二維的相異元素與面的四色猜想

1、 二維的“相異元數(shù)”與面的“四色猜想” 孤維 摘 要：一個圖形與一個“點”存在拓?fù)涞葍r，“一維”是點的線性集合。多個圖形的線性排列便形成“同維相鄰”。由于面是二維的，兩個“維度”間相鄰的圖形排列則形成了“異維相鄰”。因此二維的面存在且只存在“同維”與“異維”兩種相鄰。所以當(dāng)我們在同樣無法證明窮盡無數(shù)種可能只能得到1936種狀態(tài)與633種特殊情況的條件下，試圖通過計算機(jī)從結(jié)果上證明四色猜想，不如從“面”的“二維”這一根本性的原因上說明為什么是這樣更讓人信服。關(guān)鍵詞： 線，面，同維，異維，相異元素。 一 . 線的特性 古代人如何在一條沒有任何區(qū)別的繩子上記數(shù)？很顯然，他們是通過打結(jié)的方式所形成近似

2、“點”與“線”相鄰的兩種相異元素的區(qū)別來實現(xiàn)。圖1 圖1既然拓?fù)渲粡?qiáng)調(diào)不同幾何圖形之間的等價性。那么我們同樣可以從兩種不同顏色圖形相鄰排列中找到與上述“繩結(jié)”一致的區(qū)別效果。圖2 圖2以上相鄰圖形與擺成不同形態(tài)的一根繩結(jié)為線性的拓?fù)涞葍r。但不允許：同一線性排列的圖形折轉(zhuǎn)與自己相鄰！是顯而易見的。圖3 圖3這是由一維的“線”與二維的“面”的本質(zhì)所決定的。因此我們把： “一維”稱作“線維”。不同的“二維”稱作“異維”。由于繩子具有線性的本質(zhì)特征。所以：不管它處于水平或豎直，或是縱向狀態(tài)，也不管它在空間中除與自己相鄰?fù)獾暮畏N形態(tài)，始終只具有左右或上下或前后相鄰的兩種可區(qū)別的相異元素。并且不論它在空間

3、中處于什么方位都是如此！我們把這種“一維二異”叫做：“線”的特性。如果我們用兩種不同顏色取代這兩種相異元素，則可肯定：在具有非封閉線性特征相鄰排列的多個圖形之間，只需兩種相異的顏色便可區(qū)分所有相鄰的它們。 我們稱這為：“線維相鄰”的特點。并用符號“”來表示它。由于無間相鄰的總是兩種相異的元素且與圖形共存。所以用“N(n)”表示圖形與數(shù)量，“B2(b2)”為同維的兩種相異元素。因為一維二異是“線”的特性，且一個圖形在一般情況下與一個點存在拓?fù)涞葍r，既然線是點的集合，對線性的同一維度而言，至少須有兩個圖形相鄰。如果X維度上的此類標(biāo)記用大寫字母，Y維度用小寫字母標(biāo)記。于是“線維相鄰”的表達(dá)式為：XN

4、 B1B1或Yn b1b 1 ( N2)不過當(dāng)我們將類似斑馬線這樣的圖形的兩端連接形成一個封閉的環(huán)狀時：需要不同顏色種數(shù)的多少便與圖形數(shù)量的奇偶數(shù)相關(guān)。當(dāng)圖形的數(shù)量為偶數(shù)時只需兩種相異顏色。為奇數(shù)時則需要三種相異顏色才能區(qū)分相鄰的它們。圖4BA B 圖4也就是說只要有三種相異的顏色，即使我們在封閉的環(huán)上不斷的增加圖形數(shù)量，也不需再加入新的顏色即可區(qū)別它們。我們把：這種一維性的“三異”叫做“非維度”現(xiàn)象。 二 . 區(qū)別相鄰圖形的條件關(guān)系從“線維相鄰”的特點可以知道： 相鄰圖形的數(shù)量至少與相異的元素相等?；蛘哒f這些圖形數(shù)量可大于這些相異顏色的種數(shù)。 我們把這叫做：條件關(guān)系。如果用B代表必要條件的顏

