初三數(shù)學(xué)第2講(教師版)：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、第2講 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法（1）公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn).（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線(xiàn)的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn).其中. 2、拋物線(xiàn)中的系數(shù) （1）決定開(kāi)口方向： 幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同. 當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).（2）和共同決定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置：當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為軸；當(dāng)、同號(hào)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)；當(dāng)、異號(hào)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)。簡(jiǎn)稱(chēng)為左同右異（3）決定拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)位置：當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)； 當(dāng)時(shí),

2、相交于軸的正半軸；當(dāng)時(shí),則相交于軸的負(fù)半軸.3、拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性：拋物線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)就是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)是頂點(diǎn).1、用配方法導(dǎo)出一般二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，并能利用頂點(diǎn)式解決問(wèn)題。2、會(huì)用配方法求二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)。 3、能根據(jù)拋物線(xiàn)圖形判定的符號(hào)，能根據(jù)的符號(hào)確定拋物線(xiàn)的大概位置。4、能靈活利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性解決問(wèn)題例1、把二次函數(shù)yax2bxc(a0)配方成ya(xh)2k形式為_(kāi)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是_，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)_當(dāng)x_時(shí)，y最值_；當(dāng)a0時(shí)，x_時(shí)，y隨x增大而減?。粁_時(shí)，y隨x增大而增大解析：配方法求一般二次函數(shù)的頂點(diǎn)公式，利用圖象判定二次函

3、數(shù)的增減性。答案：例2、把二次函數(shù)yx24x5配方成ya(xh)2k的形式，得_，這個(gè)函數(shù)的圖象有最_點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)解析：運(yùn)用配方法求二次函數(shù)頂點(diǎn)式、頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：例3、二次函數(shù)yax2x1的圖象必過(guò)點(diǎn)( )A(0，a)B(1，a)C(1，a)D(0，a)解析：把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，如果等號(hào)左邊等于等號(hào)右邊，則該點(diǎn)的拋物線(xiàn)上，否則不是。答案： 例4、已知拋物線(xiàn)yax2bxc(a0)(1)若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，則_；(2)若拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則_；(3)若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在y軸上，則_；(4)若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在x軸上，則_解析：根據(jù)答案：例5、求二次函數(shù)(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱(chēng)軸方程；(2)x取何值

4、時(shí)，y隨x增大而減小?x取何值時(shí)，y隨x增大而增大?(3)當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)有最大值或最小值，其值是多少?(4)x取何值時(shí)，y0，y0，y0?解析：先將二次函數(shù)配成頂點(diǎn)式，再用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)的圖形，根據(jù)圖形回答問(wèn)題。答案：例6：若二次函數(shù)的最小值為2，求m的值解析：找出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)直接代入公式解決問(wèn)題，注意二次函數(shù)有最小值，所以答案：4A1二次函數(shù)ymx22mx(3m)的圖象如下圖所示，那么m的取值范圍是( )Am0Bm3Cm0D0m3解析：利用二次函數(shù)圖象判定答案：C2在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)ykx2和ykx2(k0)的圖象大致如圖( )解析：利用一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖形及

5、性質(zhì)解決問(wèn)題答案：B3、如圖，已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，點(diǎn)A，B均在拋物線(xiàn)上，且AB與x軸平行，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為A（2，3） B（3，2） C（3，3） D（4，3）解析：利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性解決問(wèn)題答案：D 4、二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限解析：根據(jù)圖象可知答案：D5、把拋物線(xiàn)y=x+bx+c的圖象向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式為y=x3x5，則（ ）Ab=3，c=7Bb=6，c=3 Cb=9，c=5Db=9，c=21解析：先把二次函數(shù)解析式配成頂點(diǎn)式，再利用平移法則“上加下減、左加右減”解

6、決問(wèn)題答案：A.6、若把函數(shù)y=x的圖象用E（x，x）記，函數(shù)y=2x+1的圖象用E（x，2x+1）記，則E（x，）可以由E（x，）怎樣平移得到？ A向上平移個(gè)單位 B向下平移個(gè)單位C向左平移個(gè)單位 D向右平移個(gè)單位解析：根據(jù)定義可知點(diǎn)，然后利用平移法則解決問(wèn)題。答案：D7、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論a、b異號(hào)；當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；4a+b=0，當(dāng)y=4時(shí)，x的取值只能為0結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（ ） 個(gè)A1234解析：，再利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性判定、正確與否。答案：C8、已知拋物線(xiàn)（0）過(guò)A（，0）、O（0，0）、B（，）、C（3，）四點(diǎn)，則與的大小關(guān)系是

7、ABCD不能確定解析：答案：AB9、設(shè)a、b是常數(shù)，且b0，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+a2-5a-6為下圖中四個(gè)圖象之一，則a的值為（ ）A. 6或1B. 6或1C.6D. 1解析：因?yàn)?，所以?huà)佄锞€(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸不能為，排除第一個(gè)和第二個(gè)，又因?yàn)閳D形經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，經(jīng)驗(yàn)得答案：D10、 拋物線(xiàn)圖像向右平移2個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位，所得圖像的解析式為，則b、c的值為 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2解析：先將一般式配方成頂點(diǎn)式，再利用平移的法則解決問(wèn)題。答案：B11、定義為函數(shù)的特征數(shù), 下面給出特征數(shù)為 2m，1 m , 1 m

