全等三角形證明培優(yōu)題

1、模塊一：基本輔助線1. 如圖，已知AC=BD,ADAC,BCBD，求證：AD=BC.2. 如圖，AB=AE,ABC=AED,BC=ED,點F是CD的中點，（1）求證：AFCD.（2）在你連接BE后，還能得出什么新的結(jié)論？請寫出三個（不要求證明）3. 如圖，B=E,C=D,BC=DE,M為CD中點，求證：AMCD.4.如圖，平面上有一邊長為2的正方形ABCD，O為對角線的交點，正方形OEFG的頂點與O重合，OE、OG分別與正方形ABCD的邊交于M、N兩點如圖（1），當OEAB時，四邊形OMBN的面積為_；如圖（2），當正方形OEFG繞點O旋轉(zhuǎn)時，四邊形OMBN的面積會發(fā)生變化嗎？試證明你的結(jié)論5

2、.如圖所示，在ABC中，AB=AC，在AB上取一點E，在AC延長線上取一點F，使BE=CF，EF交BC于G.求證：EG=FG。6.如圖，在ABC中，AB=AC，E在線段AC上，D在AB的延長線，連DE交BC于F，過點E作EGBC于G（1）若A=50°，D=30°，求GEF的度數(shù)；（2）若BD=CE，求證：FG=BF+CG模塊二：母子型1已知：如圖，點C為線段AB上一點，ACM, CBN都是等邊三角形，AN交MC于點E，BM交CN于點F.(1)求證：AN=BM;(2)求證：CEF為等邊三角形2.如圖，已知，等腰RtOAB中，AOB=90°，等腰RtEOF中，EOF=

3、90°，連結(jié)AE、BF。求證：（1）AE=BF；（2）AEBF。3.如圖1，若四邊形ABCD、四邊形GFED都是正方形，顯然圖中有AG=CE，AGCE；（1）當正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，AG=CE是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（2）當正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，延長CE交AG于H，交AD于M求證：AGCH；當AD=4，DG=時，求CH的長4.如圖，已知ABD、AEC都是等邊三角形，AFCD于點F，AHBE于點H,問：（1）BE與CD有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（2）AF、AH有何數(shù)量關(guān)系？為什么？5.已知：如圖所示，在ABC和ADE中，AB=

4、AC，AD=AE，BAC=DAE，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點（1）求證：BE=CD；AMN是等腰三角形；（2）在圖的基礎(chǔ)上，將ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，得到圖所示的圖形請直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請你在圖中延長ED交線段BC于點P求證：PBDAMN6.（2009豐臺區(qū)一模）如圖1，在ABC中，ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF（1）如果AB=AC，BAC=90°，當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段

5、CF、BD所在直線的位置關(guān)系為_，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為_；當點D在線段BC的延長線上時，如圖3，中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（2）如果ABAC，BAC是銳角，點D在線段BC上，當ACB滿足什么條件時，CFBC（點C、F不重合），并說明理由模塊三 倍長中線（1） 倍長中線 （2）倍長類中線1. 已知：如圖，ABC中，AD平分BAC，且BD=CD，求證：AB=AC2.已知，如圖ABC中，AC>AB,AM是BC邊上的中線，求證：（AC-AB）AM(AB+AC)3. 如圖所示，已知ABC中，AD平分BAC,E,F分別在BD,AD上，DE=CD,EF=AC,求證:EF/AB.4.如圖，

6、AD是ABC的中線，E、F分別在AB、AC上，且DEDF 求證：BE+CFEF4. 如圖，已知在ABC中，AB=AC，CE是AB邊上的中線，延長AB到D，使BD=AB，連接CD求證：CE=CD.5. 證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半。7.分別以ABC的邊AB,AC為邊，向三角形的外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG,M為BC的中點，求證：AMEG.8如圖，ABC中，AB=4，AC=7，M是BC的中點，AD平分BAC，過M作MFAD，交AC于F，求FC的長9.在ABC中，AM是BC邊上的中線，（1）求證：AB+AC>2AM;(2)若AB=5，AC=9，求AM的取值范圍。10.