5、色種數(shù)，相鄰圖形的數(shù)量是N ，則兩者之間的條件關(guān)系式為： XBXN (YbYn) （N2）這意味著：條件關(guān)系規(guī)定所需種數(shù)的顏色，在區(qū)分“線維”相鄰圖形的數(shù)量多于自己時可被重復(fù)使用。由此可見：顏色重復(fù)的次數(shù)相對B的值是沒有意義的。這就是我們?yōu)槭裁从谩癤N B 1） B 1”這樣簡短的形式來表達(dá)“線維相鄰”的特點，而不用“XN B 1B 1 B 1B 1”這樣連續(xù)的形式來表達(dá)的原因。當(dāng)然，在具有“線維”特征排列的有限的多個圖形之間，我們也可以使用與圖形數(shù)量相等的多種不同顏色。圖5 圖5 不過：當(dāng)有限的顏色種數(shù)，在區(qū)別“線維”相鄰圖形數(shù)量N時被全部用完。即B與N相等時，在出現(xiàn)與另一“線維”相鄰，即在

6、“異維”圖形相鄰的情況下，便無法區(qū)分另“一維”與此一維N中的一個相鄰圖形。因為上述“異維”圖形的相鄰數(shù)量為“7與1之和”即： XN1 YN7 （見圖6）它所需不同顏色的種數(shù)應(yīng)為：B =7+1。但對于原有的顏色種數(shù)來說： B = N = 7 B 7+1 N于是當(dāng)有限的顏色種數(shù)B與所區(qū)分的“線維”圖形數(shù)量N相等時，在超出這一數(shù)量的“異維”之間至少有兩個相鄰的圖形無法區(qū)別。圖6 圖6相反的是，根據(jù)“維線相鄰”的特點及二者之間的條件關(guān)系，重復(fù)使用所允許種數(shù)的顏色，即使互異的“二維”之間有比這更多的圖形相鄰也不會出現(xiàn)上述情況。圖7圖7無庸置疑的是，在這里：必要條件（B）是在“限少”（?。┑臉O限前提下取其

7、中能夠最大限度滿足被規(guī)定范圍內(nèi)所需的值。所以B值是必要條件的基本數(shù)值。如在區(qū)分“非維度”環(huán)狀相鄰圖形時：必須取奇數(shù)所需的三種色，而不是取偶數(shù)所需的兩種色。否則不能滿足奇數(shù)個圖形相鄰的區(qū)別。我們已考慮到，在實際著色的過程中有時會出現(xiàn)上述不能區(qū)別的情況，不過這是忽視“線維”相鄰可重復(fù)用色產(chǎn)生的問題，即為錯誤的操作所致，而非根本上的原因。圖8A A B 圖8所以我們也將“異維”圖形之間出現(xiàn)的上述問題，歸于非本質(zhì)現(xiàn)象。毫無疑問：用有限種相異顏色以不受數(shù)量限制的重復(fù)方式表現(xiàn)區(qū)別，優(yōu)于以受數(shù)量限制的更多種相異顏色來表現(xiàn)區(qū)別。我們從對以上所述做出的總結(jié)“線維相鄰”的特點： 表現(xiàn)“線維”相鄰圖形之間的區(qū)別，只

8、需兩種相異的顏色。可用“兩色”相鄰與重復(fù)用色來表現(xiàn)區(qū)別的相鄰圖形必定呈線性特征的排列。 三 . 拓?fù)湫缘亩S限定為了把問題說得更明白，我們先用平面直角坐標(biāo)進(jìn)行分析。既然拓?fù)湫圆粡?qiáng)調(diào)圖形的大小與異同，我們就用異色圖形表達(dá)相異元素。并在這里將：與X軸平行的維度叫做X維度。與Y軸平行的維度叫做Y維度。因為維度本身具有線性的特征，所以Y或X維度都只需兩種相異的顏色便可將相鄰在它們之上的圖形區(qū)別開來。 圖9 圖9由于“面”是“二維”的，因此在同一面內(nèi)：不僅有Y，或者X維度上的圖形相鄰，也有Y與X兩個維度之間的圖形相鄰。基于在同一面內(nèi)X與Y本身都是一維的。為此我們將： 同一個維度上排列的圖形叫做“同維圖形

9、”。同維圖形之間的相鄰叫做“同維相鄰”。同維相鄰在一般情況下即“線維相鄰”。如X維度，或Y維度上排列的圖形相鄰。見圖9 不同維度排列的圖形叫做“異維圖形”?！爱惥S圖形”之間的相鄰叫做“異維相鄰”。很顯然：“異維相鄰”就是二維間的相鄰。并因此形成“面”。如X維度與Y維度上的圖形相鄰：圖10顯而易見：同維相鄰在一維上?！爱惥S相鄰”在二維間。我們已用符號“”表示“線維”或“同維”相鄰。為了便于區(qū)別，我們用符號“”表示“異維相鄰”。則有： XNYn既然“一維有二異”，那么異維相鄰的完整表達(dá)式為： XNB2 Ynb2 （B =2= b，B = b）于是“異維”相鄰便由此形成了“二維四異”。我們稱這為：