8、的函數(shù)的一些結(jié)論： 當(dāng)m = 3時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(，)； 當(dāng)m 0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線(xiàn)段長(zhǎng)度大于； 當(dāng)m時(shí)，y隨x的增大而減?。?當(dāng)m 0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn). 其中正確的結(jié)論有 A. B. C. D. 解析：根據(jù)定義可以得到函數(shù)解析式為，然后根據(jù)每一條件進(jìn)行驗(yàn)證。答案：B12：已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,記,則與的大小關(guān)系為 ( )A. B. C. D.、大小關(guān)系不能確定解析：根據(jù)圖象可知答案：CC13：如圖，兩條拋物線(xiàn)1=-2+1、2=2-1 與分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0），（2，0）且平行于y軸的兩條平行線(xiàn)圍成的陰影部分的面積為A8 B6 C10 D4解析：用分割拼接的方法將

9、陰影圖形變成規(guī)則圖形，然后求解。答案：A14:將拋物線(xiàn)繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，所得拋物線(xiàn)的解析式是（ ） A BC D解析：因?yàn)槭抢@頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1800，所以旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)前的一樣，開(kāi)口方向相反，即的值互為相反數(shù)。答案：D15、如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，與x軸交于A、B兩點(diǎn)求的值；如圖，設(shè)點(diǎn)C為該二次函數(shù)的圖象在x軸上方的一點(diǎn)，直線(xiàn)AC將四邊形ABCD的面積二等分，試證明線(xiàn)段BD被直線(xiàn)AC平分，并求此時(shí)直線(xiàn)AC的函數(shù)解析式；設(shè)點(diǎn)P、Q為該二次函數(shù)的圖象在x軸上方的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試猜想：是否存在這樣的點(diǎn)P、Q，使AQPABP？如果存在，請(qǐng)舉例驗(yàn)證你的猜想；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（圖供選用）解析

10、： 拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D()c=6.過(guò)點(diǎn)D、B點(diǎn)分別作AC的垂線(xiàn)，垂足分別為E、F，設(shè)AC與BD交點(diǎn)為M，AC 將四邊形ABCD的面積二等分，即：SABC=SADCDE=BF又DME=BMF， DEM=BFEDEMBFMDM=BM 即AC平分BDc=6. 拋物線(xiàn)為A（）、B（）M是BD的中點(diǎn) M（）設(shè)AC的解析式為y=kx+b，經(jīng)過(guò)A、M點(diǎn)解得直線(xiàn)AC的解析式為.存在設(shè)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為N(0，6)，在RtAQN中，易得AN=，于是以A點(diǎn)為圓心，AB=為半徑作圓與拋物線(xiàn)在x上方一定有交點(diǎn)Q，連接AQ，再作QAB平分線(xiàn)AP交拋物線(xiàn)于P，連接BP、PQ，此時(shí)由“邊角邊”易得AQPABP答案： （2）直線(xiàn)AC的

11、解析式為.（3）存在設(shè)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為N(0，6)，在RtAQN中，易得AN=，于是以A點(diǎn)為圓心，AB=為半徑作圓與拋物線(xiàn)在x上方一定有交點(diǎn)Q，連接AQ，再作QAB平分線(xiàn)AP交拋物線(xiàn)于P，連接BP、PQ，此時(shí)由“邊角邊”易得AQPABP1 拋物線(xiàn)yax2bx必過(guò)_點(diǎn)答案：原點(diǎn)2若二次函數(shù)ymx23x2mm2的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則m_，這個(gè)函數(shù)的解析式是_答案：2 3 若拋物線(xiàn)yx24xc的頂點(diǎn)在x軸上，則c的值是_答案：44 若二次函數(shù)yax24xa的最大值是3，則a_答案：-25把拋物線(xiàn)的圖象向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式是，試求b、c的值。答案： 1拋物線(xiàn)y2x23x5的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)當(dāng)x_時(shí)，y有最_值是_，與y軸的交點(diǎn)是_，當(dāng)x_時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)x_時(shí)，y隨x增大而增大答案：，2拋物線(xiàn)yax2bxc與y32x2的形狀完全相同，只是位置不同，則a_答案：-23拋物線(xiàn)y2x2先向_平移_個(gè)單位就得到拋物線(xiàn)y2(x3)2，再向_平移_個(gè)單位就得到拋物線(xiàn)y2(x3)24答案：右，3，上，44下列函數(shù)中y3x1；y4x23x；y52x2，是二次函數(shù)的有( )ABCD答案：D5拋物線(xiàn)y3x24的開(kāi)口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是( )A向下，(0，4)B向下，(0，4)C向上，(0，4)D向上，(0，4)答案：B6拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( )ABCD(1，0)答案