16微積分基本定理

1、一、復習引入一、復習引入1205(2)3tdt12013x dx 1.1.定積分的定義定積分的定義?1. 221嗎嗎算算由由定定積積分分的的定定義義可可以以計計dxx niinbafnabdxxf1lim （1 1）分割）分割 ,121.個個分分點點上上等等間間隔隔的的插插入入，在在區(qū)區(qū)間間 n每每個個小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度為為 nix1nni111 （2）近似代替）近似代替 , 2 , 111ninii 取取dxx 211利利用用定定積積分分的的定定義義計計算算 xxf1 解：解：令令 ,.11 ,11ninini 將區(qū)間將區(qū)間1,2等分成等分成n個小個小區(qū)間區(qū)間 （3）求和）求和xnif

2、Sdxxnin 121111 ninni11111 niin111?12121111 nnnn怎么求怎么求幾乎不可能幾乎不可能 ?,.嗎嗎表表示示、你你能能分分別別用用內(nèi)內(nèi)的的位位移移為為設設這這個個物物體體在在時時間間段段的的速速度度時時刻刻它它在在任任意意由由導導數(shù)數(shù)的的概概念念可可知知運運動動規(guī)規(guī)律律是是動動的的物物體體的的如如圖圖一一個個作作變變速速直直線線運運探探究究StvtsSbatstvttss 0ta1t1itit1nt ntb BA1h1hihihnhnSiS1S tss StSo16.1圖圖 .,Stv來來求求位位移移由由我我們們還還可可以以利利用用定定積積分分另另一一方方

3、面面 .,asbsSatbttssS 即即處處的的函函數(shù)數(shù)值值之之差差與與處處在在是是函函數(shù)數(shù)物物體體的的位位移移顯顯然然PDCots1its itsiSiht1itit tss 26.1圖圖 nabtttttttttttnbabtttttaiinniinii 1112110110,:,每每個個小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度均均為為個個小小區(qū)區(qū)間間等等分分成成將將區(qū)區(qū)間間用用分分點點PDCots1its itsiSiht1itit tss 26.1圖圖 .,11111 iiiiiiiitsnabttsttvhStvtvttt物物體體所所作作的的位位移移勻勻速速運運動動作作速速度度可可以以認認為為物物

4、體體近近似似地地以以的的變變化化很很小小上上在在很很小小時時當當PDCots1its itsiSiht1itit tss 26.1圖圖 .tan,26 . 1111ttstDPChStsPDPPDPttssiiiii 于于是是的的斜斜率率等等于于切切線線的的幾幾何何意意義義知知由由導導數(shù)數(shù)點點處處的的切切線線是是對對應應的的點點為為與與上上設設曲曲線線圖圖從從幾幾何何意意義義上上看看PDCots1its itsiSiht1itit tss 26.1圖圖PDCots1its itsiSiht1itit tss 26.1圖圖 niiniihSS11, 16 . 1總總位位移移可可得得物物體體結(jié)結(jié)合

5、合圖圖. ttsttv1in1in1i1i 的的分分劃劃就就越越細細區(qū)區(qū)間間越越小小即即越越大大顯顯然然batn, 111111lim. ininininiitvnabSSttsttV由由定定積積分分的的定定義義有有程程度度就就越越好好的的近近似似與與1in1intsnablim .dttsdttvbaba .asbsdttsdttvSbaba 有有結(jié)結(jié)合合 .,asbsbatstvtss 就就是是物物體體的的位位移移上上的的定定積積分分在在區(qū)區(qū)間間那那么么物物體體的的運運動動規(guī)規(guī)律律是是如如果果作作變變速速直直線線運運動動的的上上式式表表明明 .|,|,aFbFxFdxxfxFaFbFbab

6、aba 即即記記成成我我們們常常常常把把為為了了方方便便 這這個個結(jié)結(jié)論論叫叫做做那那么么并并且且上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)是是區(qū)區(qū)間間如如果果一一般般地地.,aFbFdxxfxfxFbaxfba 萊萊布布尼尼茲茲公公式式牛牛頓頓微微積積分分基基本本定定理理又叫做又叫做 .,.,xFxFxfxFdxxfba從從反反方方向向求求出出的的四四則則運運算算法法則則函函數(shù)數(shù)的的求求導導公公式式和和導導數(shù)數(shù)我我們們可可以以運運用用基基本本初初等等通通常常的的函函數(shù)數(shù)的的關(guān)關(guān)鍵鍵是是找找到到滿滿足足計計算算定定積積分分微微積積分分基基本本定定理理表表明明 方法小結(jié)方法小結(jié)例例1 1 計算下列定積分計算下列定

