角平分線模型運用-

1、角平分線模型運用角平分線(l定義:如圖2-1,如果AOB =BOC ,那么AOC=2AOB=2BOC ,像OB 這樣,從一個角的頂點出發(fā),把這個角分成相等的兩個角的射線,叫作這個角的角平分線. (2角平分線的性質(zhì)定理如果一條射線是一個角的平分線,那么它把這個角分成兩個相等的角,在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.(3角平分線的判定定理在角的內(nèi)部,如果一條射線的端點與角的頂點重合,且把一個角分成兩個等角,那么這條射線是這個角的平分線,在角的內(nèi)部,到一個角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上,與角平分線有關的常用輔助線作法,即角平分線的四大基本模型,已知P 是MON 平分線上一點,(l若PA

2、 OM 于點A ,如圖2-2(a,可以過P 點作PB ON 于點B ,則PB=PA.可記為“圖中有角平分線,可向兩邊作垂線”. (aO(bO(2若點A 是射線OM 上任意一點,如圖2-2(b,可以在ON 上截取OB=OA ,連接PB ,構造OPB OPA.可記為“圖中有角平分線,可以將圖對折看,對稱以后關系現(xiàn)”.(3若AP OP 于點P ,如圖2-2(c,可以延長AP 交ON 于點B ,構造AOB 是等腰三角形,P 是底邊AB 的中點,可記為“角平分線加垂線,三線合一試試看”.(4若過P 點作PQ ON 交OM 于點Q ,如圖2-2(d,可以構造POQ 是等腰三角形,可記為“角平分線十平行線,

3、等腰三角形必呈現(xiàn)”.例1(1如圖2-3(a,在ABC 中,C=90。,AD 平分CAB ,BC=6cm ,BD=4cm ,那么點D到直線AB 的距離是( cm. 圖2-3(a(2如圖2-3(b,已知:1=2,3=4,求證:AP平分BAC. 圖2-3(b例2如圖2-4(a,RtABC中,ACB=90°,CDAB,垂足為D. AF平分CAB,交CD于點E,交CB于點F求證:CE= CF. 圖2-4(a將圖2-4(a中的ADE 沿AB 向右平移到A ,D ,E ,的位置,使點E ,落在BC 邊上,其它條件不變,如圖2-4(b所示.試猜想:BE'與CF 有怎樣的數(shù)量關系?請證明你的結

4、論. 圖2-4(b 例3閱讀下列學習材料:如圖2-5(a所示,OP 平分MON ,A 為OM 上一點,C 為OP 上一點,連接AC ,在射線ON 上截取OB =OA ,連接BC(如圖2-5(b,易證AOC BOC. 圖2-5(a 圖2-5(b 請根據(jù)上面的學習材料,解答下列各題:(l如圖2-5(c所示,在ABC 中,AD 是BAC 的外角平分線,P 是AD 上異于點A 的任意一點,試比較PB+PC 與AB+AC 的大小,并說明理由. 圖2-5(c B(2如圖2-5(d所示,AD 是ABC 的內(nèi)角平分線,其它條件不變,試比較PC - PB 與AC -AB 的大小,并說明理由. 圖2-5(d 例4如圖2-6(a,已知等腰直角三角形ABC 中,A=90°,AB=AC ,BD 平分ABC ,CE BD ,垂足為點E ,求證:BD=2CE. 圖2-6(a B(1如圖2-7(a,BD 、CE 分別是ABC 的外角平分線,過點A 作AD 上BD 、AE CE ,垂足分別為D 、E ,連接DE.求證:DE BC ,DE=2 1(AB+BC+AC; 圖2-7(a (2如圖2-7(b,BD 、CE 分別是ABC 的內(nèi)角平分線,其它條件不變; 圖2-7(b B(3如圖2-7(c,BD 為ABC 的內(nèi)角平分線,CE 為ABC 的外角平分線,其它條件不變,則在圖2-7(b、圖2-7(c