第五章矩陣的特征值與特征向量

1、第五章 矩陣的特征值與特征向量5.1 矩陣的特征值與特征向量習題1、 求矩陣的特征值與特征向量.2、 已知, 求A的特征值.3、 設(shè)A、B為n階方陣，A可逆，證明AB與BA有相同的特征值4、 設(shè)A是三階矩陣, 它的特征值是, 又知, 求B的特征值.5、 設(shè)矩陣，（1）求A的特征值。（2）求矩陣的特征值.6、 已知矩陣的三個特征值分別是4，1，-2，求a,b,c的值。7、 設(shè)矩陣有三個線性無關(guān)的特征向量,求x，y應(yīng)滿足的條件8、 試證(1)若是正交矩陣A的特征值，則也是A的特征值；(2)正交矩陣如果有實特征值則該特征值是1或1 5.2 相似矩陣與矩陣可對角化條件習題1、 設(shè)A是2階矩陣, , 判

2、斷A能否對角化.2、 判斷下列矩陣是否可對角化？若可對角化，求出可逆矩陣U,使為對角矩陣。（1）， （2）3、A,B均為n階矩陣，并且，試判斷下列結(jié)論的是否正確（1） （ ）（2）A與B有相同的特征值與特征向量 （ ）（3）存在對角矩陣U,使A,B都相似于U （ ）（4）r(A)=r(B)（ ）（5） （k為正整數(shù)）（ ）（6）若A可逆，則B也可逆，且 （ ）4、判斷下述結(jié)論是否正確 (1) n階矩陣A可對角化的充分必要條件是A有n個相異的特征值 （ ） (2) n階矩陣A可對角化的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量（ ） （3）n階矩陣A可對角化的充分必要條件是對于每個重特征根(i1，

3、2，m)，矩陣的秩是. （ ）5、 設(shè)矩陣相似，求x,y.6、設(shè)三階矩陣A的特征值為l，-2，3，矩陣,求： (1) B的特征值 (2) B是否可對角化若可以，試寫出其相似對角形矩陣 (3)? ?5.3 實對稱矩陣的對角化習題1、 已知實對稱矩陣，試求正交矩陣Q，使為對角矩陣。2、 設(shè)A、B是兩個實對稱矩陣,證明：存在正交矩陣Q，使的充分必要條件是A、B具有相同的特征值.3、 設(shè)3階方陣A滿足 (i1，2，3)，其中列向量，求方陣A4、 已知, 求5、 （1）對實對稱矩陣找一正交矩陣Q,使為對角矩陣； （2）求第五章綜合練習題一、 填空題1、 設(shè)A=, 則A的特征值為_.2、 設(shè)三階矩陣A的特

4、征值為1，1，2，則的特征值為_.的特征值為_(3E+ A)的特征值為_.3、 設(shè)三階矩陣A0，則A的全部特征向量為_.4、 若，則A_.5、二、 設(shè)A=，求 A的特征值和特征向量A能否與對角矩陣相似？三、 設(shè)n階矩陣A的每一行的n個元素的和都是，試證是A的個特征值，并且是A的對應(yīng)于的特征向量。四、證明：一個向量不可能是矩陣A的不同特征值的特征向量五、設(shè)A為三階實對稱矩陣，且滿足 ，已知r(A)=2, 求A的全部特征值及行列式的值.四、 已知是矩陣的一個特征向量(1)試確定參數(shù)a，b及特征向量所對應(yīng)的特征值；(2)問A能否相似于對角陣?說明理由七、設(shè)三階矩陣A滿足(i1，2，3)，其中列向量

5、, 試求矩陣A第五章提高練習題一 、填空題1. 知3階矩陣A的特征值是1，一2，3，則的特征值是_.2. 如果n階矩陣A滿足則A有特征值_.3. 若n階矩陣A的元素全是1，則A的n個特征值是_.4. 如果，則=_.5. 設(shè)A為n階矩陣，為A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣若A有特征值，則必有特征值_.6. 已知3階矩陣A的特征值是1，2，一1設(shè)矩陣，則=_.7. 設(shè)A是3階可逆矩陣，其逆矩陣的特征值為，則行列式_.8. 設(shè)，矩陣，n為正整數(shù)，則行列式_. (其中為常數(shù))二、選擇題1、 3階矩陣A的特征值是1，2，3，相應(yīng)的特征向量依次是，設(shè)，則（A）, (B), (C), (D)2、下列2階矩陣可

6、對角化的是( ) （A）, (B), (C), (D)3、已知3階矩陣A的特征值是0，土1，則下列命題中不正確的是( )(A) 矩陣A是不可逆的； (B) A和對角矩陣相似，(c) 1和一1所對應(yīng)的特征向量是正交的，(D) Ax=0的基礎(chǔ)解系由一個向量組成4、若，則有( )(A)(B) (c) 對于矩陣A與B有相同的特征向量(D)A 與B均與一個對角矩陣相似5、若，A可逆，則在以下結(jié)論中，( )錯誤 （A）, (B) , (C), (D),三、判斷并說明理由1、 若是齊次方程的一個基礎(chǔ)解系,為非零常數(shù)，則為矩陣A屬于 的全部特征向量. ( )2、若 為矩陣A和B的共同特征值，則 為矩陣A+B的特征值 ( )3、若 ，則A有一個特征值為0.4、若方陣A與B有相同的特征值，則.四、 設(shè)矩陣，1、 求A的特征值。2、 求矩陣的特征值.3、 求的特征值。五、沒A為正交矩陣，