北師版九年級(jí)下冊(cè)第一章直角三角形的邊角關(guān)系知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題

1、 九年級(jí)下冊(cè)第一章 直角三角形的邊角關(guān)系【知識(shí)要點(diǎn)】一、銳角三角函數(shù)： 正切：在RtABC中，銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作tanA，即; 正弦：在RtABC中，銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作sinA，即; 余弦：在RtABC中，銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作cosA，即; 余切：在RtABC中，銳角A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做A的余切，記作cotA，即;注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定義的,A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合,構(gòu)造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一個(gè)完整的符號(hào),表示A,習(xí)慣省去“”號(hào)； （3）sinA,cosA,

2、tanA,是一個(gè)比值.注意比的順序,且sinA,cosA,tanA,均0,無單位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只與A的大小有關(guān),而與直角三角形的邊長(zhǎng)無關(guān). （5）角相等,則其三角函數(shù)值相等；兩銳角的三角函數(shù)值相等,則這兩個(gè)銳角相等.1、三角函數(shù)和角的關(guān)系 tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 sinA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，sinA的值越大。 cosA的值越小，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，cosA的值越大。2、 三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互為余角的函數(shù)之間的關(guān)系0º30 º45 º6

3、0 º90 ºsin01cos10tan01cot10若A為銳角，則； ； （2）同角的三角函數(shù)的關(guān)系利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，(1)當(dāng)角度在0°90°間變化時(shí)，正弦值、正切值隨著角度的增大(或減?。?而增大(或減小)；余弦值、余切值隨著角度的增大(或減小) 而減小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。 1)平方關(guān)系：sinA2cosA21 2)倒數(shù)關(guān)系：tanA·cotA1 3)商的關(guān)系：tanA，cotA 二、解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和二個(gè)銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有

4、未知元素的過程，叫做解直角三角形。在ABC中，C為直角，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有(1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2； (2)兩銳角的關(guān)系：AB=90°； 解直角三角形的幾種基本類型列表如下：(3)邊與角之間的關(guān)系：(4)面積公式:(hc為C邊上的高); (5)直角三角形的內(nèi)切圓半徑(6)直角三角形的外接圓半徑三、解直角三角形的應(yīng)用：1、當(dāng)從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角 當(dāng)從高處觀測(cè)低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為俯角2、 如圖2，坡面與水平面的夾角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角

5、，叫做方位角。如圖3，OA、OB、OC的方位角分別為45°、135°、225°。指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4，OA、OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30°，南偏東45°(東南方向)、南偏西為60°，北偏西60°?！净A(chǔ)訓(xùn)練】銳角三角函數(shù)定義一、填空題1如圖所示，B、B是MAN的AN邊上的任意兩點(diǎn)，BCAM于C點(diǎn)，BCAM于C點(diǎn)，則B'AC_，從而，又可得_，即在RtABC中(C90°)，當(dāng)A確定時(shí)，它的_與_的比是一個(gè)_值；_，即在RtABC中(C

6、90°)，當(dāng)A確定時(shí)，它的_與_的比也是一個(gè)_；_，即在RtABC中(C90°)，當(dāng)A確定時(shí)，它的_與_的比還是一個(gè)_第1題圖2如圖所示，在RtABC中，C90° 第2題圖_，_；_，_；_，_3因?yàn)閷?duì)于銳角a 的每一個(gè)確定的值，sina 、cosa 、tana 分別都有_與它_，所以sina 、cosa 、tana 都是_又稱為a 的_4在RtABC中，C90°，若a9，b12，則c_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_5在RtABC中，C90°，若a1，b3，則c_，sinA_，cosA_，tanA_，s

7、inB_，cosB_，tanB_6在RtABC中，B90°，若a16，c30，則b_，sinA_，cosA_，tanA_，sinC_，cosC_，tanC_7在RtABC中，C90°，若A30°，則B_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_二、解答題8已知：如圖，RtTNM中，TMN90°，MRTN于R點(diǎn)，TN4，MN3求：sinTMR、cosTMR、tanTMR9已知RtABC中，求AC、AB和cosB綜合、運(yùn)用、診斷10已知：如圖，RtABC中，C90°D是AC邊上一點(diǎn)，DEAB于E點(diǎn)DEAE12求：sin