7、積分 ( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a找出找出f(x)的原的原函數(shù)是關(guān)鍵函數(shù)是關(guān)鍵 dxx2111 3122xdx練習練習1: _4_3_2_112131031010 dxxdxxxdxdx12141415banbannxdxx11 公公式式：例例計算定積分計算定積分 dxxx 312213 達標練習達標練習 _14_1233_12_2312121221102 dxedxxxdxxxdttx12ln23 912 ee.sin)3(,sin)2(,sin)1(32020 xdxdxxdxx計計算算下下列列定定積積分分例例 ;,),36 .1(1曲曲邊邊梯梯形形的的

8、面面積積且且等等于于定定積積分分的的值值取取正正值值圖圖軸軸上上方方時時當當對對應應的的曲曲邊邊梯梯形形位位于于 x .,),46 . 1(2數(shù)數(shù)曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積的的相相反反且且等等于于定定積積分分的的值值取取負負值值圖圖軸軸下下方方時時當當對對應應的的曲曲邊邊梯梯形形位位于于 xoxy211xsiny 36. 1圖圖oxy112xsiny 46.1圖圖 .),56 . 1(0,3軸軸下下方方的的曲曲邊邊梯梯形形面面積積面面積積減減去去位位于于軸軸上上方方的的曲曲邊邊梯梯形形的的且且等等于于位位于于圖圖定定積積分分的的值值為為時時積積形形面面梯梯曲曲邊邊下下方方的的軸軸梯梯形形的的

9、面面積積等等于于位位于于軸軸上上方方的的曲曲邊邊當當位位于于xxxx oxy112xsiny56 . 1圖圖:0,也也可可能能取取負負值值還還可可能能是是定定積積分分的的值值可可能能取取正正值值可可以以發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)課堂小結(jié)課堂小結(jié)微積分基本定理微積分基本定理求定積分的方法求定積分的方法（1）定義法）定義法 （2）幾何意義法）幾何意義法 （3）微積分基本定理）微積分基本定理微積分常用積分公式微積分常用積分公式11(1)( )|(2)( )|1(3)(sin )coscossin |(4)(cos )sinsincos |1(5)( )ln|ln(6)( )|11(7)(log )lnbbaanbnn

10、nbaabbaabbaabxxxx baabxxxx baaacxccdx cxxxnxx dxnxxxdxxxxxdxxaaaa dxaaeee dx exx a log|ln11(8)(ln )ln |bbaaabbaadxxx axdxxxx 11(1)( )|(2)()|1(3)(sin )coscossin |(4)(cos )sinsincos |1(5)()ln|ln(6)( )|11(7)(log)lnbbaanbnnnbaabbaabbaabxxxx baabxxxx baaacxccdxcxxxnxx dxnxxxdxxxxxdxxaaaa dxaaeee dxexxa l

11、og|ln11(8)(ln )ln |bbaaabbaadxxxaxdxxxx課堂訓練課堂訓練 做到作業(yè)本上做到作業(yè)本上 計算下列定積分計算下列定積分5052021321(1)4(2)(2 )(3)(1)(4)(321)xdxxx dxxdxxxdx21221001(5)()1(6)(7)cos(8)xdxxdxxxdxsinxdx例例1 1 計算下列定積分計算下列定積分 解解（）（）( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a找出找出f(x)的原的原函數(shù)是關(guān)鍵函數(shù)是關(guān)鍵 dxx2111 3122xdx xx1ln 2ln1ln2lnln12121 xdxxabxdxxba

12、balnlnln11 ：公公式式 813222231312 xxdx例計算定積分例計算定積分 解解:dxxx 312213 22311,3xxxx dxxdxxdxxdxx 3123123123121313原原式式 37611311313331313 xx.sin,sin,sin:32020 xdxdxxdxx計算下列定積分例00|xcosdxxsin, xsinxcos因為解 ;20coscos22|xcosdxxsin ; 2cos2cos202|xcosdxxsin0 0 .00cos2cos?,?,.呢呢利利用用這這種種聯(lián)聯(lián)系系求求定定積積分分我我們們能能否否間間有有沒沒有有內(nèi)內(nèi)在在的

13、的聯(lián)聯(lián)系系呢呢這這兩兩個個概概念念之之的的概概念念導導數(shù)數(shù)和和定定積積分分最最基基本本和和最最重重要要學學習習了了微微積積分分學學中中兩兩個個我我們們已已經(jīng)經(jīng)另另外外有有效效的的方方法法求求定定積積分分呢呢加加簡簡便便、有有沒沒有有更更那那么么直直接接用用定定義義計計算算例例1 1 計算下列定積分計算下列定積分 解解（）（）( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a找出找出f(x)的原的原函數(shù)是關(guān)鍵函數(shù)是關(guān)鍵 dxx2111 3122xdx xx1ln 2ln1ln2lnln12121 xdxxabxdxxbabalnlnln11 ：公公式式 813222231312 xxdx例計算定積分例計算定積分