平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

1、本文格式為Word版，下載可任意編輯平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的是一種特別而又廣泛應(yīng)用的隨機(jī)過(guò)程。一、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程定義1.狹義平穩(wěn)定義隨機(jī)過(guò)程的維分布函數(shù)或維概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，即對(duì)于任何和，隨機(jī)過(guò)程的維概率密度函數(shù)滿意 則稱是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。簡(jiǎn)稱嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性將不隨時(shí)間的推移而不同。它的一維概率密度函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，即 而二維概率密度函數(shù)僅依靠于時(shí)間間隔 有關(guān)，即 2.廣義平穩(wěn)定義：若隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望及方差與時(shí)間無(wú)關(guān)，而自相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間隔有關(guān)，即 則稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或?qū)捚椒€(wěn)隨機(jī)過(guò)程。通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲大多數(shù)可視為

2、廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。以后爭(zhēng)論平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程除特別說(shuō)明外均指廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。二、各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程在滿意肯定條件下的一個(gè)特別重要的特性。設(shè)是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中任取的一個(gè)樣本函數(shù)，若的數(shù)字特征（統(tǒng)計(jì)平均）可由的時(shí)間平均值替代，即 則稱隨機(jī)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性?！案鲬B(tài)歷經(jīng)”的含義：從隨機(jī)過(guò)程中得到的任何一個(gè)樣本函數(shù)，都經(jīng)受了隨機(jī)過(guò)程的全部可能狀態(tài)。因此，可用一個(gè)樣本函數(shù)得統(tǒng)計(jì)特性來(lái)了解整個(gè)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，從而使“統(tǒng)計(jì)平均”化為“時(shí)間平均”，使實(shí)際測(cè)量和計(jì)算的問(wèn)題大為簡(jiǎn)化。留意：只有平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程才可能具有各態(tài)歷經(jīng)性，但在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿意各態(tài)歷經(jīng)性條件。三、平穩(wěn)隨機(jī)

3、過(guò)程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度1.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的定義式 性質(zhì)：（1）（的平均功率）（2）（是偶函數(shù)）（3）（時(shí)有最大值，為上界值）（4）（的直流功率）（5）（方差，為的溝通功率） 由上述性質(zhì)可知，用自相關(guān)函數(shù)可表述的幾乎全部的數(shù)字特征，因而具有有用意義。例3.3.1 設(shè)隨機(jī)過(guò)程，其中是在內(nèi)勻稱分布的隨機(jī)變量。試證明：（1） 是廣義平穩(wěn)的；（2）試說(shuō)明它的自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)。證明：(1)按題意，隨機(jī)相位的概率密度函數(shù)為 則的數(shù)學(xué)期望為 的自相關(guān)函數(shù)為 令，得?？梢?jiàn)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)（等于0）而自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，所以為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。(2) 畫(huà)出它的自相關(guān)

4、函數(shù)的曲線圖3.3.1。由圖可見(jiàn)，為的偶函數(shù)；，其直流功率經(jīng)計(jì)算得，說(shuō)明無(wú)直流功率，這時(shí)溝通功率就是。 圖3.3.1 隨機(jī)相位余弦波的自相關(guān)函數(shù) 2. 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度對(duì)于任意的確定功率信號(hào)，它的功率譜密度可以表示成 式中是的截短函數(shù)的頻譜函數(shù)。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的每個(gè)實(shí)現(xiàn)（樣本函數(shù)）是一個(gè)時(shí)間信號(hào)，且為功率信號(hào)，因而每個(gè)實(shí)現(xiàn)的功率譜密度可由上式表示。但是隨機(jī)過(guò)程的每一個(gè)實(shí)現(xiàn)是不能預(yù)知的，因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能當(dāng)作平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度，而必需進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均。與確定功率信號(hào)相像，令是隨機(jī)過(guò)程的某一實(shí)現(xiàn)的截短函數(shù)，且其傅里葉變換存在，即有?？梢缘玫狡椒€(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度為 而的平均功率為 隨機(jī)過(guò)程功率譜密度的性質(zhì)：（1）非負(fù)性（2）實(shí)偶性 3.功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納-辛欽關(guān)系 簡(jiǎn)記為 的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換。在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到如下結(jié)論：(1)對(duì)功率譜密度進(jìn)行積分，可以得到平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的總功率。 這正是維納-辛欽關(guān)系的意義所在，它不僅指出了用自相關(guān)函數(shù)來(lái)表示功率譜密度，同時(shí)還從頻域的角度給出了隨機(jī)過(guò)程平均功率的計(jì)算方法，而式是時(shí)域的計(jì)算方法。例3.3.2 求隨機(jī)相位余弦波的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。解：在例3.3