10、“面的特性”。我們從面的“二維”性可知，一維的“線”無法容納二維“面”的存在。但二維的“面”卻可以容納一維“線”的存在。就更不用說空間對“面”與“線”存在的容納?；凇岸S”是面的唯一。所以我們可以在此得出結(jié)論之一：在二維面內(nèi)，存在且只存在“同維”與“異維”兩種相鄰。我們稱這為：面的拓?fù)湫浴岸S限定”。由于“同維相鄰”與“線”；“異維相鄰”與“面”為拓?fù)涞葍r。為了有助對本文觀點的理解，所以我們在這里將： “同維”與“線”等同并取代“線”。“異維”與“面”等同并取代“面”。 這樣：“同維”與“異維”便成為“線”與“面”的拓?fù)湫员磉_(dá)。其所以在這里用坐標(biāo)與規(guī)則的異色方塊圖形的兩種相鄰，取代不規(guī)則的不

11、同圖形的所有相鄰便是基于這一考慮。同樣從“一維二異”線的特性出發(fā)，我們將圖10中 D的每一維度有兩個或以上的圖形相鄰叫做：“異維”的標(biāo)準(zhǔn)相鄰。從拓?fù)湫缘囊?guī)定出發(fā)，我們將圖10 中的A和B這樣的相鄰叫做：“異維”的拓?fù)湎噜?。因為圖9B與圖10A告訴我們，雖然兩個維度上相鄰的圖形數(shù)量同樣是多個與一個，不過兩者間卻存在質(zhì)的差異。前者為“同維”相鄰，后者則為“異維”相鄰。我們從中不難發(fā)現(xiàn)：圖形除了是顏色的載體外，還是幾何維度的元素。因為同樣是一個圖形，在相鄰中卻具有不同的幾何特征。在“同維”相鄰中它是“點”。在“異維”相鄰中卻可以具有“線性”的意義。為了有所區(qū)別，我們將：相鄰圖形之間的一對一的一一對應(yīng)

12、叫做對稱相鄰。相鄰圖形之間不一對一的不一一對應(yīng)叫做不對稱相鄰。在直角坐標(biāo)中，雖然同樣是一個圖形，但從圖10中的A，B，C，D與圖9B的實際情況來看：“同維”相鄰是一種對稱相鄰?！爱惥S”相鄰是一種不對稱相鄰。故把這種“對稱”與“不對稱”叫做圖形的相鄰狀況。而且這種相鄰狀況只針對圖形的“相鄰數(shù)量”而言。不針對“相鄰的圖形”數(shù)量而言。如圖10中的E，相鄰的圖形數(shù)量是5，但是相鄰數(shù)量卻為4。（參見圖10中的D與E）不過“相鄰狀況”與“相鄰數(shù)量”之間存在如下關(guān)聯(lián)： 相鄰數(shù)量不等的“異維間”的圖形一定是不對稱相鄰。相鄰數(shù)量相等的“異維間”的圖形不一定是對稱相鄰。但對稱相鄰的“異維間”的相鄰數(shù)量則一定是相等

13、的。（參見圖10中的B，D與E）于是問題的關(guān)鍵在于：X與Y兩個“維度”間的圖形如何相鄰？ 四 . 相鄰狀況與異色種數(shù)的數(shù)量關(guān)系如果Y維度上的圖形與X維度上的圖形之間的相鄰狀況是對稱的。圖11 圖11這種“異維”之間的相鄰便是對稱相鄰。從圖11可以看出，不論在“Y維”或“X維”，還是在“Y維”與“X維”之間的相鄰都如“同維”相鄰那樣是一對一的一一對應(yīng)。即如“同維”相鄰那樣為對稱相鄰。故我們同樣可以把它們看作是：N個X維度上的同維圖形在Y維度上的同維相鄰；或N個X維度上的同維相鄰。在Y維度上的集合。反之亦然。為了更準(zhǔn)確的表達(dá)以免混亂，我們把： 異維間的對稱相鄰叫做同維相鄰的線性集合。依據(jù)“線維”相

