案 （4

13、）四 判斷題（正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”；每小題3分，共15分）：1 2 3× 4× 5二填空題（每小題3分，共15分）：1， ； 2； 3； 4 3 ；5 0 ， 0 ，三計(jì)算題（每小題7分，共28分）：1； （4分） （3分）2； （4分） （3分）3； （2分） （2分） （2分） （1分） 4。 （2分） （3分） （2分）四解答題（每小題10分，共30分）：1求由拋物線 與直線 所圍圖形的面積。 解：兩交點(diǎn)為，則 （3分）18 （3分） （3分） （1分）2判斷級(jí)數(shù) 是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？ 解：設(shè) ， 則 ， （3分） 由Leibn

14、iz判別法知，級(jí)數(shù) 收斂。 （3分） 而由 知，級(jí)數(shù) 發(fā)散，故原級(jí)數(shù)條件收斂。 （4分）3確定冪級(jí)數(shù) 的收斂域，并求其和函數(shù)。 解： 因?yàn)?， 所以 （2分）當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)冪級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂半徑。 （2分） 又當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂域?yàn)椤?（2分） 設(shè) ，則，從而 （2分）， 。 （2分）五證明題（12分）：證明：函數(shù) 在上有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，并求。證明：因?yàn)?，有 ， （3分）而級(jí)數(shù)都收斂，故級(jí)數(shù)，都在上一致收斂。 （3分）又級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是連續(xù)的，故由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性和可微性知， 都在上連續(xù)，且 （3分）， ， 。 （2分）標(biāo) 準(zhǔn) 答 案 （5）五 判斷題（正確的打“”，錯(cuò)誤的打

15、“×”；每小題3分，共15分）：1× 2 3 4× 5二填空題（每小題3分，共15分）：1 3 ， 1 ； 2； 3； 4；5， ， 0 三計(jì)算題（每小題7分，共28分）：1； （2分） （3分） （2分）22 ； （）（3分） （3分） （1分）3； （2分） （3分） （2分） 41 。 （2分） （3分） （1分）四解答題（每小題10分，共30分）：1求由兩拋物線 與 所圍圖形的面積。 解：兩交點(diǎn)為，則 （3分） （3分） （3分） （1分）2判斷級(jí)數(shù) 是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？解：設(shè) ， 則 ， （3分） 由Leibniz判別法知，級(jí)數(shù) 收

16、斂。 （3分） 而由 知，級(jí)數(shù) 發(fā)散，故原級(jí)數(shù)條件收斂。 （4分）3確定冪級(jí)數(shù) 的收斂域，并求其和函數(shù)。 解： 因?yàn)?， 所以收斂半徑。 （3分） 又當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂域?yàn)椤?（3分） 設(shè) ，則， （2分）從而 ， 。 （2分）五證明題（12分）：證明：函數(shù) 在 上連續(xù)。證明：因?yàn)?，有 ， （4分）而級(jí)數(shù)收斂，故級(jí)數(shù)在上一致收斂。 （4分）又級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是連續(xù)的，故由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性知，在上連續(xù) 。 （4分）答案（6）1234567一××××二02三 . 計(jì)算 (要有必要的計(jì)算過程)1. = 2. （令） 3. 4求曲線 解：四判別級(jí)數(shù)的斂散性

17、 1 . 解：2 .判別在上是否一致收斂，為什么解：，且在上一致收斂五證明：1設(shè)級(jí)數(shù)與都收斂，證明：絕對(duì)收斂證明：2設(shè)上二階可導(dǎo)，證明：存在 一點(diǎn)，使得 （提示：用泰勒公式）證明：由泰勒公式知 及 分別令 （1） （2）（其中） ， （2）（1）得；( 其中 )答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（7）1234567一×××二001三 . 計(jì)算 1. 2. （令） 3. 4求曲線 解：四判別級(jí)數(shù)的斂散性（2*9=18分）(要有必要的過程) 1 . 解：2 .判別在上是否一致收斂，為什么解：，且在上一致收斂五證明：(9+10=19分)1設(shè)級(jí)數(shù)與都收斂，證明：收斂解：2證明：（反證）若 ,則與矛盾標(biāo) 準(zhǔn) 答 案 及 評(píng) 分 標(biāo) 準(zhǔn)（8）六 判斷題（正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”；每小題3分，共15分）：1× 2 3× 4 5 ×二填空題（每小題4分，共16分）：1； 2； 3 3 ；4 0 ， 0 ，三計(jì)算題（每小題10分，共30分）：1； （5分） （5分）2； (5分) （4分） （1分）3； （3分） （3分） （3分） （1分）四解答題（每小題10分，共30分）：1求由拋物線 與直線 所圍圖形的面積。 解：兩交點(diǎn)為，則 （3分）18 （3分） （3