人教版高二數(shù)學(xué)暑期課程 理 正弦定理和余弦定理 無答案

1、第三講 正弦定理和余弦定理適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級高二（理）適用區(qū)域通用課時時長（分鐘）120知識點1、正弦定理和正弦定理的推導(dǎo)2、應(yīng)用正弦定理解三角形和邊角轉(zhuǎn)換3、余弦定理和余弦定理的推導(dǎo)4、應(yīng)用余弦定理解三角形學(xué)習(xí)目標1、掌握正余弦定理，并能解決一些簡單的三角形（度量）變量問題.2、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.學(xué)習(xí)重點正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)與應(yīng)用學(xué)習(xí)難點正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)與應(yīng)用學(xué)習(xí)過程一、知識講解考點/易錯點1（一） 正弦定理1.正弦定理：在一個三角形中，各邊的長和它所對角的正弦的比相等，即：在ABC中，若角A、B、C、所對的邊長分別為

2、a、b、c，則：（其中R為ABC外接圓的半徑）.2. 正弦定理的證明:如圖一：在中，所以，即：，如圖二：內(nèi)接與，取的中點，連結(jié) 則 即，同理可得：， 綜上所述：3.定理的拓展與變形（1）的面積公式：(兩邊及其夾角的正弦值乘積的一半).（2）定理的變形:邊化角：，角化邊：，大邊對大角，4.正弦定理的應(yīng)用（1） 已知三角形的任意兩角與一邊求其他兩邊和一角，則選取正弦定理解三角形；（2） 已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，求另一邊的對角，選取正弦定理解三角形；（3） 已知條件給出的邊角關(guān)系中，邊關(guān)系是一次的或出現(xiàn)角的正弦值，選取正弦定理進行邊角代換，整理成關(guān)于邊的式子或關(guān)于角的式子；（4） 利用正弦

3、定理判斷三角形的形狀，求三角形的面積，周長.5.解斜三角形的幾類問題A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個數(shù)一解兩解一解一解無解注：當(dāng)時，無解.考點/易錯點2（二）余弦定理1.余弦定理:在中，、的對邊分別為、，則2. 余弦定理的證明如圖，在中，,則有： 在中， 即： 即： 同理可證：3.余弦定理的變形:(1), ,；(2)在中，是鈍角， 是直角， 是銳角；4.余弦定理的應(yīng)用（1）已知三邊的長，求各角，選取余弦定理；（2）已知三角形的兩邊和一個角，求第三條邊和各角，選取余弦定理；（3）已知給出的邊角關(guān)系中，邊是以二次形式給出的，選取余弦定理；（4）利用余弦定理判斷三角形的形狀；（5）.5.三角形

4、內(nèi)的?？冀Y(jié)論:（1）（2）（3）中，角成等差數(shù)列的充要條件是，.6.角平分線定理的證明： 如圖,在中，為的角平分線，求證：. 解：如圖，由正弦線定理，在中，有；則.在中,有，則.又因為是角平分線，即.所以,取倒數(shù)即得到.考點/易錯點3應(yīng)用正弦定理解三角形的多解問題 在已知三角形的兩邊一角（）應(yīng)用正弦定理解三角形時，注意多解問題，可以根據(jù)與的大小關(guān)系來判斷：為銳角，時，有一解；時，有兩解；時，有一解.為鈍角或直角，時，有一解；時，無解.也可以根據(jù)三角形中大邊對大角來判斷.例：在中，所對的邊分別為，已知，求.解：由正弦定理得：,即：， ，又，則必有， 或考點/易錯點4應(yīng)用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換在應(yīng)用

5、正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換，是根據(jù)：邊化角：，角化邊：，進行轉(zhuǎn)化.只有保證等式的兩邊或分式的分子和分母是齊次時，才能直接進行邊角轉(zhuǎn)換.例：（1），等號左右兩邊是齊次式，所以可以直接進行邊角轉(zhuǎn)化得：. （2），等號兩邊不是齊次式，所以不能直接進行邊角轉(zhuǎn)換.二、例題精析【例題1】【題干】 在中，角所對的邊分別為，.已知.（1）求角的大??；（2）設(shè)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：利用正弦定理和余弦定理及三角形面積公式解斜三角形是高考高頻考點，利用正弦定理和余弦定理進行邊轉(zhuǎn)角或角轉(zhuǎn)邊是常用的方法，本題利用余弦定理“邊轉(zhuǎn)角”后，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系進行恒等變形，求出角B，根據(jù)三角形內(nèi)角和