7、ABC中，AC=8，BC邊上的中線AD=6，則邊AB的取值范圍是 。11. 如圖，在ABC中，AD平分BAC，E為BC的中點，過點E作EFAD交AB于點G，交CA的延長線于點F求證：BG=CF12. 如圖，已知在ABC中，AD平分BC邊上的中線，E是AD上一點，延長BE交AC于F,AF=EF,求證：AC=BE.13. 如圖所示，BAC=DAE=90°，M是BE的中點，AB=AC，AD=AE，求證：（1）CD=2AM,（2）AMCD14. 在ABC中，分別以ABC的邊AB,AC為邊，向三角形的外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG,點M為BC中點，（1）求證：AM丄EG;（2）求證:EG

8、=2AM.模塊四、截長補短1 截長：截取較長線段，使其和較短線段長度相等。2 補短：延長較短線段，使其和較長線段長度相等。適用范圍：條件或題目中出現(xiàn)“a+b=c”或“a-b=c”目的：構(gòu)造全等三角形1. 如圖，在ABC中，B=2C,ADBC于D,求證：CD=BD+AB.2.如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD上的點，MAN=45°求證：MB+ND=MN3、 如圖所示，已知ABC中，AD平分BAC,E、F分別在BD、AD上，DE=CD,已知ABCD是正方形，E、F分別在CB、CD的延長線上，EAF=135°，求證：BE+DF=EF.4. 如圖，五邊形ABCDE中，

9、AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°連接AD（1）同學們學習了圖形的變換后知道旋轉(zhuǎn)是研究幾何問題的常用方法,請你在圖中作出ABC繞著點A按逆時針旋轉(zhuǎn)“BAE的度數(shù)”后的像；（2）試判斷AD是否平分CDE，并說明理由5.如圖，在四邊形ABCD中，B=D=180°,AB=AD,EF分別是線段BC、CD上的一點，且BE+FD=EF.求證：EAF=BAD.6. 已知：如圖，在正方形ABCD中，M在CB延長線上，N在DC延長線上，MAN=45°，AHMN，垂足為H，求證：（1）MN=DN-BM；（2）AH=AB7.已知：如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)AD=FA

10、E求證：BE+DF=AE8. 如圖，ABC是正三角形，ADC=120°，求證：BD=AD+CD.模塊五 角平分線的性質(zhì)與判定1. 如圖，BE=CF，DEAB的延長線于點E，DFAC于點F，且DB=DC，求證：AD是BAC的平分線2. 如圖，已知ABC的周長是22，OB、OC分別平分ABC和ACB,ODBC于D，且OD=3，ABC的面積是_3.如圖，在ABC中，BAC=120°，ADBC于D，且AB+BD=DC，那么C=（     ）度.4.已知，如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)AD=FAE.求證：BE+DF=AE.5.如圖ABC是正三角形，

11、BDC是頂角BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN探究：（1）線段BM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系（2）若點M、N分別是AB、CA延長線上的點，其它條件不變，再探線段BM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系，在圖中畫出圖形并對以上兩種探究結(jié)果選擇一個你喜歡的加以證明6.如圖：在ABC中，C=90°， AD是BAC的平分線，DEAB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF； 說明：（1）CF=EB （2）AB=AF+2EB7.如圖，已知：ABC的B、C的外角平分線交于點D求證：AD是BAC的平分線模塊六、角平分線的

12、四大基本模型1. 角平分線+平分線，等腰三角形必呈現(xiàn)2. 點垂線，垂兩邊，線等全等都出現(xiàn)3. 角平分線+垂線，中點全等必可見4. 角分線，分兩邊，對稱全等要記全1. 如圖，在ABC中，BD、CD分別平分ABC和ACB.DE/AB,FD/AC,如果BC=6，求DEF的周長2.ABC中.（1）如圖1，若BAC的平分線過BC的中點D,猜想AB和AC的關(guān)系并證明。（2） 如圖2，若BAC的平分線不過BC的中點D,而是與BC的垂直平分線交于點E，過E作EF AB,垂足為F,猜想2BF、AB、AC的關(guān)系并證明。3.如圖，ABC中，AB=2AC，1=2，DA=DB，你能說明DCAC嗎？4.在ABC中，BAC