14、鄰的特點同樣只需兩種相異的顏色便可區(qū)分所有相鄰的圖形。 見圖11 可見：“異維”圖形的對稱相鄰與同維相鄰“同性”。從這里我們可以清楚的了解到：關(guān)注“異維”圖形的相鄰狀況重要于相鄰數(shù)量。由于區(qū)別在這里強(qiáng)調(diào)的同樣是無間相鄰的異色且與圖形共存。同時“線維”相鄰的特點與圖7可以明確地告訴我們，當(dāng)圖形數(shù)量超過必要條件B值時，強(qiáng)調(diào)區(qū)別的異色便進(jìn)入重復(fù)。而重復(fù)相對B值是沒有意義的。所以：在“異維相鄰”中，與相異元素種數(shù)相等的圖形的相鄰狀況，重要于“異維”圖形的相鄰數(shù)量。并且：如果“異維”間的相鄰狀況是對稱的則必定與“線維同性”，如果“異維”間的相鄰狀況是不對稱的則必為“異維相鄰”。 于是我們在此可以得出結(jié)論

15、之二：“異維”之間的相鄰狀況只有“對稱”與“不對稱”兩種相鄰。而對稱相鄰是“同維性”相鄰。故能表達(dá)“異維相鄰”特性的為不對稱相鄰。為此我們將“異維”不對稱相鄰的表達(dá)式：Y n X N 叫作不對稱相鄰的數(shù)量之比， 在這里nN。而且從圖10中A，B，C，D的圖中可以看出，異維間不對稱相鄰最能表現(xiàn)出二維間的相互關(guān)系。這也是它的符號“”所表達(dá)的意義。 五 . 異維相鄰的特點 那么“異維”圖形的相鄰越趨向不對稱，情況怎樣？（見圖10）。在“Y n X N”中，任意維度上的圖形只能是自然數(shù)，由于：“線”是“點的集合。所以同維相鄰至少為兩個圖形的相鄰。而“異維”相鄰在這里為不對稱相鄰， 所以能與這兩個圖形作

16、“異維”相鄰的至少是另一維度的一個圖形。這是因為如果只與這兩個圖形中的一個圖形相鄰，它只具有“點”而非“線”的意義。那只能是“同維”相鄰而不是“異維”相鄰了。（見圖9B）所以不對稱相鄰數(shù)量之比值最小的是：Yn2 XN1 （反之亦然）從圖10A可以看到，左邊Y維度上有兩個相鄰的圖形。由于一維線的特性，只需兩種相異的顏色便可區(qū)分它們。但是當(dāng)X維度上的一個圖形與Y維度上的兩個圖形相鄰即：兩者為“異維”相鄰。而異維相鄰為不對稱相鄰。如果不想改變對區(qū)別的強(qiáng)調(diào)，這樣的“異維”相鄰的圖形必需三種顏色。且相鄰狀況十分明確地告訴我們：“異維”圖形的相鄰數(shù)量之比值越趨近1，這種相鄰狀況則越接近對稱相鄰，也就越具有

17、同維相鄰的特點，所需相異顏色的種數(shù)就越少。因此我們接下來可以得出結(jié)論之三：不對稱相鄰的數(shù)量之比值越小于1，所需相異顏色的種數(shù)就越多。我們把這叫做；“不對稱相鄰”的特點。由于“異維”的對稱相鄰只需要兩種顏色，而且“線”容不下面，而“面”卻可以容納線。因此從不對稱相鄰的特點來看： 弄清四色猜想的關(guān)鍵是“異維”間的不對稱相鄰。因為不對稱相鄰對B的取值大于對稱相鄰的取值。所以本文著重分析“異維”間的不對稱相鄰這一種情況。而關(guān)鍵的問題在于：到底需多少種相異的顏色方可區(qū)別同一面內(nèi)的兩種相鄰？也就是區(qū)分構(gòu)成“面”的所有相鄰的必要條件B為多少種顏色？ 六 . 面內(nèi)相鄰圖形的區(qū)別與二維的相異元素如果說直角“坐標(biāo)

18、”表示的是一個有限面，那么直角“坐標(biāo)系”表示的則是空間內(nèi)無限的面。或者說：如果“直角坐標(biāo)”表示的是一個確定的“實面”“直角坐標(biāo)系”表示的則是一個非確定的“虛面”因為與其認(rèn)為“同維”與“異維”圖形在一個已確定的實面上排列相鄰，不如承認(rèn)它們是在空間的同一“虛面”排列相鄰形成同一個“實面”更為合理。因為在這里：“同維”與“異維”本身就是“線”與“面”。且一個圖形與“點”存在拓?fù)涞葍r。而“點”是構(gòu)成“線”與“面”的元素。事實上與面等同的“異維”相鄰和與線等同的同維相鄰，不可能在確定的實面內(nèi)被“此面”限制于一個固定的區(qū)域內(nèi)排列。如圖9B的圖形排列，如果依坐標(biāo)來確定則為“異維相鄰”。它的實質(zhì)卻是同維相鄰。