8、B、cosB、tanB11已知：如圖，ABC中，AC12cm，AB16cm，(1)求AB邊上的高CD；(2)求ABC的面積S；(3)求tanB12已知：如圖，ABC中，AB9，BC6，ABC的面積等于9，求sinB拓展、探究、思考13已知：如圖，RtABC中，C90°，按要求填空：(1)_；(2)b_，c_；(3)a_，b_；(4)_，_；(5) _，_；(6)3，_，_正切：1、在RtABC中,銳角A的對(duì)邊和鄰邊同時(shí)擴(kuò)大100 倍,tanA的值（ ） A.擴(kuò)大100倍 B.縮小100倍 C.不變 D.不能確定 2、已知A,B為銳角 (1)若A=B,則tanA tanB; (2)若t

9、anA=tanB,則A B. 3、在ABC中，C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.正弦和余弦：1已知中，3cosB=2， AC= ，則AB= 2.在Rt中，如果，那么的值是（ ）A. B. C. D.3.在中，分別是的對(duì)邊，若，則 4.如圖，一架梯子斜靠在墻上，若梯子到墻的距離=3米，則梯子的長(zhǎng)度為 米5.如果是等腰直角三角形的一個(gè)銳角，則的值是（） 三角函數(shù)值的計(jì)算一、填空題1填表銳角a30°45°60°sinacosatana二、解答題 2求下列各式的值 (1) (2)tan30°sin60°&#

10、183;sin30°(3)cos45°3tan30°cos30°2sin60°2tan45° (4)3求適合下列條件的銳角a (1) (2) (3) (4)綜合、運(yùn)用、診斷4已知：如圖，在菱形ABCD中，DEAB于E，BE16cm，求此菱形的周長(zhǎng)5已知：如圖，在ABC中，BAC120°，AB10，AC5求：sinACB的值6已知：如圖，RtABC中，C90°，BAC30°，延長(zhǎng)CA至D點(diǎn)，使ADAB求： (1)D及DBC； (2)tanD及tanDBC； (3)請(qǐng)用類似的方法，求tan22.5°

11、7 已知：如圖，RtABC中，C90°，作DAC30°，AD交CB于D點(diǎn)，求： (1)BAD；(2)sinBAD、cosBAD和tanBAD8已知：如圖ABC中，D為BC中點(diǎn)，且BAD90°，求：sinCAD、cosCAD、tanCAD拓展、探究、思考9已知：如圖，AOB90°，AOOB，C、D是上的兩點(diǎn)，AODAOC，求證： (1)0sinAOCsinAOD1；(2)1cosAOCcosAOD0；(3)銳角的正弦函數(shù)值隨角度的增大而_；(4)銳角的余弦函數(shù)值隨角度的增大而_10 已知：如圖，CAAO，E、F是AC上的兩點(diǎn)，AOFAOE (1)求證：ta

12、nAOFtanAOE； (2)銳角的正切值隨角度的增大而_11已知：如圖，RtABC中，C90°，求證：(1)sin2Acos2A1 (2)解直角三角形（一）一、填空題1在解直角三角形的過程中，一般要用的主要關(guān)系如下(如圖所示)：在RtABC中，C90°，ACb，BCa，ABc，三邊之間的等量關(guān)系：_兩銳角之間的關(guān)系：_邊與角之間的關(guān)系： _；_； 第1題圖_；_直角三角形中成比例的線段(如圖所示)第小題圖在RtABC中，C90°，CDAB于DCD2_；AC2_；BC2_；AC·BC_直角三角形的主要線段(如圖所示)第小題圖直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

13、的_，斜邊的中點(diǎn)是_若r是RtABC(C90°)的內(nèi)切圓半徑，則r_直角三角形的面積公式在RtABC中，C90°，SABC_(答案不唯一)2關(guān)于直角三角形的可解條件，在直角三角形的六個(gè)元素中，除直角外，只要再知道_(其中至少_)，這個(gè)三角形的形狀、大小就可以確定下來解直角三角形的基本類型可分為已知兩條邊(兩條_或斜邊和_)及已知一邊和一個(gè)銳角(_和一個(gè)銳角或_和一個(gè)銳角)3填寫下表：已知條件解法一條邊和斜邊c和銳角AB_，a_，b_直角邊a和銳角AB_，b_，c_兩條邊兩條直角邊a和bc_，由_求A，B_直角邊a和斜邊cb_，由_求A，B_二、解答題4在RtABC中，C90