13、=90°，AB=AC,BE平分ABC,CEBE,求證：(1)BD·BE=AB·BC；(2)CE=BD.5.如圖，已知ABC中，AD平分BACC=20°，AB+BD=AC，則B的度數(shù)是_6.已知，等腰ABC，A=100°，ABC的平分線交AC于D,BD=BE,(1)求DEC;(2)求證：AD=EC.7.如圖，AD是ABC的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且HD=BD（1）求證：B與AHD互補；（2）若B+2DGA=180°，請?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明8.(1)如圖，在ABC中，AD是BAC的外角平分

14、線，P是AD上的任意一點，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由（2）如圖，AD是ABC中BAC的平分線，P是AD上的任意一點，且ABAC，求證：AB-ACPB-PC9.如圖，ABC中，BAC=90°，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于點E.在ABC外有一點F，使FAAE，F(xiàn)CBC.（1）求證：BE=CF；（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME.求證：MEBC；DE=DN. 10.（1）如圖，在ABC中，ABC、ACB的平分線相交于F，過F作DEBC，分別交AB、AC于點D、E判斷DE=DB+EC是否成立？為什么？（2）

15、如圖，若點F是ABC的平分線和外角ACG的平分線的交點，其他條件不變，請猜想線段DE、DB、EC之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的猜想11. 如圖，在ABC中，BE是ABC的角平分線，ADBE，垂足為D，求證：2=1+C12. 如圖，CD為RtABC斜邊上的高，BAC的平分線分別交CD、BC于點E、F且FGAB，垂足為G，求證：CE=FG模塊七 垂直平分線1.如圖，已知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于E、D兩點，若AB=12cm，BC=10cm，A=50°，求BCE的周長和EBC的度數(shù)。2.電信部門要修建一座電視信號發(fā)射塔P，按照設(shè)計要求，發(fā)射塔P到兩城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩

16、條高速公路m和n的距離也必須相等請在圖中作出發(fā)射塔P的位置（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）3如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，E為CD的中點，連接AE、BE，BEAE，延長AE交BC的延長線于點F求證：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD(3) 若ABC=50°,求F.4.已知：如圖AB=CD,線段AC的垂直平分線于線段BD的垂直平分線相交于點E,求證：ABE=CDE.模塊八 大角夾半角模型特征：組成大角的兩條線段相等，大角與半角具有公共頂點。方法：旋轉(zhuǎn)某個圖形使大角的等線段重合在一起，利用全等三角形求解。1. 操作：如圖，ABC是正三角形，BDC是頂角BDC=120

17、76;的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN探究：線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明說明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列、中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明AN=NC（如圖）；DMAC（如圖）附加題：若點M、N分別是射線AB、CA上的點，其它條件不變，再探線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，在圖中畫出圖形，并說明理由 2. 如圖，將RtABC沿斜邊翻折得到ADC，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且EAF=

18、DAB（1）試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想(2) 過點A作AMEF于點M,證明EF=BE+DF;(3) 試猜想AM與 AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。3. 如圖，在正方形ABCD中，E為CD上一動點，連接AE交對角線BD于點F，過點F作FGAE交BC于點G（1）求證：AF=FG；（2）如圖，連接G，當BG=3，DE=2時，求EG的長4.如圖所示，ABC是邊長為1的正三角形，BDC是頂角頂角為120°的等腰三角形，以D為頂點做一個60°的MDN，點M、N分別在AB、AC上，求AMN的周長5.已知梯形ABCD中，ADBC，AB=BC=DC，點E、F分別在AD、AB上，且FCEBCD。（1）求證：BF=EF-ED；（2）連接AC，若B=80°，DEC=70°，求ACF的度數(shù)模塊九 K字模型1.在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且ADMN于D，BEMN于E。（1） 當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：ADCCEB；DE=AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE；（3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等