6、定理得出角A與角C的關(guān)系，代入后進行減元，化為關(guān)于角A的三角函數(shù)式，借助輔助角公式化為的形式，根據(jù)角A的范圍，求出T的范圍.試題解析：（1）在ABC中，因為，所以，所以， 因為，所以，因為，所以 （2）因為，所以，故，因此，所以 . 【例題2】【題干】在中，已知, 試判斷的形狀.【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】由已知的，由正弦定理得，代入化簡得等腰三角形或直角三角形【例題3】【題干】在中對應(yīng)的角分別為，已知，（1）求周長；（2）求的值.【答案】（1） （2）【解析】（1） 的周長為 （2） 故為銳角【例題4】【題干】在中對應(yīng)的角分別為，且 （1）求的大??；（2）若求的面積.【答案】（1）

7、 （2）【解析】（1）由余弦定理知： 將上式代入 ，得 （2）因為，所以 即 又 將，三、課堂運用【例題1】【題干】在ABC中,若a=8,B=60°，C=75°則 .【答案】【解析】由正弦定理得【例題2】【題干】在ABC中，若求.【答案】【解析】由正弦定理得 又【例題3】【題干】在中，已知，求這三角形最大角的度數(shù).【答案】【解析】，為最大角 由余弦定理得 又 即這三角形最大角為.【例題4】【題干】在中，已知，不解三角形判斷三角形的形狀.【答案】鈍角三角形【解析】則邊最長，最大 由余弦定理得，為鈍角三角形【例題5】【題干】在所對應(yīng)的角分別為且，試判斷的形狀.【答案】等邊三角形

8、【解析】由正弦定理得，代入 中得： 則為等邊三角形【例題6】【題干】在中，判斷三角形形狀.【答案】等腰或直角三角形【解析】 化簡得： 代入化簡：或 為等腰或直角三角形【例題7】【題干】在ABC中，對應(yīng)的角分別為若求：（1）的值； （2）的值.【答案】（1） （2）【解析】（1）由余弦定理得故.（2）由正弦定理和（）的結(jié)論得故.【例題8】【題干】在中，已知且，試三角形判斷三角形的形狀.【答案】等邊三角形【解析】 又由余弦定理得所以三角形為等邊三角形. 【例題9】【題干】在中對應(yīng)的角分別為，已知（1）求的值；（2）若 ，的周長為，求的長. 【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理，設(shè)則所以即

9、，化簡可得又，所以因此（2）由得由余弦定得及得所以又從而因此b=2.【例題10】【題干】在ABC中，對應(yīng)的角分別為，且(1) 求角A的大??；（2）求和的值.【答案】（1） （2）【解析】（1），由得即（2）由余弦定理知，又或四、課后作業(yè)【例題1】【題干】已知ABC中，的對邊分別為若且，則 ( )A.2 B4 C4 D【答案】A【解析】由可知,所以,由正弦定理得,故選A.【例題2】【題干】在ABC中對應(yīng)的角分別為，若，求和.【答案】【解析】【例題3】【題干】在中，若判斷三角形的形狀.【答案】直角三角形或等腰三角形【解析】由正弦定理 又或 當(dāng)時，此時為直角三角形 當(dāng)時，此時為直角三角形【例題4】【

10、題干】在是ABC的三邊，若求和.【答案】， 或，【解析】且有兩個解由正弦定理得則為或【例題5】【題干】在ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對邊，且 （1）求A的大??；（2）求的最大值. 【答案】（1） （2）時，取得最大值1【解析】（1）由已知，根據(jù)正弦定理得即 由余弦定理得 故 ， （2）由（）得：故當(dāng)時，取得最大值1. 【例題6】【題干】在ABC中，角所對的邊分別為，且滿足， （1）求的面積； （2）若，求的值【答案】（1） 2 （2） 【解析】（1）因為，又由得， （2）對于，又，或，由余弦定理得，【例題7】【題干】在中，角所對的邊分別為，已知.（1）求的值；（2）若，求ABC的面積S.【答案】（1） 2 （2）【解析】（1）有正弦定理，設(shè)，則,所以.即，化簡可得.又，所以.因此. （2）由得，由余弦定理，及，得.解得，從而.又因為，且.所以.因此.【例題8】【題干】在A