初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽——圓四點(diǎn)共圓

1、第1講 四點(diǎn)共圓典型例題一. 基礎(chǔ)練習(xí)【例1】 如圖，為內(nèi)一點(diǎn)，、分別在、上已知、四點(diǎn)共圓，、四點(diǎn)共圓，求證：、四點(diǎn)共圓PECBADF【例2】 如圖7-55，在梯形ABCD中，ADBC，過(guò)B、C兩點(diǎn)作一圓，AB、CD的延長(zhǎng)線交該圓于點(diǎn)E、F求證：A、D、E、F四點(diǎn)共圓【例3】 如圖，、相交于、兩點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，割線交于、，割線交于、，求證：、四點(diǎn)共圓 PFDCBAE【例4】 如圖7-56，在ABC中，AD=AE，BE與CD交于點(diǎn)P，DP=EP，求證：B、C、E、D四點(diǎn)共圓【例5】 如圖，已知是的內(nèi)接三角形，的直徑交于，于，延長(zhǎng)交于，求證：OGFECDBA【例6】 如圖763，在的對(duì)角線上，

2、任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作AB、CD的公垂線EG，又作AD、BC的公垂線FM求證：EF/GM【例7】 如圖7-66，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，DEAC，AFBD，點(diǎn)E、F是垂足求證：EF/BC【例8】 如圖7-60，已知ABC，AB、AC的垂直平分線交AC、AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F、E求證：E、F、C、B四點(diǎn)共圓CDBA【例9】 如圖，已知：，求證：是等腰三角形二. 綜合提高【例10】 如圖7-61，在O中，ABCD，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，CP的延長(zhǎng)線交O于點(diǎn)F，又點(diǎn)E為弧上任一點(diǎn)，連EF交AB于點(diǎn)G求證：P、G、E、D四點(diǎn)共圓【例11】 如圖7-62，在ABC中，BAC為直角，AB=AC，BM=MC，

3、過(guò)M、C任作一圓，與AC交于點(diǎn)E，BE與圓交于F點(diǎn)，求證：AFBE【例12】 如圖764，P為ABC外接圓一任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到ABC三邊的垂足分別為D、E、F三點(diǎn)成一直線【例13】 如圖7-65，在中，過(guò)D、B兩點(diǎn)作一圓，交平行四邊形四條邊(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)E、F、G、H求證：EF/GH【例14】 如圖7-67，AB為半圓的直徑，弦AC、BD相交于點(diǎn)H，HPAB求證：12【例15】 如圖768，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E為BC上的任一點(diǎn)，AEEF，EF交BCD的外角平分線于點(diǎn)F求證：EA=EF【例16】 在等邊三角形中，、分別是邊、上的點(diǎn)，且有，連結(jié)、交于點(diǎn)，求證：ECBADP【例17】

4、設(shè)凸四邊形的對(duì)角線、互相垂直，垂足為，證明：點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)共圓【例18】 證明：三角形的三條高交于一點(diǎn)【例19】 已知在凸五邊形中，且，求證： 【例20】 如圖所示，設(shè)是正九變形，為其外接圓的圓心，和是的兩相鄰邊，為的中點(diǎn)，而為垂直于的圓半徑的中點(diǎn)，試求與的夾角OACRQPB【例21】 如圖，已知內(nèi)接于，、為的切線，作，交于，連結(jié)并延長(zhǎng)交于，求證：【例22】 如圖，在凸四邊形的邊上取和（點(diǎn)比更靠近點(diǎn)）已知及，證明：FECBDA【例23】 如圖，在平行四邊形中，為鈍角，且（1）求證：四點(diǎn)共圓；（2）設(shè)線段與（1）中的圓交于求證：【例24】 正方形的中心為，面積為，為正方形內(nèi)的一點(diǎn)，且，求【例2

5、5】 如圖，已知中，是高，是角平分線，且求證：（1）；（2）【例26】 如圖，為的外接圓，為、上高、的交點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使連結(jié)，求證：OHMEDCBA【例27】 如圖，是的直徑，弦交于點(diǎn)，點(diǎn)是弧上一點(diǎn)，和交于點(diǎn)，垂足為，求證：三. 過(guò)三點(diǎn)的圓【例28】 如圖，四邊形中，若，則_，_【例29】 已知凸四邊形，求證：DCBA思維飛躍【例30】 如圖，直線和與分別相切于，為圓上一點(diǎn)，到得距離分別為，試求到的距離 【例31】 如圖，中，邊上的高線與的兩條內(nèi)角平分線、分別交于、兩點(diǎn)、的中點(diǎn)分別為、求證：MNPHBACEQF【例32】 如圖，已知是正外接圓的弧上的任一點(diǎn)求證：PBCA【例33】 如圖，、切圓于和，交于，過(guò)任作一弦，求證：ODCPBAM【例34】 如圖，為的直徑，為外一點(diǎn)，過(guò)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，與交于點(diǎn)，求證：OABDCFP作業(yè)1. 在銳角ABC中，三條高AD、BE、CF相交于點(diǎn)H求證：點(diǎn)H是DEF的內(nèi)心FECDAB2. 已知是圓的直徑，為圓的切線，和是圓的割線，分別交圓于、，求證：3. 已知中，是高，為上任一點(diǎn)，的中垂線交于，求證：RDCBAQP4. 如圖，設(shè)四邊形的兩組對(duì)邊、及、的交點(diǎn)分別為、若、的平分線互相垂直，則、四點(diǎn)共圓AFEDCBM5.