14、°(1)已知：a35，求A、B，b；(2)已知：，求A、B，c；(3)已知：，求a、b；(4)已知：求a、c；(5)已知：A60°，ABC的面積求a、b、c及B拓展、探究、思考8如圖所示，甲樓在乙樓的西面，它們的設(shè)計(jì)高度是若干層，每層高均為3m，冬天太陽光與水平面的夾角為30°(1)若要求甲樓和乙樓的設(shè)計(jì)高度均為6層，且冬天甲樓的影子不能落在乙樓上，那么建筑時(shí)兩樓之間的距離BD至少為多少米?(保留根號(hào))(2)由于受空間的限制，甲樓和乙樓的距離BD21m，若仍要求冬天甲樓的影子不能落在乙樓上，那么設(shè)計(jì)甲樓時(shí)，最高應(yīng)建幾層?9王英同學(xué)從A地沿北偏西60°方向

15、走100m到B地，再從B地向正南方向走200m到C地，此時(shí)王英同學(xué)離A地多少距離?10已知：如圖，在高2m，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)度至少需要多少米?(保留整數(shù))、解直角三角形（二）1已知：如圖，ABC中，A30°，B60°，AC10cm求AB及BC的長(zhǎng)2已知：如圖，RtABC中，D90°，B45°，ACD60°BC10cm，AD的長(zhǎng)3已知：如圖，ABC中，A30°，B135°，AC10cm求AB及BC長(zhǎng)4已知：如圖，RtABC中，A30°，C90°，BDC60°，BC6

16、cm求AD的長(zhǎng)綜合、運(yùn)用、診斷5已知：如圖，河旁有一座小山，從山頂A處測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)C的俯角為30°，測(cè)得岸邊點(diǎn)D的俯角為45°，又知河寬CD為50m現(xiàn)需從山頂A到河對(duì)岸點(diǎn)C拉一條筆直的纜繩AC，求山的高度及纜繩AC的長(zhǎng)(答案可帶根號(hào))三角函數(shù)的應(yīng)用1、 船有觸礁的危險(xiǎn)嗎 例1、已知：如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點(diǎn)A處測(cè)得燈塔M在北偏西30°，貨輪以每小時(shí)20海里的速度航行，1小時(shí)后到達(dá)B處，測(cè)得燈塔M在北偏西45°，問該貨輪繼續(xù)向北航行時(shí)，與燈塔M之間的最短距離是多少?(精確到0.1海里，)練習(xí)1、如圖，某貨船以20海里時(shí)的速度將一批重要物資由A處運(yùn)

17、往正西方向的B處，經(jīng)16小時(shí)的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨.此時(shí).接到氣象部門通知，一臺(tái)風(fēng)中心正以40海里時(shí)的速度由A向北偏西60°方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均受到影響. (1)問：B處是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響?請(qǐng)說明理由.(2)為避免受到臺(tái)風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時(shí)內(nèi)卸完貨物?(供選用數(shù)據(jù)：1.4， 1.7)練習(xí)2、如圖，一條小船從港口出發(fā)，沿北偏東方向航行海里后到達(dá)處，然后又沿北偏西方向航行海里后到達(dá)處問此時(shí)小船距港口多少海里？（結(jié)果精確到1海里）（以下數(shù)據(jù)可以選用：，)2、測(cè)量物體的高度(1) 例2、已知：如圖，在某旅游地一名游客由山腳A沿坡角為30

18、76;的山坡AB行走400m，到達(dá)一個(gè)景點(diǎn)B，再由B地沿山坡BC行走320米到達(dá)山頂C，如果在山頂C處觀測(cè)到景點(diǎn)B的俯角為60°求山高CD(精確到0.01米)練習(xí)1、已知：如圖，在兩面墻之間有一個(gè)底端在A點(diǎn)的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在B點(diǎn)；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在D點(diǎn)已知BAC60°，DAE45°點(diǎn)D到地面的垂直距離，求點(diǎn)B到地面的垂直距離BC練習(xí)2、已知：如圖，小明準(zhǔn)備測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)斜坡正對(duì)著太陽時(shí)，旗桿AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，測(cè)得水平地面上的影長(zhǎng)BC20m，斜坡坡面上的影長(zhǎng)CD8m，太陽光線AD與水平地