19、所以這兩種不同的相鄰實際上是，隨一個個圖形的不同相鄰的排列在空間無限的同一虛面，形成一個處于不斷變化擴(kuò)大的實面。圖12 圖12很顯然，由于“二維限定”，同一面內(nèi)不同圖形的所有相鄰在X與Y組成的二維面中都只有“同維”與“異維”兩種。所以圖12B為圖12A的拓?fù)渥冃位虻葍r。因為：拓?fù)湫圆魂P(guān)注具體的形式，只強(qiáng)調(diào)被抽象的內(nèi)容。在二維限定的坐標(biāo)系中：兩個維度的垂直相交，使不論圖形在360度的何方位上作何形狀的相鄰，任意“維度”只允許在它的兩邊實現(xiàn)“異維相鄰”。我們不妨在相似圖10A的基礎(chǔ)上，通過直角坐標(biāo)系作“同維”與“異維”相鄰圖形的排列，能夠獲得什么樣令人信服的結(jié)果。圖13 圖13從圖13可以看出，雖

20、然沿Y軸的上和下與原圖形作“異維”相鄰的排列。由于圖10A所示的“異維”圖形相鄰的三種顏色是互異的。因此無需增加顏色仍可區(qū)分它們。我們繼續(xù)圖13，改在X軸上作左和右兩個方向的圖形排列，此時在Y軸上，已有三個相異顏色的圖形相鄰。從異維相鄰的特點可知，不對稱相鄰的數(shù)量之比值越小，需要顏色的種數(shù)越多。所以只要X軸上有一個圖形與此三種顏色相異的圖形相鄰，即： Yn3 XN1那么毫無疑問，此時需要四種相異的新顏色才能區(qū)分相鄰的它們。見圖14A 圖14也就是： Yb3 XB1而且從圖14A可以看出，其所以Y維上出現(xiàn)三種相異的顏色，是由于X維上的一種異色介入的結(jié)果。然而令人驚訝的是，即使我們在不同方向上不斷

21、的繼續(xù)這種“異維”圖形的相鄰排列，所獲得的結(jié)果始終只是：上述Yb3 XB1這一內(nèi)容的不斷重復(fù)，再無超出它的新的內(nèi)容產(chǎn)生！圖14B這是因為對相互垂直的二維坐標(biāo)而言，任一維度始終只允許另一維度的一個圖形介入。于是我們從上述得出結(jié)論之四： 異維相鄰中的任一維度最多只需三種顏色。最少需一種。在這里讓我們將以上四個結(jié)論匯集如下：結(jié)論之一：在二維面內(nèi)，存在且只存在“同維”與“異維”兩種相鄰。結(jié)論之二：“異維”之間的相鄰狀況只有“對稱”與“不對稱”兩種。對稱相鄰是“同維性”相鄰。故能表達(dá)“異維相鄰”特性的為不對稱相鄰。結(jié)論之三：不對稱相鄰的數(shù)量之比值越小，所需相異顏色的種數(shù)就越多。結(jié)論之四： 異維相鄰中的任

22、一維度最多只需三種顏色。最少只需一種。于是我們依據(jù)以上四個結(jié)論作出如下梳理。 由于同維相鄰至少須兩個圖形相鄰。即：Yn2 0 這與一維的二異相等。故有：Y n2 XB0 = Y b2 XB0 因為“異維”相鄰狀況的比值越小，不對稱程度越高所需顏色的種數(shù)也越多。而不對稱狀況的最小比值是： Y n2 X n1 為了不改變對區(qū)別的強(qiáng)調(diào)而發(fā)生變異，需要增加一種新的不同顏色！即： Y b2 X B1 在相互垂直的二維坐標(biāo)中任一維度只允許另一維度的一個圖形介入。使任一維度允許，且只允許最多擁有三種相異元素。故有： Yn3 XN0 = Y b3 XB0 出于上述的同一個理由，所以有： Y n3 X N1 出于上述的同一個理由，所以有：Y b3 X B1 由于二維限定，因此滿足“異維”不對稱相鄰的基本數(shù)值為： B = 4于是區(qū)別異維相鄰的圖形最多只需四種相異的顏色。本文其所以只著重分析“異維”的不對稱這一種相鄰，主要考慮在二維面的范圍內(nèi)，能滿足“同維