19、面成26°角，斜坡CD與水平地面所成的銳角為30°，求旗桿AB的高度(精確到1m) 3、測(cè)量物體的高度(2) 例3、某市為促進(jìn)本地經(jīng)濟(jì)發(fā)展,計(jì)劃修建跨河大橋,需要測(cè)出河的寬度AB, 在河邊一座高度為300米的山頂觀測(cè)點(diǎn)D處測(cè)得點(diǎn)A,點(diǎn)B的俯角分別為=30°,=60°, 求河的寬度(精確到0.1米)練習(xí)1、如圖：某水壩的橫斷面為梯形，壩頂寬為米，壩高為米，斜坡的坡度，斜坡的坡角為求（1）斜坡的坡角；（2）壩底寬（精確到米）（參考數(shù)據(jù)：， ） 直角三角形的邊角關(guān)系基礎(chǔ)性測(cè)試卷 一、選擇題1如圖，在中，3，4，5,則的值是（）ABCD2在中，則等于（ ）ABC

20、 D 3如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為2，如果將線段繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，那么等于（）A1BC D4如圖.一個(gè)小球由地面沿著坡度=12的坡面向上前進(jìn)了10，此時(shí)小球距離地面的高度為（）A5 B C D5如圖，在某海島的觀察所A測(cè)得船只B的俯角是30°.若觀察所的標(biāo)高（當(dāng)水位為0m時(shí)的高度）是53m，當(dāng)時(shí)的水位是3m，則觀察所A和船只B的水平距離BC是（ ）A50 mB mC53 mDm 6如圖，兩條寬度均為40 m的國(guó)際公路相交成角，那么這兩條公路在相交處的公共部分（圖中陰影部分）的路面面積是（ ）A（m2） B（m2） C1600sin（m2） D1600cos（m2）7

21、某市為了美化環(huán)境，計(jì)劃在如圖所示的三角形空地上種植草皮，已知這種草皮每平方米售價(jià)為a元，則購買這種草皮至少需要（ ）A450a元B225a元C150a元D300a元8身高相同的甲、乙、丙三人放風(fēng)箏，各人放出線長(zhǎng)分別為300米、350米、280米，線與地面的夾角分別為30°、45°、60°（假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的），三人所放風(fēng)箏（ ）A甲的最高B乙的最高C丙的最高D一樣高2、 填空題1在中，若=2，則 2在中，則 3在中，則 4在中，則的面積為 5如圖所示，在高2 m，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)度至少需要 m6如圖所示，從位于O處的某哨所發(fā)現(xiàn)在它的

22、北偏東60°的方向，相距600 m的A處有一艘快艇正在向正南方向航行，經(jīng)過若干時(shí)間，快艇到達(dá)哨所東南方向的B處，則A，B的距離為 m7如圖，在高為h的山頂上，測(cè)得一建筑物頂端與底部的俯角分別為30°和60°，用h表示這個(gè)建筑物的高為 （第7題圖）（第6題圖）（第5題圖） （第6題圖） （第7題圖）三、解答題1在等腰直角三角形中，是上一點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)2如圖，學(xué)校的保管室里，有一架5米長(zhǎng)的梯子斜靠在墻上，此時(shí)梯子與地面所成的角為，如果梯子的底端固定不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面墻上，此時(shí)梯子與地面所成的角為，求此保管室的寬度的長(zhǎng)3如圖，在中，14，求的值。4一人由山底爬到山頂，他

23、先爬了的山坡200米，接著又爬了的山坡100米，到達(dá)山頂，求從山底到山頂?shù)母叨?。（精確到）5如圖，沿AC方向開山修渠，為了加快施工速度，要在小山的另一邊同進(jìn)施工，從AC上的點(diǎn)B取ABD135°，BD1200米，BDE45°，那么開挖點(diǎn)E離D多遠(yuǎn)（精確到0.1米）正好能使A、C、E成一條直線？直角三角形的邊角關(guān)系提高性測(cè)試卷一、選擇題1如圖，在RtABC中，ACB90°，CDAB，D為垂足若AC4，BC3，則sinACD的值為（ ）A B C D2已知AB90°且cosA，則cosB的值為（ ）A B C D3已知tana，則銳角a滿足（ ）A0°a30° B30°a45° C45°a60° D60°a90°4如圖所示，在ABC中，ABAC5，BC8，則tanC（ ）A B C D5如圖，從山頂A望到地面C，D兩點(diǎn)，測(cè)得它們的俯角分別是45°和30°，已知CD100m，點(diǎn)C在BD上，則山高AB等于（ ）A100 m Bm Cm D50（）m 6已知樓房AB高50 m，如圖，鐵塔塔基距樓房房基間的水平距離BD50 m，塔高DC為（）m，下列結(jié)論